|
Текст подпрограммы и версий ( Фортран ) afg4r.zip , afg4d.zip , afg4c.zip |
Тексты тестовых примеров ( Фортран ) tafg4r.zip , tafg4d.zip , tafg4c.zip |
|
Текст подпрограммы и версий ( Си ) afg4r_c.zip , afg4d_c.zip , afg4c_c.zip |
Тексты тестовых примеров ( Си ) tafg4r_c.zip , tafg4d_c.zip , tafg4c_c.zip |
|
Текст подпрограммы и версий ( Паскаль ) afg4r_p.zip , afg4e_p.zip , afg4c_p.zip |
Тексты тестовых примеров ( Паскаль ) tafg4r_p.zip , tafg4e_p.zip , tafg4c_p.zip |
Треугольное разложение вещественной матрицы общего вида методом Гаусса с выбором ведущего элемента по столбцу и оценка числа обусловленности матрицы.
Для заданной квадратной вещественной матрицы А порядка N выполняется треугольная факторизация А = LU, где U - верхняя треугольная матрица, а L - нижняя треугольная матрица, и вычисляется величина RСОND, обратная числу обусловленности матрицы А:
RCOND = 1 / || A ||1 * || A-1 ||1
Для вычисления || A- 1 ||1 решается система АZ = Y и полагается
|| A-1 ||1 » || Z ||1 / || Y ||1 ,
где Y - решение системы АTY = Е; компоненты вектора Е выбираются таким образом, чтобы максимизировать норму || W ||1, где W - решение системы UTW = Е.
Вычисления проводятся в следующей последовательности:
1) вычисляется || A ||1 = max || aj ||1 , для j = 1, ..., N ,
где аj - j-й вектор-столбец матрицы A, а
|| аj ||1 = | a1 j | + | a2 j | +...+ | aN j | ;
2) выполняется треугольная факторизация А = LU ;
3) решается система UTW = E
одновременно с выбором компонент вектора E;
4) решается система LTY = W;
5) решается система LV = Y;
6) решается система UZ = V и полагается
RСОND = || Y ||1 / ( || A ||1 * || Z ||1 )
Дж. Форсайт, М. Малькольм, К. Моулер. Машинные методы математических вычислений. М.: Мир, 1980.
SUBROUTINE AFG4R (A, M, N, NLEAD, RCOND, Z, IERR)
Параметры
| A - | вещественный двумерный массив размера М*N, в котором задается исходная квадратная матрица порядка N, на выходе на соответствующих местах находятся элементы матрицы U и поддиагональные элементы элементарных матриц исключения Li, i = 1, ..., N - 1; |
| M - | первая размерность массива А в вызывающей программе (тип: целый); |
| N - | порядок матрицы А (тип: целый); |
| NLEAD - | целый вектор длины N, содержащий на выходе информацию о выполненых в процессе факторизации перестановках (см. замечания по использованию); |
| RCOND - | вещественная переменная, содержащая на выходе вычисленное значение величины, обратной числу обусловленности матрицы А (см. замечания по использованию); |
| Z - | вещественный рабочий вектор длины N (см. замечания по использованию); |
| IERR - | целая переменная, содержащая на выходе информацию о прохождении счета, при этом: |
| IЕRR=65 - | если значение М Ј 0 или N Ј 0; |
| IЕRR=66 - | если в процессе работы подпрограммы произошло переполнение (это говорит о том, что норма || A ||1 либо некоторые элементы матрицы U превосходят по абсолютной величине максимальное представимое на данной машине число); |
| IЕRR=-К - | если в результате факторизации диагональный элемент в К - й строке матрицы U равен нулю (это свидетельствует о вырожденности матрицы А). Если таких строк у матрицы несколько, то значение К полагается равным номеру последней из них. |
Версии
| AFG4D - | треугольное разложение вещественной матрицы, заданной с удвоенной точностью, методом Гаусса с выбором ведущего элемента по столбцу и оценка числа обусловленности матрицы. |
| AFG4C - | треугольное разложение комплексной матрицы методом Гаусса с выбором ведущего элемента по столбцу и оценка числа обусловленности матрицы. |
Вызываемые подпрограммы
| UTAFSI - | подпрограмма выдачи диагностических сообщений. |
Замечания по использованию
| 1. |
В подпрограмме АFG4С массивы А и Z имеют тип СОМРLЕХ. | |
| 2. |
В подпрограмме АFG4D массивы А, Z и переменная RСОND имеют тип DОUВLЕ РRЕСISIОN. | |
| 3. |
На выходе К - й элемент вектора NLЕАD равен номеру строки, переставленной на К - м шаге факторизации с К - й строкой матрицы А. Поскольку факторизация Гаусса требует N - 1 шагов, то NLЕАD (N) = N. | |
| 4. |
Если переменной IЕRR присвоено значение, отличное от нуля, то величина RСОND полагается равной нулю, выдается соответствующее диагностическое сообщение и происходит выход из подпрограммы. | |
| 5. | Если IЕRR = 0, то на выходе вектор Z удовлетворяет условию || AZ ||1 = RСОND * || A ||1 * || Z ||1 . |
DIMENSION A(4, 4), NLEAD(4), Z(4)
DATA A /1.0, 0.42, 0.54, 0.66, 0.42, 1.0, 0.32, 0.44, 0.54, 0.32,
* 1.0, 0.22, 0.66, 0.44, 0.22, 1.0/
M = 4
N = 4
CALL AFG4R (A, M, N, NLEAD, RCOND, Z, IERR)
Для данной матрицы известны собственные значения:
l1 = 2.32274
l2 = 0.24226
l3 = 0.63828
l4 = 0.79670
Спектральное число обусловленности l1 / l2 » 9.588
Результаты:
| 1.0 0.42 0.54 0.66 |
| -0.42 0.82360 0.09320 0.16280 |
A = | -0.54 -0.11316 0.69785 -0.15482 |
| -0.66 -0.19767 0.22186 0.49787 |
NLEAD = (1, 2, 3, 4)
RCOND = 0.09880