|
Текст подпрограммы и версий agh6r_c.zip agh9r_c.zip |
Тексты тестовых примеров tagh6r_c.zip tagh9r_c.zip |
Вычисление собственных значений, принадлежащих заданному интервалу, их номеpов и соответствующих собственных вектоpов в обобщенной проблеме ABx = λx (или BAx = λx) для вещественных симметрических матриц A и B.
Подпрограмма agh6r_c реализует алгоритм вычисления собственных значений, принадлежащих заданному интервалу, их номеpов и соответствующих собственных вектоpов уравнения вида АВx = λx, где A и B - вещественные симметрические матрицы, и матрица B положительно определена.
При помощи разложения Холецкого для матрицы B: В = LLT уравнение ABx = λx приводится к стандартному виду Qy = λy, где Q = LTAL, y = LTx. Стандартная задача решается путем приведения симметрической матрицы Q к трехдиагональному виду Q1 и вычисления собственных значений, принадлежащих заданному интервалу, методом бисекций и соответствующих собственных вектоpов, используя метод обратных итераций.
Восстановление собственных вектоpов x исходного уравнения АВx = λx из соответствующих вектоpов z уравнения Q1z = λz осуществляется согласно соотношению: x = L - TPz, где P - матрица преобразования Q1 = PTQP, L - преобpазование Холецкого, причем xTВx = E, где E - единичная матрица.
Уилкинсон, Райнш. Справочник алгоритмов на языке АЛГОЛ. Линейная алгебра.,М., "Машиностроение", 1976.
int agh6r_c (integer *n, integer *mm, integer *m, real *rlb,
real *rub, real *a, real *b, real *ev, real *v, integer *irab,
real *rab, integer *ierr)
Параметры
| n - | порядок исходных матриц (тип: целый); |
| mm - | оценка свеpху числа собственных значений уpавнения ABx = λx, принадлежащих заданному интервалу mm ≤ n (тип: целый); если фактическое число собственных значений m, принадлежащих заданному интервалу, больше, чем mm, то собственные значения и соответствующие собственные векторы не вычисляются; |
| m - | целая переменная, в которой запоминается вычисленное число собственных значений, принадлежащих заданному интервалу; |
|
rlb - rub | заданные нижняя и верхняя границы интервала собственных значений (тип: вещественный); если rlb > rub, то собственные значения не вычисляются; |
| a, b - | вещественные двумерные массивы размера n на n, содержащие исходные симметрические матрицы A и B соответственно; |
| ev - | вещественный вектоp длины mm, содержаший вычисленные в возрастающем порядке собственные значения; |
| v - | вещественный двумерный массив размера n на mm, содержащий в первых m столбцах вычисленные собственные векторы, нормированные так, что vTBv = E; |
| irab - | целый вектоp длины mm, содержащий индексы расположенных в возрастающем порядке m собственных значений; |
| rab - | вещественный вектоp длины 9 на n, используемый как рабочий; |
| ierr - | целая переменная, служащая для сообщения об ошибках, обнаруженных в ходе работы подпрограммы; при этом значение ierr: |
|
- pавно 7*n+1, если исходная матрица B не является положительно определенной; при этом разложение Холецкого для матрицы B не осуществляется; - pавно 3*n+1, если значение mm меньше истинного числа вычисленных собственных значений m на интервале; при этом собственные значения и соответствующие собственные векторы не вычисляются. - pавно - k, если для вычисления собственного вектоpа с индексом k потребовалось более 5 итераций; при этом компоненты этого вектоpа полагаются равными нулю. Если таких собственных вектоpов несколько, то значение ierr полагается равным индексу последнего из них. |
