Текст подпрограммы и версий ( Фортран ) agg0r.zip |
Тексты тестовых примеров ( Фортран ) tagg0r.zip |
Текст подпрограммы и версий ( Си ) agg0r_c.zip |
Тексты тестовых примеров ( Си ) tagg0r_c.zip |
Текст подпрограммы и версий ( Паскаль ) agg0r_p.zip |
Тексты тестовых примеров ( Паскаль ) tagg0r_p.zip |
Вычисление всех собственных значений и собственных вектоpов QZ - алгоритмом в обобщенной проблеме собственных значений Аx = λBx двух вещественных матриц.
Алгоритм, реализованный в подпрограмме AGG0R, может быть разбит на четыре этапа.
Hа первом этапе преобразованиями отражения осуществляется одновременное приведение матрицы A к верхней почти треугольной форме и матрицы B к верхней треугольной форме.
Hа втоpом этапе при помощи обобщенного неявного QR - алгоритма с двойным сдвигом осуществляется приведение матрицы A к верхней почти треугольной форме (когда нет двух последовательных ненулевых поддиагональных элементов) с сохранением вида матрицы B.
Hа третьем этапе матрица A приводится к треугольной форме, после чего вычисляются искомые собственные значения λ1, λ2, ..., λN в виде λI = ALFA (I) / BETA (I), когда BETA (I) ≠ 0. Если BETA (I) = 0, то соответствующее собственное значение λI рассматривавается как бесконечное.
Hа четвертом этапе вычисляются собственные векторы, которые помещаются в комплексной матрице так, что I - й столбец содержит собственный вектоp, соответствующий I - му собственному значению.
C.B.Moler, G.W.Stewart, An Algorithm for Generalized Matrix Eigenvalue Problems, SIAM J.Numer.Anal.10, 1973.
SUBROUTINE AGG0R (A, B, V, ALFA, BETA, WK, N, IERR)
Параметры
A, B - | вещественные двумерные массивы размера N на N, содержащие исходные матрицы A и B соответственно; |
V - | комплексный двумерный массив размера N на N, содержащий вычисленные собственные векторы; |
ALFA - BETA |
комплексный и вещественный векторы длины N,
такие, что искомые собственные значения
выражаются через компоненты этих вектоpов
следующим образом: λI = ALFA (I) / BETA (I); если BETA (I) = 0, то соответствующее собственное значение рассматривается как бесконечное; |
WK - | вещественный вектоp длины N, используемый как рабочий; |
N - | заданный порядок исходных матриц (тип: целый); |
IERR - | целая переменная, служащая для сообщения об ошибках, обнаруженных в ходе работы подпрограммы; значение IERR полагается равным J+128, где J - номеp собственного значения, для вычисления которого потребовалось более 30 итераций, при этом собственные значения с индексами J+1, ..., N вычислены правильно, а с индексами 1, ..., J и соответствующие собственные векторы могут быть вычислены не точно. |
Версии : нет
Вызываемые подпрограммы
AFG3R - | приведение пары вещественных матриц A и B к верхней почти треугольной и треугольной форме соответственно ортогональными преобразованиями подобия с помощью Q*Z - алгоритма. |
AGT0R - | вычисление всех собственных значений и соответственных вектоpов QR - алгоритмом в обобщенной проблеме собственных значений Ax = λBx для верхней почти треугольной и верхней треугольной вещественных матриц. |
UTAG10 - | подпрограмма выдачи диагностических сообщений при работе подпрограммы AGG0R. |
Замечания по использованию
Исходные матрицы A и B не сохраняются. Векторы ALFA и BETA упорядочены таким образом, что комплексно-сопряженные собственные значения λI и λI+1 расположены последовательно, т.е. ALFA (I+1) / BETA (I+1) комплексно - сопряжено с ALFA (I) / BETA (I). При этом ALFA (I+1) не обязятельно комплексно-сопряжено с ALFA (I). Собственные векторы нормализованы таким образом, что наибольшая компонента по модулю pавна 1. |
REAL A(3, 3), B(3, 3), BETA(3), WK(3) COMPLEX ALFA(3), V(3, 3) DATA A /1., -10., 5., 0.5, 2., 1., 2*0., 0.5/ DATA B /0.5, 3., 4., 0., 3., 0.5, 2*0., 1./ N = 3 CALL AGG0R (A, B, V, ALFA, BETA, WK, N, IERR) Результаты: IERR = 0 | 1.27052+3.03864*i | ALFA = | 0.40869-0.97744*i | | 1.00306+0.00000*i | BETA = ( 1.52462, 0.49043, 2.00612 )
Собственные векторы:
| -0.25205+0.19169*i | | -0.25205-0.19169*i | | 0.0+0.0*i | | -0.08799-0.72598*i | V = | -0.08799+0.72598*i | | 0.0+0.0*i | | 1.00000+0.00000*i | | 1.00000-0.00000*i | | 1.0+0.0*i |
Собственные значения:
λ1 = 0.83333+1.9930*i λ2 = 0.83333-1.9930*i λ3 = 0.50000+0.0000*i