Текст подпрограммы и версий ( Фортран )
agg0r.zip 
Тексты тестовых примеров ( Фортран )
tagg0r.zip 
Текст подпрограммы и версий ( Си )
agg0r_c.zip 
Тексты тестовых примеров ( Си )
tagg0r_c.zip 
Текст подпрограммы и версий ( Паскаль )
agg0r_p.zip 
Тексты тестовых примеров ( Паскаль )
tagg0r_p.zip 

Подпрограмма:  AGG0R

Назначение

Вычисление всех собственных значений и собственных вектоpов QZ - алгоритмом в обобщенной проблеме собственных значений Аx = λBx двух вещественных матриц.

Математическое описание

Алгоритм, реализованный в подпрограмме AGG0R, может быть разбит на четыре этапа.

Hа первом этапе преобразованиями отражения осуществляется одновременное приведение матрицы A к верхней почти треугольной форме и матрицы B к верхней треугольной форме.

Hа втоpом этапе при помощи обобщенного неявного QR - алгоритма с двойным сдвигом осуществляется приведение матрицы A к верхней почти треугольной форме (когда нет двух последовательных ненулевых поддиагональных элементов) с сохранением вида матрицы B.

Hа третьем этапе матрица A приводится к треугольной форме, после чего вычисляются искомые собственные значения λ1, λ2, ..., λN в виде λI = ALFA (I) / BETA (I), когда BETA (I) ≠ 0. Если BETA (I) = 0, то соответствующее собственное значение λI рассматривавается как бесконечное.

Hа четвертом этапе вычисляются собственные векторы, которые помещаются в комплексной матрице так, что I - й столбец содержит собственный вектоp, соответствующий I - му собственному значению.

C.B.Moler, G.W.Stewart, An Algorithm for Generalized Matrix Eigenvalue Problems, SIAM J.Numer.Anal.10, 1973.

Использование

    SUBROUTINE  AGG0R (A, B, V, ALFA, BETA, WK, N, IERR) 

Параметры

A, B - вещественные двумерные массивы размера N на N, содержащие исходные матрицы A и B соответственно;
V - комплексный двумерный массив размера N на N, содержащий вычисленные собственные векторы;
  ALFA -
  BETA  
комплексный и вещественный векторы длины N, такие, что искомые собственные значения выражаются через компоненты этих вектоpов следующим образом:
λI = ALFA (I) / BETA (I); если BETA (I) = 0, то соответствующее собственное значение рассматривается как бесконечное;
WK - вещественный вектоp длины N, используемый как рабочий;
N - заданный порядок исходных матриц (тип: целый);
IERR - целая переменная, служащая для сообщения об ошибках, обнаруженных в ходе работы подпрограммы; значение IERR полагается равным J+128, где J - номеp собственного значения, для вычисления которого потребовалось более 30 итераций, при этом собственные значения с индексами J+1, ..., N вычислены правильно, а с индексами 1, ..., J и соответствующие собственные векторы могут быть вычислены не точно.

Версии : нет

Вызываемые подпрограммы

AFG3R - приведение пары вещественных матриц A и B к верхней почти треугольной и треугольной форме соответственно ортогональными преобразованиями подобия с помощью Q*Z - алгоритма.
AGT0R - вычисление всех собственных значений и соответственных вектоpов QR - алгоритмом в обобщенной проблеме собственных значений Ax = λBx для верхней почти треугольной и верхней треугольной вещественных матриц.
UTAG10 - подпрограмма выдачи диагностических сообщений при работе подпрограммы AGG0R.

Замечания по использованию

 

Исходные матрицы A и B не сохраняются.

Векторы ALFA и BETA упорядочены таким образом, что комплексно-сопряженные собственные значения λI и λI+1 расположены последовательно, т.е. ALFA (I+1) / BETA (I+1) комплексно - сопряжено с ALFA (I) / BETA (I). При этом ALFA (I+1) не обязятельно комплексно-сопряжено с ALFA (I).

Собственные векторы нормализованы таким образом, что наибольшая компонента по модулю pавна 1.

Пример использования

         REAL  A(3, 3), B(3, 3), BETA(3), WK(3)
         COMPLEX  ALFA(3), V(3, 3)
         DATA  A /1., -10., 5., 0.5, 2., 1., 2*0., 0.5/
         DATA  B /0.5, 3., 4., 0., 3., 0.5, 2*0., 1./
         N = 3
         CALL  AGG0R (A, B, V, ALFA, BETA, WK, N, IERR)

Результаты:

      IERR = 0
 
                      | 1.27052+3.03864*i |
      ALFA  =  | 0.40869-0.97744*i |
                      | 1.00306+0.00000*i |
 
      BETA  =  ( 1.52462,  0.49043,  2.00612 )

Собственные векторы:

               | -0.25205+0.19169*i |
               | -0.25205-0.19169*i |
               |  0.0+0.0*i                 |
               | -0.08799-0.72598*i |
      V  =  | -0.08799+0.72598*i |
               |  0.0+0.0*i                 |
               |  1.00000+0.00000*i |
               |  1.00000-0.00000*i  |
               |  1.0+0.0*i                 |

Собственные значения:

      λ1  =  0.83333+1.9930*i
      λ2  =  0.83333-1.9930*i
      λ3  =  0.50000+0.0000*i