Текст подпрограммы и версий
aeb6r_p.zip , aeb6e_p.zip 		Тексты тестовых примеров
taeb6r_p.zip , taeb6e_p.zip

Подпрограмма:  AEB6R (модуль AEB6R_p)

Назначение

Вычисление нескольких собственных векторов, соответствующих заданным собственным значениям, для симметричной ленточной матрицы, заданной в компактной форме.

Математическое описание

Подпрограмма AEB6R по заданным собственным значениям вычисляет соответствующие собственные векторы симметричной ленточной матрицы с помощью метода обратных итераций. Возникающие в методе обратных итераций системы 

               ( A - λ I ) x  =  y ,

где А - симметричная ленточная матрица, решаются методом Гаусса с перестановками.

Уилкинсон, Райнш. Справочник алгоритмов на языке АЛГОЛ. Линейная алгебра. М.: "Машиностроение", 1976.

Использование 

procedure AEB6R(NM :Integer; N :Integer; M1 :Integer;
                var B :Array of Real; var C :Array of Real;
                var EV :Array of Real; L :Integer; L0 :Integer;
                var V :Array of Real; var Z :Array of Real;
                var W :Array of Real; var LOG :Array of Boolean;
                var IERR :Integer);


   Параметры
NM - число строк двумерного массива B, указанное при описании этого массива в вызывающей подпрограмме (тип: целый);
N - порядок исходной матрицы, N ≤ NМ (тип: целый);
M - число нижних ненулевых кодиагоналей исходной симметричной ленточной матрицы (включая главную диагональ) (тип: целый);
B - вещественный двумерный массив размерности NМ * М, в первых N строках которого задана исходная симметричная ленточная матрица в компактной форме (см. Организация Библиотеки. Способы представления матриц специального вида);
C - вещественный рабочий двумерный массив размерности N * (2М - 1);
EV - вещественный вектор длины L, содержащий собственные значения, для которых должны быть вычислены собственные векторы, при L0 > 0 для первых L0 собственных значений собственные векторы задаются пользователем;
L - число заданных собственных значений (тип: целый);
L0 - число собственных значений, собственные векторы для которых уже известны и задаются на входе в подпрограмму, L0 < L (тип: целый);
V - вещественный двумерный массив размерности NМ * L, содержащий на входе в подпрограмму в своих первых L0 столбцах ортонормированные собственные векторы, соответствующие собственным значениям, расположенным в первых L0 компонентах вектора EV, а на выходе из подпрограммы - L ортонормированных собственных векторов, соответствующих заданным собственным значениям;
Z - вещественный рабочий вектор длины N;
W - вещественный рабочий двумерный массив размерности N * М;
LOG - логический рабочий двумерный массив размерности N * М;
IERR - целочисленная переменная, содержащая на входе признак задания пользователем начального приближения к искомым собственным векторам, при этом:
IERR=1 - если пользователь сам задает в соответствующих столбцах массива V начальные приближения к собственным вектоpам;
IERR=0 - ecли пользователь не задает начальных приближений;
  а при выходе из подпрограммы:
IERR=0 - если вычислены все требуемые собственные векторы;
IERR=К - если при вычислении собственного вектора с индексом К ни один из векторов, используемых в качестве начальных, не позволил получить приемлемого приближения; при этом компоненты К - ого столбца массива V полагаются равными нулю; если таких собственных векторов было несколько, то значение IERR полагается равным индексу последнего из них. 
   Версии
AEB6E - вычисление нескольких собственных векторов, соответствующих заданным собственным значениям, для симметричной ленточной матрицы, заданной в компактной форме и с расширенной (Extended) точностью. 
   Вызываемые подпрограммы
       AV04R -        AV04E   вычисление скалярного произведения;
       AV02R -        AV02E   вычисление евклидовой нормы вектора. 
   Замечания по использованию
  1. 

Подпpогpамма AEВ6R сохpаняет исходный массив В;

  2. 

В подпpогpамме AEВ6E паpаметpы B, C, EV, V, Z, W имеют тип Extended;

  3. 

Если начальное приближение, заданное пользователем, окажется неудачным, то подпрограмма AEB6R продолжит работу с новым начальным вектором;

  4. 

При повторном обращении к подпрограмме можно задать уже вычисленные L0 собственных векторов в первых столбцах массива V, тогда подпрограмма AEB6R, вычисляя новые собственные векторы, обеспечит их ортогональность по отношению к заданным. Это важно, если среди новых и старых собственных значений имеются близкие, так как сам по себе метод обратных итераций не гарантирует ортогональность собственных векторов, соответствующих близким собственным значениям, и требуется дополнительная ортогонализация;

  5.  Собственные значения, задаваемые в компонентах вектора EV, могут не быть упорядочены.

Пример использования 

Unit TAEB6R_p;
interface
uses
SysUtils, Math, { Delphi }
Lstruct, Lfunc, UtRes_p, AEB6R_p;

function TAEB6R: String;

implementation

function TAEB6R: String;
var
N,NM,M,L,IERR,L0,J,I,_i :Integer;
C :Array [0..24] of Real;
V :Array [0..9] of Real;
Z :Array [0..4] of Real;
W :Array [0..9] of Real;
LOG :Array [0..9] of Boolean;
const
B :Array [0..14] of Real = ( 0.0,0.0,4.0,0.0,4.0,0.0,3.0,3.0,3.0,3.0,5.0,
3.25,1.0,4.25,6.0 );
EV :Array [0..1] of Real = ( 1.0,2.0 );
begin
for _i:=0 to 9 do
 LOG[_i] := FALSE; //начальные значения
Result := '';  { результат функции }
N := 5;
NМ := 5;
M := 3;
L := 2;
IERR := 0;
L0 := 0;
AEB6R(NM,N,M,B,C,EV,L,L0,V,Z,W,LOG,IERR);
Result := Result + Format('%s',['  V' + #$0D#$0A]);
for I:=1 to N do
 begin
  for J:=1 to 2 do
   begin
    Result := Result + Format('%20.16f ',
 [V[(I-1)+(J-1)*5]]) + #$0D#$0A;
   end;
 end;
Result := Result + #$0D#$0A;
Result := Result + Format('%s',['  IERR']);
Result := Result + Format('%5d ',[IERR]) + #$0D#$0A;
UtRes('TAEB6R',Result);  { вывод результатов в файл TAEB6R.res }
exit;
end;

end.

Результаты:

      IERR  =  0 ,

      | - 0.6              1.E - 11  |
      |   0.8              5.E - 12  |
      |   1.E - 11       8.E - 12  |
      |   2.E - 11     - 0.8         |
      | - 3.E - 11       0.6         |