Текст подпрограммы и версий
afp0r_p.zip , afp0c_p.zip , afp0e_p.zip 		Тексты тестовых примеров
tafp0r_p.zip , tafp0c_p.zip , tafp0e_p.zip

Подпрограмма:  AFP0R (модуль AFP0R_p)

Назначение

QR - разложение вещественной прямоугольной матрицы размера N*M (N ≥ M) методом отражений.

Математическое описание

Выполняется факторизация матрицы А вида А = QR, где Q - унитарная, R - верхняя треугольная матрица. Матрица R получается в результате умножения матрицы А на последовательность преобразований отражения Q1, Q2, ..., QМ таких, чтO QМQМ - 1...Q1А = R , при этом 

     Q = Q1TQ2T ... QMT .

В.В.Воеводин, Л.И.Карышева, Г.Д.Ким, Р.В.Петрина, Комплекс алгоритмов основанных на преобразованиях отражения, в пакете линейной алгебры, Сб. "Численный анализ на ФОРТРАНе", вып.3, Изд. МГУ, 1973.

Использование 

procedure AFP0R(var A :Array of Real; N :Integer; M :Integer;
                var W :Array of Real);


   Параметры
A - двумерный N*М массив, в котором задается исходная матрица (тип: Real); в результате работы подпрограммы в массиве А на соответствующих местах запоминаются наддиагональные элементы матрицы R, в остальной части массива в последовательных столбцах запоминаются векторы, порождающие матрицы отражения Q1, Q2, ..., QМ ;
N, M - заданные размеры исходной матрицы, причем N ≥ М (тип: целый);
W - одномерный массив длины N, используемый подпрограммой как рабочий (тип: Real); в результате работы подпрограммы в первых М компонентах W запоминаются диагональные элементы матрицы R. 
   Версии
AFP0C - QR - разложение методом отражений для прямоугольной N*М (N ≥ М) комплексной матрицы;
AFP0E - QR - разложение методом отражений для прямоугольной N*М (N ≥ М) вещественной матрицы, заданной с расширенной (Extended) точностью. 
   Вызываемые подпрограммы:  нет 
   Замечания по использованию
  1. 

В подпрограмме АFР0С массивы А, W имеют тип Complex.

  2.  В подпрограмме АFР0E массивы А, W имеют тип Extended.

Пример использования 

Unit TAFP0R_p;
interface
uses
SysUtils, Math, { Delphi }
Lstruct, Lfunc, UtRes_p, AFP0R_p;

function TAFP0R: String;

implementation

function TAFP0R: String;
var
J,I :Integer;
V :Array [0..4] of Real;
const
A :Array [0..14] of Real = ( 1.0,2.0,0.0,1.0,-1.0,0.0,1.0,1.0,2.0,1.0,1.0,
3.0,1.0,0.0,0.0 );
begin
Result := '';  { результат функции }
Result := Result + Format('%s',[' ИСХОДНАЯ MATPИЦA']) + #$0D#$0A; 
Result := Result + #$0D#$0A;
for I:=1 to 5 do
 begin
  for J:=1 to 3 do
   begin
    Result := Result + Format('%20.16f ',[A[(I-1)+(J-1)*5]]) + #$0D#$0A;
   end;
 end;
Result := Result + #$0D#$0A;
AFP0R(A,5,3,V);
Result := Result + Format('%s',[' PEЗYЛЬТАТ ФAKTOPИЗAЦИИ']) + #$0D#$0A; 
Result := Result + #$0D#$0A;
for I:=1 to 5 do
 begin
  for J:=1 to 3 do
   begin
    Result := Result + Format(' A%20.16f ',
 [A[(I-1)+(J-1)*5]]) + #$0D#$0A;
   end;
 end;
Result := Result + #$0D#$0A;
Result := Result + #$0D#$0A;
for I:=1 to 3 do
 begin
  Result := Result + Format(' V%20.16f ',[V[I-1]]) + #$0D#$0A;
 end;
Result := Result + #$0D#$0A;
UtRes('TAFP0R',Result);  { вывод результатов в файл TAFP0R.res }
exit;
end;

end.


Результат:

                 |  1.174  -1.134  -2.646 |
                 |  0.644   1.076  -0.418 |
      A  =    |  0.000   0.389    1.118 |
                 |  0.322   0.657  -0.853 |
                 | -0.322   0.510   0.150 |

       (V(I), I = 1, 3) =  -2.646, -2.390, -1.956.

Это означает, что

                 | -2.646  -1.134  -2.646 |
                 |  0.        -2.390  -0.418 |
      R  =    |  0.          0.        -1.956 |
                 |  0.         0.          0.       |
                 |  0.         0.          0.       |  , 

      Qi  =  I - Wi * WiT,   i  =  1, 2, 3 ,
 где
      W1T  =   (1.174,  0.644,  0.,  0.322,  -0.322) , 

      W2T  =   (0.,  1.076,  0.389,  0.657,  0.510) , 

      W3T  =   (0.,  0.,  1.118,  -0.853,  0.150) .