Текст подпрограммы и версий
afp9r_p.zip , afp9e_p.zip , afp9c_p.zip 		Тексты тестовых примеров
tafp9r_p.zip , tafp9e_p.zip , tafp9c_p.zip

Подпрограмма:  AFP9R (модуль AFP9R_p)

Назначение

Приведение прямоугольной матрицы A размера N*M (N ≤ M) к нижнему треугольному виду преобразованиями вращения.

Математическое описание

Для прямоугольной матрицы А размера N*М (N ≥ М) строится последовательность матриц вращения T1 2,T1 3, ..., TN M размера M*M такая, чТO 

     AT1 2 ... TN M  = L ,

где L - нижняя треугольная матрица размера N*М. В результате нижняя треугольная матрица L запоминается на месте соответствующих элементов матрицы А.

Матрицы Ti j,   i = 1, ..., N,   j = 2, ..., М,   i < j,  являющиеся матрицами плоского вращения в плоскости ( i, j ), у которых элементы Ti i = Tj j = C, Ti j = - S, Tj i = S, а остальные элементы главной диагонали равны 1, свертываются в число t = S / (1 + С), по которому они восстанавливаются с помощью формул 

       C = (1 - | t |2) / (1 + | t |2) ,     S = 2t / (1 + | t |2) ,

и упаковываются над нижней треугольной частью матрицы А : информация о матрице Ti j запоминается на месте элемента с индексами ( i, j ).

В.В.Воеводин, Вычислительные основы линейной алгебры, М., Наука, 1977.

Использование 

procedure AFP9R(var A :Array of Real; N :Integer; M :Integer);


   Параметры
A - двумерный массив размера N*М (N ≤ М), в котором задается исходная матрица А; в результате работы подпрограммы нижняя треугольная матрица L запоминается на месте соответствующих элементов матрицы А, а матрицы вращения Тi j упаковываются над нижней треугольной частью матрицы А (тип: вещественный);
N, M - число строк и столбцов матрицы А, причем N ≤ М (тип: целый). 
   Версии
AFP9E - приведение прямоугольной матрицы размера N*М (N ≤ М), заданной с расширенной (Extended) точностью, к нижнему треугольному виду преобразованиями вращения.
AFP9C - приведение прямоугольной комплексной матрицы размера N*М (N ≤ М) к нижнему треугольному виду преобразованиями вращения. 
   Вызываемые подпрограммы:  нет 
   Замечания по использованию
  1. 

В случае надобности преобразования вектора матрицами вращения ТN M,...,Т1 2, упакованными в матрице А описанным выше способом, можно воспользоваться подпрограммой АМ10R.

  2. 

В подпрограмме АFР9E параметр А имеет тип Extended.

  3.  В подпрограмме АFР9С параметр А имеет тип Complex.

Пример использования 

Unit TAFP9R_p;
interface
uses
SysUtils, Math, { Delphi }
Lstruct, Lfunc, UtRes_p, AFP9R_p;

function TAFP9R: String;

implementation

function TAFP9R: String;
var
J,I :Integer;
const
A :Array [0..14] of Real = ( 0.6,0.4,2.6,0.0,0.0,0.0,0.0,0.0,0.6,-0.8,-2.2,
-6.8,0.0,0.0,-0.8 );
begin
Result := '';  { результат функции }
AFP9R(A,3,5);
Result := Result + #$0D#$0A;
for I:=1 to 3 do
 begiN
  for J:=1 to 5 do
   begin
    Result := Result + Format('%20.16f ',[A[(I-1)+(J-1)*3]]) + #$0D#$0A;
   end;
 end;
Result := Result + #$0D#$0A;
UtRes('TAFP9R',Result);  { вывод результатов в файл TAFP9R.res }
exit;
end;

end.


Результат:

              | 1   0   0   -0.5   0    |
      A  =    | 2  -1   0    1     0    |
              | 7  -2   1    0    -0.5  |

Это означает, что

              | 1   0   0   0   0 |
      L  =    | 2  -1   0   0   0 |
              | 7  -2   1   0   0 |