Текст подпрограммы и версий
agh4r_c.zip  agh8r_c.zip 
Тексты тестовых примеров
tagh4r_c.zip  tagh8r_c.zip 

Подпрограмма:  agh4r_c (версия agh8r_c)

Назначение

Вычисление всех собственных значений и собственных вектоpов в обобщенной проблеме ABx = λx или BAx = λx для вещественных симметричных матриц A и B.

Математическое описание

Подпрограмма agh4r_c реализует алгоритм вычисления всех собственных значений и собственных вектоpов уравнения вида АВx = λx, где A и B - вещественные симметричные матрицы, причем матрица B положительно определена.

При помощи разложения Холецкого для матрицы B:  B = LLT исходное уравнение ABx = λx приводится к стандартному виду Qy = λy,  где Q = LTAL,  y = LTx. Стандартная задача решается путем приведения симметрической матрицы Q к трехдиагональному виду и вычисления собственных значений λ и собственных вектоpов  у  QL - алгоритмом со сдвигом.

Восстановление собственных вектоpов  x  исходного уравнения АВx = λx из соответствующих вектоpов  у  стандартной задачи осуществляется посредством решения уравнения LTx = y, при этом собственные векторы  x  удовлетворяют условию xTBx = E,  где E - единичная матрица.

Уилкинсон, Райнш. Справочник алгоритмов на языке АЛГОЛ. Линейная алгебра, M., "Машиностроение", 1976.

Использование

    int agh4r_c (real *a, real *b, real *v, real *ev, real *rab1,
            integer *n, integer *ierr)

Параметры

a, b - вещественные двумерные массивы размера n на n, содержащие исходные матрицы;
v - вещественный двумерный массив размера n на n, в столбцах которого содержатся вычисленные собственные векторы, нормированные так, что vTBv = E;
ev - вещественный вектоp длины n, содержащий вычисленные собственные значения, расположенные в возрастающем порядке;
rab - вещественный вектоp длины 2 на n, используемый как рабочий;
n - порядок исходных матриц (тип: целый);
ierr - целая переменная, служащая для сообщения об ошибках, обнаруженных в ходе работы подпрограммы; при этом значение ierr:
 

- pавно 7*n+1, если исходная матрица B не является положительно определенной. В этом случае факторизация Холецкого матрицы B не осуществляется;

- полагается равным номеpу собственного значения, для вычисления которого потребовалось более 30 итераций, при этом вычислены правильно, но не упорядочены, собственные значения с индексами 1, 2, ..., ierr - 1 и соответствующие собственные векторы.

Версии

agh8r_c - вычисление всех собственных значений и собственных вектоpов в обобщенной проблеме BAx = λx для вещественных симметричных матриц A и B.

Вызываемые подпрограммы

utag10_c - подпрограмма выдачи диагностических сообщений при работе подпрограммы agh4r_c и agh8r_c.

Замечания по использованию

 

Исходные матрицы A и B можно задавать в одноименных массивах лишь верхними треугольниками.

Подпрограммы agh4r_c и agh8r_c сохраняют строгий верхний треугольник массива a и полный верхний треугольник массива b (остальные компоненты массивов a и b используются как рабочие).

Программа agh8r_c нормирует собственные векторы  x  таким образом, что xTB - 1x = E.

Пример использования

int main(void)
{
    /* Initialized data */
    static float a[25]   /* was [5][5] */ = { 10.f,0.f,0.f,0.f,0.f,2.f,12.f,
            0.f,0.f,0.f,3.f,1.f,11.f,0.f,0.f,1.f,2.f,1.f,9.f,0.f,1.f,1.f,-1.f,
            1.f,15.f };
    static float b[25]   /* was [5][5] */ = { 12.f,0.f,0.f,0.f,0.f,1.f,14.f,
            0.f,0.f,0.f,-1.f,1.f,16.f,0.f,0.f,2.f,-1.f,-1.f,12.f,0.f,1.f,1.f,
            1.f,-1.f,11.f };

    /* Local variables */
    static int ierr;
    extern int agh4r_c(float *, float *, float *, float *, float *,
                       int *, int *);
    static int i__, n;
    static float v[25]   /* was [5][5] */, ev[5], rab1[10];

#define a_ref(a_1,a_2) a[(a_2)*5 + a_1 - 6]
#define b_ref(a_1,a_2) b[(a_2)*5 + a_1 - 6]
#define v_ref(a_1,a_2) v[(a_2)*5 + a_1 - 6]

    for (i__ = 1; i__ <= 5; ++i__) {
         printf("\n %15.7e %15.7e %15.7e %15.7e %15.7e \n",
                a_ref(i__, 1), a_ref(i__, 2), a_ref(i__, 3),
                a_ref(i__, 4), a_ref(i__, 5));
    }
    for (i__ = 1; i__ <= 5; ++i__) {
         printf("\n %15.7e %15.7e %15.7e %15.7e %15.7e \n",
                b_ref(i__, 1), b_ref(i__, 2), b_ref(i__, 3),
                b_ref(i__, 4), b_ref(i__, 5));
    }
    n = 5;
    agh4r_c(a, b, v, ev, rab1, &n, &ierr);

    for (i__ = 1; i__ <= 5; ++i__) {
         printf("\n %15.7e %15.7e %15.7e %15.7e %15.7e \n",
                a_ref(i__, 1), a_ref(i__, 2), a_ref(i__, 3),
                a_ref(i__, 4), a_ref(i__, 5));
    }
    for (i__ = 1; i__ <= 5; ++i__) {
         printf("\n %15.7e %15.7e %15.7e %15.7e %15.7e \n",
                b_ref(i__, 1), b_ref(i__, 2), b_ref(i__, 3),
                b_ref(i__, 4), b_ref(i__, 5));
    }
    for (i__ = 1; i__ <= 5; ++i__) {
         printf("\n %15.7e \n", ev[i__-1]);
    }
    for (i__ = 1; i__ <= 5; ++i__) {
         printf("\n %15.7e %15.7e %15.7e %15.7e %15.7e \n",
                v_ref(i__, 1), v_ref(i__, 2), v_ref(i__, 3),
                v_ref(i__, 4), v_ref(i__, 5));
    }
    printf("\n %5i \n", ierr);
    return 0;
} /* main */


Результаты:

Собственные значения:

                 |  77.6971911949  |
                 | 112.1541932470 |
      ev  =  | 134.6864633192 |
                 | 167.4848789147 |
                 | 242.9772733171 |

Собственные векторы:

                | -0.2349114135 |                   |  0.1288556917  |
                |  0.0410915167 |                    | -0.1193865988 |
      v1  =  |  0.0383075946 |    ,    v2  =  | -0.0282771880 |    , 
                 |  0.2059003675 |                   |  0.1923580004 |
                 |  0.0734707966 |                   | -0.0097623271 |

                 | -0.0042355205  |                  | -0.0183136812 |
                 |  0.1812063856  |                   |  0.0266749519 |
      v3  =  | -0.1210383985  |   ,    v4  =  | -0.1834456078 |    , 
                |  0.06091827579 |                  | -0.0051904405 |
                | -0.1690213925  |                   |  0.2218442867 |

                 |  0.1249195279 |
                 |  0.1535463561 |
      v5  =  |  0.1145245145 |    , 
                 |  0.0657938487 |
                 |  0.1010161054 |

      ierr  =  0