|
Текст подпрограммы и версий ( Фортран ) agh4r.zip agh8r.zip |
Тексты тестовых примеров ( Фортран ) tagh4r.zip tagh8r.zip |
|
Текст подпрограммы и версий ( Си ) agh4r_c.zip agh8r_c.zip |
Тексты тестовых примеров ( Си ) tagh4r_c.zip tagh8r_c.zip |
|
Текст подпрограммы и версий ( Паскаль ) agh4r_p.zip agh8r_p.zip |
Тексты тестовых примеров ( Паскаль ) tagh4r_p.zip tagh8r_p.zip |
Вычисление всех собственных значений и собственных вектоpов в обобщенной проблеме ABx = λx или BAx = λx для вещественных симметричных матриц A и B.
Подпрограмма AGH4R реализует алгоритм вычисления всех собственных значений и собственных вектоpов уравнения вида АВx = λx, где A и B - вещественные симметричные матрицы, причем матрица B положительно определена.
При помощи разложения Холецкого для матрицы B: B = LLT исходное уравнение ABx = λx приводится к стандартному виду Qy = λy, где Q = LTAL, y = LTx. Стандартная задача решается путем приведения симметрической матрицы Q к трехдиагональному виду и вычисления собственных значений λ и собственных вектоpов у QL - алгоритмом со сдвигом.
Восстановление собственных вектоpов x исходного уравнения АВx = λx из соответствующих вектоpов у стандартной задачи осуществляется посредством решения уравнения LTx = y, при этом собственные векторы x удовлетворяют условию xTBx = E, где E - единичная матрица.
Уилкинсон, Райнш. Справочник алгоритмов на языке АЛГОЛ. Линейная алгебра, M., "Машиностроение", 1976.
SUBROUTINE AGH4R (A, B, V, EV, RAB, N, IERR)
Параметры
| A, B - | вещественные двумерные массивы размера N на N, содержащие исходные матрицы; |
| V - | вещественный двумерный массив размера N на N, в столбцах которого содержатся вычисленные собственные векторы, нормированные так, что VTBV = E; |
| EV - | вещественный вектоp длины N, содержащий вычисленные собственные значения, расположенные в возрастающем порядке; |
| RAB - | вещественный вектоp длины 2 на N, используемый как рабочий; |
| N - | порядок исходных матриц (тип: целый); |
| IERR - | целая переменная, служащая для сообщения об ошибках, обнаруженных в ходе работы подпрограммы; при этом значение IERR: |
|
- pавно 7*N+1, если исходная матрица B не является положительно определенной. В этом случае факторизация Холецкого матрицы B не осуществляется; - полагается равным номеpу собственного значения, для вычисления которого потребовалось более 30 итераций, при этом вычислены правильно, но не упорядочены, собственные значения с индексами 1, 2, ..., IERR - 1 и соответствующие собственные векторы. |
Версии
| AGH8R - | вычисление всех собственных значений и собственных вектоpов в обобщенной проблеме BAx = λx для вещественных симметричных матриц A и B. |
Вызываемые подпрограммы
| UTAG10 - | подпрограмма выдачи диагностических сообщений при работе подпрограммы AGH4R и AGH8R. |
Замечания по использованию
|
Исходные матрицы A и B можно задавать в одноименных массивах лишь верхними треугольниками. Подпрограммы AGH4R и AGH8R сохраняют строгий верхний треугольник массива A и полный верхний треугольник массива B (остальные компоненты массивов A и B используются как рабочие). Программа AGH8R нормирует собственные векторы x таким образом, что xTB - 1x = E. |
DIMENSION A(5, 5), B(5, 5), V(5, 5), EV(5), RAB(10)
DATA A /10., 4*0., 2., 12., 3*0., 3., 1., 11., 2*0., 1., 2., 1., 9.,
* 0., 2*1., -1., 1., 15./
DATA B /12., 4*0., 1., 14., 3*0., -1., 1., 16., 2*0., 2., 2*-1.,
* 12., 0., 3*1., -1., 11./
N = 5
CALL AGH4R (A, B, V, EV, RAB, N, IERR)
Результаты:
Собственные значения:
| 77.6971911949 |
| 112.1541932470 |
EV = | 134.6864633192 |
| 167.4848789147 |
| 242.9772733171 |
Собственные векторы:
| -0.2349114135 | | 0.1288556917 |
| 0.0410915167 | | -0.1193865988 |
V1 = | 0.0383075946 | , V2 = | -0.0282771880 | ,
| 0.2059003675 | | 0.1923580004 |
| 0.0734707966 | | -0.0097623271 |
| -0.0042355205 | | -0.0183136812 |
| 0.1812063856 | | 0.0266749519 |
V3 = | -0.1210383985 | , V4 = | -0.1834456078 | ,
| 0.06091827579 | | -0.0051904405 |
| -0.1690213925 | | 0.2218442867 |
| 0.1249195279 |
| 0.1535463561 |
V5 = | 0.1145245145 | ,
| 0.0657938487 |
| 0.1010161054 |
IERR = 0