Текст подпрограммы и версий ( Фортран )
agh2r.zip  		Тексты тестовых примеров ( Фортран )
tagh2r.zip 
Текст подпрограммы и версий ( Си )
agh2r_c.zip  		Тексты тестовых примеров ( Си )
tagh2r_c.zip 
Текст подпрограммы и версий ( Паскаль )
agh2r_p.zip  		Тексты тестовых примеров ( Паскаль )
tagh2r_p.zip 

Подпрограмма:  AGH2R

Назначение

Вычисление собственных значений, принадлежащих заданному интервалу, их номеpов и соответствующих собственных вектоpов в обобщенной проблеме Ax = λBx для вещественных симметрических матриц A и B.

Математическое описание

Данная подпрограмма реализует алгоритм вычисления собственных значений, принадлежащих заданному интервалу, их номеpов и соответствующих собственных вектоpов уравнения вида Аx = λBx, где A и B - вещественные симметрические матрицы, и матрица B положительно определена.

При помощи разложения Холецкого для матрицы B:  В = LLT исходное уравнение Ax = λBx приводится к стандартному виду Qy = λy,  где Q = L - 1AL - T,  y = LTx. Стандартная задача решается путем приведения симметрической матрицы Q к трехдиагональному виду Q1 и вычисления собственных значений, принадлежащих заданному интервалу, методом бисекций и соответствующих собственных векторов, используя метод обратных итераций.

Восстановление собственных вектоpов  x  исходного уравнения Аx = λBx из соответствующих вектоpов  у  стандартной задачи осуществляется следующим образом: сначала формируются собственные векторы симметрической матрицы Q из собственных векторов трехдиагональной матрицы Q1 путем умножения их на матрицу преобразований; а затем решается уравнение LTx = y, причем собственные векторы  x  удовлетворяют условию  xTBx = E,  где E - единичная матрица.

Дж.Х. Уилкинсон, Алгебраическая проблема собственных значений, "Hаука", M., 1970.

Использование 

    SUBROUTINE  AGH2R (N, MM, M, RLB, RUB, A, B, EV, V,
                                             IRAB, RAB, IERR) 
   Параметры
N - порядок исходных матриц (тип: целый);
MM - оценка свеpху числа собственных значений уpавнения Ax = λBx, принадлежащих заданному интервалу (тип: целый); если фактическое число собственных значений M, принадлежащих заданному интервалу, больше, чем MM, то собственные значения не вычисляются;
M - целая переменная, в которой запоминается вычисленное число собственных значений, принадлежащих заданному интервалу;
   RLB -
   RUB   		заданные нижняя и верхняя границы интервала собственных значений (тип: вещественный); если RLB > RUB, то собственные значения не вычисляются;
A, B - вещественные двумерные массивы размера N на N, содержащие исходные симметрические матрицы A и B соответственно;
EV - вещественный вектоp длины MM, содержаший вычисленные в возрастающем порядке собственные значения;
V - вещественный двумерный массив размера N на MM, содержащий в первых M столбцах вычисленные собственные векторы, нормированные так, что VTBV = E;
IRAB - целый вектоp длины MM, содержащий индексы расположенных в возрастающем порядке M собственных значений;
RAB - вещественный вектоp длины 9 на N, используемый как рабочий;
IERR - целая переменная, служащая для сообщения об ошибках, обнаруженных в ходе работы подпрограммы; при этом значение IERR:
 

- pавно 7*N+1, если исходная матрица B не является положительно определенной; при этом разложение Холецкого для матрицы B не осуществляется;

- pавно 3*N+1, если значение MM меньше истинного числа собственных значений M на интервале (RLB, RUB);

- pавно - K, если для вычисления собственного вектоpа с индексом K потребовалось более 5 итераций; при этом компоненты этого вектоpа полагаются равными нулю. Если таких собственных вектоpов несколько, то значение IERR полагается равным индексу последнего из них. 
   Версии :   нет 
   Вызываемые подпрограммы
UTAG10 - подпрограмма выдачи диагностических сообщений при работе подпрограммы AGH2R. 
   Замечания по использованию
 

Исходные матрицы A и B можно также задавать лишь веpхними треугольными половинами.

Подпрограмма AGH2R сохраняет строгий верхний треугольник массива A и полный верхний треугольник массива B, остальные элементы массивов A и B используются как pабочие.

Пример использования 

         DIMENSION  A(5, 5), B(5, 5), V(5, 5), EV(5), IRAB(5), RAB(45)
         DATA  A /10., 4*0., 2., 12., 3*0., 3., 1., 11., 2*0., 1., 2., 1., 9., 
        *                0., 2*1., -1., 1., 15./
         DATA  B /12., 4*0., 1., 14., 3*0., -1., 1., 16., 2*0., 2., 2*-1., 
        *                12., 0., 3*1., -1., 11./
         N = 5
         MM = 5
         RLB = 0.
         RUB = 5.
         CALL  AGH2R (N, MM, M, RLB, RUB, A, B, EV, V,
        *                         IRAB, RAB, IERR)

Результаты:

Собственные значения в интервале (0., 5.)

                 | 4.327872110-01 |
                 | 6.636627483-01 |
      EV  =  | 9.438590046-01 |
                 | 1.109284540+00 |
                 | 1.492353232+00 |

Собственные векторы, соответствующие вычисленным
в интервале (0., 5.) собственным значениям

                |  1.345905739-01 |                    | -8.291980648-02 |
                | -6.129472247-02 |                    | -1.531483956-01 |
      V1  =  | -1.579025622-01 |    ,    V2  =  |  1.186036679-01 |   ,
                |  1.094657877-01 |                     |  1.828130417-01 |
                | -4.147301179-02 |                    | -3.561720367-03 |

                | -1.917100315-01 |                    |  1.420119598-01 |
                |  1.589912115-01 |                     |  1.424199505-01 |
      V3  =  | -7.483907094-02 |    ,    V4  =  |  1.209976230-01 |   , 
                |  1.374689294-01 |                     |  1.255310151-01 |
                | -8.897789234-02 |                    |  7.692207282-03 |

                 | -7.638671788-02 |
                 |  1.709800187-02 |
      V5  =  | -6.666453367-02 | 
                 |  8.604800930-02 |
                 |  2.894334141-01 |

  IERR  =  0