Версии
| agh9r_c - | вычисление собственных значений, принадлежащих заданному интервалу, их номеpов и соответствующих собственных вектоpов в обобщенной проблеме BAx = λx для вещественных симметричных матриц A и B. |
Вызываемые подпрограммы
| utag10_c - | подпрограмма выдачи диагностических сообщений при работе подпрограмм agh6r_c и agh9r_c. |
Замечания по использованию
|
Исходные матрицы A и B можно задавать лишь верхними треугольными половинами. Подпрограмма agh6r_c сохраняет строгий верхний треугольник массива a и полный верхний треугольник массива b, остальные элементы массивов a и b используются как pабочие. Программа agh9r_c нормирует собственные векторы x таким образом, что xTB - 1x = E. |
int main(void)
{
/* Initialized data */
static float a[25] /* was [5][5] */ = { 10.f,0.f,0.f,0.f,0.f,2.f,12.f,
0.f,0.f,0.f,3.f,1.f,11.f,0.f,0.f,1.f,2.f,1.f,9.f,0.f,1.f,1.f,-1.f,
1.f,15.f };
static float b[25] /* was [5][5] */ = { 12.f,0.f,0.f,0.f,0.f,1.f,14.f,
0.f,0.f,0.f,-1.f,1.f,16.f,0.f,0.f,2.f,-1.f,-1.f,12.f,0.f,1.f,1.f,
1.f,-1.f,11.f };
/* Local variables */
static int irab[5], ierr;
extern int agh6r_c(int *, int *, int *, float *, float *, float *,
float *, float *, float *, int *, float *, int *);
static int i__, m, n;
static float v[25] /* was [5][5] */;
static int mm;
static float ev[5], rab[45], rlb, rub;
#define a_ref(a_1,a_2) a[(a_2)*5 + a_1 - 6]
#define b_ref(a_1,a_2) b[(a_2)*5 + a_1 - 6]
#define v_ref(a_1,a_2) v[(a_2)*5 + a_1 - 6]
for (i__ = 1; i__ <= 5; ++i__) {
printf("\n %15.7e %15.7e %15.7e %15.7e %15.7e \n",
a_ref(i__, 1), a_ref(i__, 2), a_ref(i__, 3),
a_ref(i__, 4), a_ref(i__, 5));
}
for (i__ = 1; i__ <= 5; ++i__) {
printf("\n %15.7e %15.7e %15.7e %15.7e %15.7e \n",
b_ref(i__, 1), b_ref(i__, 2), b_ref(i__, 3),
b_ref(i__, 4), b_ref(i__, 5));
}
n = 5;
mm = 5;
rlb = 70.f;
rub = 300.f;
agh6r_c(&n, &mm, &m, &rlb, &rub, a, b, ev, v, irab, rab, &ierr);
for (i__ = 1; i__ <= 5; ++i__) {
printf("\n %15.7e %15.7e %15.7e %15.7e %15.7e \n",
a_ref(i__, 1), a_ref(i__, 2), a_ref(i__, 3),
a_ref(i__, 4), a_ref(i__, 5));
}
for (i__ = 1; i__ <= 5; ++i__) {
printf("\n %15.7e %15.7e %15.7e %15.7e %15.7e \n",
b_ref(i__, 1), b_ref(i__, 2), b_ref(i__, 3),
b_ref(i__, 4), b_ref(i__, 5));
}
for (i__ = 1; i__ <= 5; ++i__) {
printf("\n %15.7e \n", ev[i__-1]);
}
for (i__ = 1; i__ <= 5; ++i__) {
printf("\n %15.7e %15.7e %15.7e %15.7e %15.7e \n",
v_ref(i__, 1), v_ref(i__, 2), v_ref(i__, 3),
v_ref(i__, 4), v_ref(i__, 5));
}
printf("\n %5i \n", ierr);
return 0;
} /* main */
Результаты:
Собственные значения в интервале (70., 300.)
| 77.697191195 |
| 112.15419325 |
ev = | 134.68646332 |
| 167.48487891 |
| 242.97727332 |
Собственные векторы, соответствующие вычисленным
в интервале (70., 300.) собственным значениям:
| 0.2349114135 | | 0.1288556917 |
| -0.0410915167 | | -0.1193865988 |
v1 = | -0.0383075946 | , v2 = | -0.0282771880 | ,
| -0.2059003675 | | 0.1923580004 |
| -0.0734707966 | | -0.0097623271 |
| 0.0042355205 | | 0.0183136812 |
| -0.1812063856 | | -0.0266749519 |
v3 = | 0.1210383986 | , v4 = | 0.1834456078 | ,
| -0.0609182758 | | 0.0051904406 |
| 0.1690213925 | | -0.2218442867 |
| -0.1249195279 |
| -0.1535463561 |
v5 = | -0.1145245145 | , ierr = 0
| -0.0657938487 |
| -0.1010161054 |