БЧА НИВЦ МГУ. AFP7R_P. Приведение и разложение матриц общего вида

Текст подпрограммы и версий
afp7r_p.zip , afp7e_p.zip , afp7c_p.zip

Тексты тестовых примеров
tafp7r_p.zip , tafp7e_p.zip , tafp7c_p.zip

Подпрограмма: AFP7R (модуль AFP7R_p)

Назначение

Приведение прямоугольной матрицы размера N*M (N ≤ M) к нижнему двухдиагональному виду преобразованиями вращения.

Математическое описание

Для прямоугольной матрицы А размера N*М (N ≤ М) строятся две последовательности матриц вращения R_3 2,R_4 2, ..., R_N N - 1 размера N*N и Т_1 2,Т_1 3, ..., Т_N M размера М*М, такие, что

     R_{N N-1} ... R_{3 2} A T_{1 2} ... T_{N M} = D ,

где D - нижняя двухдиагональная матрица размера N*М. В pезультате двухдиагональная матрица D запоминается на месте соответствующих диагоналей матрицы А, а матрицы вращения T_i j, i = 1, 2, ..., N, j = 2, 3, ..., М, i < j и R_i j, i = 3, 4, ..., N, j = 2, ..., N-1, i > j, строятся следующим образом.

Матрицы T_i j и R_i j являются матрицами плоского вращения в плоскости ( i, j ), у которых элементы R_i i = R_j j = C, R_i j = - S, R_j i = S, а остальные элементы главной диагонали равны 1, свертываются в число t = S / (1 + С), по которому они восстанавливаются с помощью формул

       C = (1 - | t |²) / (1 + | t |²) ,        S = 2t / (1 + | t |²) ,

и упаковываются соответственно над и под нижней двухдиагональной частью матрицы А: информация о матрице T_i j запоминается на месте элемента с индексами ( i, j ), а информация о матрице R_i j - на месте элемента с индексами ( i, j - 1).

В.В.Воеводин, Вычислительные основы линейной алгебры, М., Наука, 1977.

Использование

procedure AFP7R(var A :Array of Real; N :Integer; M :Integer);

   Параметры

A -

двумерный массив размера N*М (N ≤ М), в котором задается исходная матрица А; в результате работы подпрограммы нижняя двухдиагональная матрица D запоминается на месте соответствующих диагоналей матрицы А, а матрицы вращения Т_i j и R_i j упаковываются соответственно над и под нижней двухдиагональной частью матрицы А (тип: вещественный);

N, M -

число строк и столбцов матрицы А, причем N ≤ М (тип: целый).

   Версии

AFP7E -	приведение прямоугольной матрицы размера N*М (N ≤ М) заданной с расширенной (Extended) точностью, к нижнему двухдиагональному виду преобразованиями вращения.
AFP7C -	приведение комплексной прямоугольной матрицы размера N*М (N ≤ М) к нижнему двухдиагональному виду преобразованиями вращения.

   Вызываемые подпрограммы:  нет

   Замечания по использованию

	1.	В случае необходимости преобразования вектора матрицами вращения Т_N M,Т_N M - 1,...,Т_1 2 или R_3 2,R_4 2,...,R_N N - 1, упакованными в матрице А описанным выше способом, можно воспользоваться соответственно подпрограммами АМ10R или АМ09R.
	2.	В подпрограмме АFР7E параметр А имеет тип Extended.
	3.	В подпрограмме АFР7С параметр А имеет тип Complex.

Пример использования

Unit TAFP7R_p;
interface
uses
SysUtils, Math, { Delphi }
Lstruct, Lfunc, UtRes_p, AFP7R_p;

function TAFP7R: String;

implementation

function TAFP7R: String;
var
J,I :Integer;
const
A :Array [0..14] of Real = ( 1.0,1.2,-1.6,0.0,2.2,0.4,0.0,0.48,0.36,0.0,0.0,
0.0,0.0,0.64,0.48 );
begin
Result := '';  { результат функции }
AFP7R(A,3,5);
Result := Result + #$0D#$0A;
for I:=1 to 3 do
 begiN
  for J:=1 to 5 do
   begin
    Result := Result + Format('%20.16f ',[A[(I-1)+(J-1)*3]]) + #$0D#$0A;
   end;
 end;
Result := Result + #$0D#$0A;
UtRes('TAFP7R',Result);  { вывод результатов в файл TAFP7R.res }
exit;
end;

end.


Результат:

              |  1     0   0   0   0    |
      A  =    |  2     1   0   0   0    |
              |  0.5   2   1   0   0.5  |

Это означает, что

              | 1   0   0   0   0 |
      D  =    | 2   1   0   0   0 |
              | 0   2   1   0   0 |