Текст подпрограммы и версий
aej4r_p.zip , aej4e_p.zip 		Тексты тестовых примеров
taej4r_p.zip , taej4e_p.zip

Подпрограмма:  AEJ4R (модуль AEJ4R_p)

Назначение

Вычисление собственных значений матрицы Якоби, принадлежащих данному интервалу, и определение их номеров.

Математическое описание

Матрица Якоби обладает следующим свойством: произведения пар соответствующих элементов побочных диагоналей все неотрицательны и равны нулю только, если оба сомножителя равны нулю. Это свойство используется при приведении исходной матрицы подобными преобразованиями к симметрической трехдиагональной форме 

                   F = V T*A*V

(V - диагональная матрица), для которой методом бисекций вычисляются собственные значения, принадлежащие данному интервалу, и определяются их номера; при этом собственные значения обеих матриц совпадают.

Уилкинсон, Райнш, Справочник алгоритмов на языке АЛГОЛ. Линейная алгебра, М., "Машиностроение", 1976.

Использование 

procedure AEJ4R(N :Integer; var A :Array of Real;
                var EV :Array of Real; var RLB :Real; var RUB :Real;
                MM :Integer; var M :Integer;
                var IRAB1 :Array of Integer; var RAB1 :Array of Real;
                var IERR :Integer);


   Параметры
N - порядок исходной матрицы (тип: целый);
A - вещественный двумерный массив размера N на 3, содержащий заданную в компактной форме матрицу Якоби;
EV - вещественный вектор длины ММ, содержащий вычисленные в возрастающем порядке собственные значения, принадлежащие данному интервалу;
            RLB -
            RUB   		заданные нижняя и верхняя границы интервала собственных значений (тип: вещественный); если RLВ > RUВ, то собственные значения не вычисляются;
MM - оценка сверху числа собственных значений исходной матрицы, принадлежащих заданному интервалу, ММ ≤ N (тип: целый); если вычисленное число М собственных значений, принадлежащих данному интервалу, больше, чем ММ, то собственные значения не вычисляются;
M - целая переменная, в которой запоминается вычисленное число собственных значений, принадлежащих данному интервалу;
IRAB - целый вектор длины ММ, содержащий индексы расположенных в возрастающем порядке М собственных значений;
RAB - вещественный вектор длины 5 на N, используемый как рабочий;
IERR - целая переменная, служащая для сообщения об ошибках, обнаруженных в ходе работы подпрограммы; при этом значение IЕRR:
  - больше N, если не все попарные произведения соответствующих элементов побочных диагоналей неотрицательны; при этом исходная матрица не симметризируется;
  - больше 2*N, если имеется равное нулю произведение соответствующих элементов побочных диагоналей, причем сомножители равны нулю неодновременно. В этом случае собственные значения вычислены правильно;
  - равно 3*N+1, если значение ММ меньше числа М вычисленных на данном интервале собственных значений; при этом собственные значения не вычисляются. 
   Версии
AEJ4E - вычисление собственных значений, принадлежащих данному интервалу, и их номеров матрицы Якоби, заданной с расширенной (Extended) точностью. Массивы А, ЕV, RАВ и переменные RLВ, RUВ имеют тип Extended. 
   Вызываемые подпрограммы
UTAE10 - подпрограмма выдачи диагностических сообщений при работе подпрограмм АЕJ4R и АЕJ4E. 
   Замечания по использованию
  Подпрограмма АЕJ4R сохраняет исходную матрицу.

Пример использования 

Unit TAEJ4R_p;
interface
uses
SysUtils, Math, { Delphi }
Lstruct, Lfunc, UtRes_p, AEJ4R_p;

function TAEJ4R: String;

implementation

function TAEJ4R: String;
var
J,I,N,MM,_i,M,IERR :Integer;
RLB,RUB :Real;
EV :Array [0..2] of Real;
RAB1 :Array [0..24] of Real;
IRAB1 :Array [0..2] of Integer;
const
A :Array [0..14] of Real = ( 0.0,1.0,1.0,1.0,1.0,0.0,0.0,0.0,0.0,0.0,1.0,1.0,
1.0,1.0,0.0 );
begin
Result := '';  { результат функции }
Result := Result + #$0D#$0A;
Result := Result + Format('%s',
 [#$0D#$0A + ' ВЫЧИСЛЕНИЕ НЕКОТОРЫХ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ ' + #$0D#$0A +
 ' МАТРИЦЫ ЯKOБИ' + #$0D#$0A +
 ' A' + #$0D#$0A]);
for I:=1 to 5 do
 begin
  for J:=1 to 3 do
   begin
    Result := Result + Format('%20.16f ',[A[(I-1)+(J-1)*5]]) + #$0D#$0A;
   end;
 end;
Result := Result + #$0D#$0A;
N := 5;
ММ := 3;
RLB := -2.0;
RUB := 0.0;
AEJ4R(N,A,EV,RLB,RUB,MM,M,IRAB1,RAB1,IERR);
Result := Result + Format('%s',[#$0D#$0A + ' PEЗУЛЬTAT']) + #$0D#$0A; 
Result := Result + #$0D#$0A;
Result := Result + Format('%s',[#$0D#$0A + ' A' + #$0D#$0A]);
for I:=1 to 5 do
 begin
  for J:=1 to 3 do
   begin
    Result := Result + Format('%20.16f ',[A[(I-1)+(J-1)*5]]) + #$0D#$0A;
   end;
 end;
Result := Result + #$0D#$0A;
Result := Result + Format('%s',[#$0D#$0A + ' EV' + #$0D#$0A]);
Result := Result + #$0D#$0A;
for _i:=0 to 2 do
 begin
  Result := Result + Format('%20.16f ',[EV[_i]]);
  if ( ((_i+1) mod 3)=0 )
   then Result := Result + #$0D#$0A;
 end;
Result := Result + #$0D#$0A;
Result := Result + Format('%s',[#$0D#$0A + ' IERR' + #$0D#$0A]);
Result := Result + Format('%8d ',[IERR]) + #$0D#$0A;
UtRes('TAEJ4R',Result);  { вывод результатов в файл TAEJ4R.res }
exit;
end;

end.

Результаты:

Собственные значения, вычисленные в интервале (-2., 0.) :

      EV  =  ( -1.732050807,    -0.999999999 )

      IERR  =  0