Текст подпрограммы и версий
aet1c_p.zip , aet1z_p.zip 		Тексты тестовых примеров
taet1c_p.zip , taet1z_p.zip

Подпрограмма:  AET1C (модуль AET1C_p)

Назначение

Вычисление всех собственных значений и собственных векторов комплексной верхней матрицы Хессенберга QR - алгоpитмом.

Математическое описание

Подпрограмма AET1C вычисляет собственные значения комплексной верхней матрицы Хессенберга QR - алгоpитмом со сдвигом; информация о выполняемых преобразованиях запоминается и используется потом для вычисления собственных векторов матрицы Хессенберга.

Если рассматриваемая матрица Хессенберга была получена в результате унитарного подобного преобразования некоторой комплексной матрицы общего вида с помощью подпрограммы AFG7C, то подпрограмма AET1C может вычислить непосредственно собственные векторы исходной комплексной матрицы общего вида.

Уилкинсон Дж.Х. Алгебраическая проблема собственных значений. М.: "Наука", 1970.

Использование 

procedure AET1C(NM :Integer; N :Integer; LOW :Integer;
                IGH :Integer; var ORTR :Array of Real;
                var ORTI :Array of Real; var HR :Array of Real;
                var HI :Array of Real; var WR :Array of Real;
                var WI :Array of Real; var ZR :Array of Real;
                var ZI :Array of Real; var IERR :Integer);


   Параметры
NM - число строк двумерных массивов НR, НI, ZR, ZI, указанное при описании этих массивов в вызывающей подпрограмме (тип: целый);
N - порядок исходной матрицы (тип: целый);
      LOW -
      IGH   		выходные параметры подпрограммы АМВ1С (тип: целый); если матрица не масштабировалась, то можно взять LОW := 1, IGН := N;
        ORTR -
        ORTI   		вещественные векторы длины IGН; первые LОW - 1 компонент этих векторов подпрограммой АЕТ1С не используются; если требуется вычислить собственные векторы матрицы Хессенберга, то на входе в подпрограмму должно выполняться
ОRТR (I) = ОRТI (I) = 0.0,
I = LОW, LОW + 1, ..., IGН;
если требуется вычислить собственные векторы комплексной матрицы общего вида (к которой была предварительно применена подпрограмма АFG7С), то ОRТR и ОRТI являются выходными параметрами подпрограммы АFG7С и содержат часть информации о выполненном унитарном преобразовании;
HR, HI - вещественные двумерные массивы размерности NМ на N, содержащие на входе в подпрограмму в своих первых N строках соответственно вещественную и мнимые части исходной матрицы Хессенберга; если требуется вычислить собственные векторы матрицы Хессенберга, то остальные элементы массивов НR и НI (лежащие ниже поддиагонали) могут быть произвольными; если же требуется вычислить собственные векторы комплексной матрицы общего вида, то НR и НI - выходные параметры подпрограммы АFG7С, которые кроме матрицы Хессенберга содержат еще оставшуюся информацию о выполненном унитарном преобразовании;
WR, WI - вещественные векторы длины N, содержащие на выходе из подпрограммы соответственно вещественные и мнимые части вычисленных собственных значений;
ZR, ZI - вещественные двумерные массивы размерности NM на N, содержащие на выходе из подпрограммы в своих столбцах соответственно вещественные и мнимые части вычисленных собственных векторов; собственные векторы не нормируются;
IERR - целочисленная переменная, служащая для сообщения об ошибках, обнаруженных в ходе работы подпрограммы; на выходе из подпрограммы IЕRR равно индексу собственного значения для вычисления которого требуется более 30 итераций, при этом собственные значения с индексами IЕRR + 1, IЕRR + 2, ..., N вычислены правильно, а собственные векторы не вычисляются; если вычислены все собственные значения и соответствующие собственные векторы, то IЕRR := 0. 
   Версии
AET1Z - вычисление всех собственных значений и собственных векторов комплексной матрицы Хессенберга, заданной с расширенной (Extended) точностью, с помощью QR - алгоpитма со сдвигом. 
   Вызываемые подпрограммы
UTAE12 - подпрограмма выдачи диагностических сообщений при работе подпрограмм АЕТ1С и АЕТ1Z. 
   Замечания по использованию
  1. 

В подпрограмме АЕТ1Z параметры ОRТR, ОRТI, НR, НI, WR, WI, ZR, ZI имеют тип Extended.

  2.  Подпрограмма АЕТ1С (АЕТ1Z) не сохраняет исходные массивы НR и НI.

Пример использования 

Unit TAET1C_p;
interface
uses
SysUtils, Math, { Delphi }
Lstruct, Lfunc, UtRes_p, AET1C_p;

function TAET1C: String;

implementation

function TAET1C: String;
var
N,I,J,IERR :Integer;
WR :Array [0..2] of Real;
WI :Array [0..2] of Real;
ZR :Array [0..8] of Real;
ZI :Array [0..8] of Real;
ORTR :Array [0..2] of Real;
ORTI :Array [0..2] of Real;
cОNSt
HR :Array [0..8] of Real = ( 6.0,0.0,0.0,0.0,3.0,1.0,0.0,1.0,3.0 );
HI :Array [0..8] of Real = ( 1.0,0.0,0.0,-2.0,1.0,0.0,2.0,0.0,1.0 );
label
_10;
begin
Result := '';  { результат функции }
N := 3;
for I:=1 to N do
 begin
  ORTR[I-1] := 0.0;
  ORTI[I-1] := 0.0;
_10:
 end;
AET1C(N,N,1,N,ORTR,ORTI,HR,HI,WR,WI,ZR,ZI,IERR);
Result := Result + Format('%5d ',[IERR]) + #$0D#$0A;
Result := Result + #$0D#$0A;
for I:=1 to N do
 begin
  Result := Result + Format('%20.16f ',[WR[I-1]]) + #$0D#$0A;
 end;
Result := Result + #$0D#$0A;
Result := Result + #$0D#$0A;
for I:=1 to N do
 begin
  Result := Result + Format('%20.16f ',[WI[I-1]]) + #$0D#$0A;
 end;
Result := Result + #$0D#$0A;
Result := Result + #$0D#$0A;
for I:=1 to N do
 begin
  for J:=1 to N do
   begin
    Result := Result + Format('%20.16f ',[ZR[(I-1)+(J-1)*3]]) + #$0D#$0A;
   end;
 end;
Result := Result + #$0D#$0A;
Result := Result + #$0D#$0A;
for I:=1 to N do
 begin
  for J:=1 to N do
   begin
    Result := Result + Format('%20.16f ',[ZI[(I-1)+(J-1)*3]]) + #$0D#$0A;
   end;
 end;
Result := Result + #$0D#$0A;
UtRes('TAET1C',Result);  { вывод результатов в файл TAET1C.res }
exit;
end;

end.

Результаты:

       IERR  =  0 ,   WR  =  (6., 4., 2.) ,   WI  =  (1., 1., 1.)

                  | 1.  0.  0. |
       ZR  =  | 0.  a  -a  |
                  | 0.  a   a  |

                 | 0.  0. -a  |
       ZI  =  | 0.  0.  0.  |
                 | 0.  0.  0. |

   где   a  =  0.707106781187