|
Текст подпрограммы и версий agh4r_c.zip agh8r_c.zip |
Тексты тестовых примеров tagh4r_c.zip tagh8r_c.zip |
Вычисление всех собственных значений и собственных вектоpов в обобщенной проблеме ABx = λx или BAx = λx для вещественных симметричных матриц A и B.
Подпрограмма agh4r_c реализует алгоритм вычисления всех собственных значений и собственных вектоpов уравнения вида АВx = λx, где A и B - вещественные симметричные матрицы, причем матрица B положительно определена.
При помощи разложения Холецкого для матрицы B: B = LLT исходное уравнение ABx = λx приводится к стандартному виду Qy = λy, где Q = LTAL, y = LTx. Стандартная задача решается путем приведения симметрической матрицы Q к трехдиагональному виду и вычисления собственных значений λ и собственных вектоpов у QL - алгоритмом со сдвигом.
Восстановление собственных вектоpов x исходного уравнения АВx = λx из соответствующих вектоpов у стандартной задачи осуществляется посредством решения уравнения LTx = y, при этом собственные векторы x удовлетворяют условию xTBx = E, где E - единичная матрица.
Уилкинсон, Райнш. Справочник алгоритмов на языке АЛГОЛ. Линейная алгебра, M., "Машиностроение", 1976.
int agh4r_c (real *a, real *b, real *v, real *ev, real *rab1,
integer *n, integer *ierr)
Параметры
| a, b - | вещественные двумерные массивы размера n на n, содержащие исходные матрицы; |
| v - | вещественный двумерный массив размера n на n, в столбцах которого содержатся вычисленные собственные векторы, нормированные так, что vTBv = E; |
| ev - | вещественный вектоp длины n, содержащий вычисленные собственные значения, расположенные в возрастающем порядке; |
| rab - | вещественный вектоp длины 2 на n, используемый как рабочий; |
| n - | порядок исходных матриц (тип: целый); |
| ierr - | целая переменная, служащая для сообщения об ошибках, обнаруженных в ходе работы подпрограммы; при этом значение ierr: |
|
- pавно 7*n+1, если исходная матрица B не является положительно определенной. В этом случае факторизация Холецкого матрицы B не осуществляется; - полагается равным номеpу собственного значения, для вычисления которого потребовалось более 30 итераций, при этом вычислены правильно, но не упорядочены, собственные значения с индексами 1, 2, ..., ierr - 1 и соответствующие собственные векторы. |
Версии
| agh8r_c - | вычисление всех собственных значений и собственных вектоpов в обобщенной проблеме BAx = λx для вещественных симметричных матриц A и B. |
Вызываемые подпрограммы
| utag10_c - | подпрограмма выдачи диагностических сообщений при работе подпрограммы agh4r_c и agh8r_c. |
Замечания по использованию
|
Исходные матрицы A и B можно задавать в одноименных массивах лишь верхними треугольниками. Подпрограммы agh4r_c и agh8r_c сохраняют строгий верхний треугольник массива a и полный верхний треугольник массива b (остальные компоненты массивов a и b используются как рабочие). Программа agh8r_c нормирует собственные векторы x таким образом, что xTB - 1x = E. |
int main(void)
{
/* Initialized data */
static float a[25] /* was [5][5] */ = { 10.f,0.f,0.f,0.f,0.f,2.f,12.f,
0.f,0.f,0.f,3.f,1.f,11.f,0.f,0.f,1.f,2.f,1.f,9.f,0.f,1.f,1.f,-1.f,
1.f,15.f };
static float b[25] /* was [5][5] */ = { 12.f,0.f,0.f,0.f,0.f,1.f,14.f,
0.f,0.f,0.f,-1.f,1.f,16.f,0.f,0.f,2.f,-1.f,-1.f,12.f,0.f,1.f,1.f,
1.f,-1.f,11.f };
/* Local variables */
static int ierr;
extern int agh4r_c(float *, float *, float *, float *, float *,
int *, int *);
static int i__, n;
static float v[25] /* was [5][5] */, ev[5], rab1[10];
#define a_ref(a_1,a_2) a[(a_2)*5 + a_1 - 6]
#define b_ref(a_1,a_2) b[(a_2)*5 + a_1 - 6]
#define v_ref(a_1,a_2) v[(a_2)*5 + a_1 - 6]
for (i__ = 1; i__ <= 5; ++i__) {
printf("\n %15.7e %15.7e %15.7e %15.7e %15.7e \n",
a_ref(i__, 1), a_ref(i__, 2), a_ref(i__, 3),
a_ref(i__, 4), a_ref(i__, 5));
}
for (i__ = 1; i__ <= 5; ++i__) {
printf("\n %15.7e %15.7e %15.7e %15.7e %15.7e \n",
b_ref(i__, 1), b_ref(i__, 2), b_ref(i__, 3),
b_ref(i__, 4), b_ref(i__, 5));
}
n = 5;
agh4r_c(a, b, v, ev, rab1, &n, &ierr);
for (i__ = 1; i__ <= 5; ++i__) {
printf("\n %15.7e %15.7e %15.7e %15.7e %15.7e \n",
a_ref(i__, 1), a_ref(i__, 2), a_ref(i__, 3),
a_ref(i__, 4), a_ref(i__, 5));
}
for (i__ = 1; i__ <= 5; ++i__) {
printf("\n %15.7e %15.7e %15.7e %15.7e %15.7e \n",
b_ref(i__, 1), b_ref(i__, 2), b_ref(i__, 3),
b_ref(i__, 4), b_ref(i__, 5));
}
for (i__ = 1; i__ <= 5; ++i__) {
printf("\n %15.7e \n", ev[i__-1]);
}
for (i__ = 1; i__ <= 5; ++i__) {
printf("\n %15.7e %15.7e %15.7e %15.7e %15.7e \n",
v_ref(i__, 1), v_ref(i__, 2), v_ref(i__, 3),
v_ref(i__, 4), v_ref(i__, 5));
}
printf("\n %5i \n", ierr);
return 0;
} /* main */
Результаты:
Собственные значения:
| 77.6971911949 |
| 112.1541932470 |
ev = | 134.6864633192 |
| 167.4848789147 |
| 242.9772733171 |
Собственные векторы:
| -0.2349114135 | | 0.1288556917 |
| 0.0410915167 | | -0.1193865988 |
v1 = | 0.0383075946 | , v2 = | -0.0282771880 | ,
| 0.2059003675 | | 0.1923580004 |
| 0.0734707966 | | -0.0097623271 |
| -0.0042355205 | | -0.0183136812 |
| 0.1812063856 | | 0.0266749519 |
v3 = | -0.1210383985 | , v4 = | -0.1834456078 | ,
| 0.06091827579 | | -0.0051904405 |
| -0.1690213925 | | 0.2218442867 |
| 0.1249195279 |
| 0.1535463561 |
v5 = | 0.1145245145 | ,
| 0.0657938487 |
| 0.1010161054 |
ierr = 0