|
Текст подпрограммы и версий agt0r_c.zip |
Тексты тестовых примеров tagt0r_c.zip |
Вычисление всех собственных значений и собственных вектоpов в обобщенной проблеме AV - 1x = λBV - 1 для вещественных верхней почти треугольной матрицы A произвольной невырожденной матрицы V и верхней треугольной матрицы B с помощью QR - алгоритма.
Подпрограмма agt0r_c вычисляет все собственные значения и собственные векторы обобщенной проблемы
AV - 1x = λBV - 1x
для вещественных верхней почти треугольной матрицы A, верхней треугольной матрицы B и произвольной невырожденной матрицы V с помощью QR - алгоритма. Матрицы A, B и V имеют размеры N на N.
Информация о вычисленных собственных значениях обобщенной проблемы выдается в вектоpах ALFR, ALFI, BETA длины N, по которым k - ое собственное значение λk определяется с помощью формулы:
λk = ALFR(K) / BETA(K) + i ALFI(K) / BETA(K), при BETA(K) ≠ 0,
(1) λk = ∞ , при BETA(K) = 0,
λk = любое число , при ALFR(K) = ALFI(K) =
= BETA(K) = 0.
Вычисленные собственные векторы Xk обобщенной проблемы помещаются на место матрицы V таким образом, что вещественному значению λk соответствует k - ый столбец Vk матрицы V, т.е. Xk = Vk, а паре комплексно - сопряженных собственных значений λk и λk+1 соответствуют столбцы Vk и Vk+1 матрицы V. При этом
Xk = Vk + i Vk+1, Xk+1 = Vk - i Vk+1.
C.B.Moler, G.W.Stewart, An Algorithm_c for Generalized Matrix Eigenvalue Problems, SIAM J. Numer. Anal., 10, 1973.
int agt0r_c (real *a, real *b, real *v, real *alfr,
real *alfi, real *beta, integer *n, integer *ierr)
Параметры
| a, b - | вещественные двумерные массивы размера n на n, содержащие соответственно верхнюю почти треугольную и верхнюю треугольную матрицы; |
| v - | вещественный двумерный массив размера n на n, содержащий заданную невырожденную матрицу V; в результате работы подпрограммы в столбцах массива v содержатся вычисленные собственные векторы Xk таким образом, что вещественному собственному значению λk соответствует k - ый столбец vk, т.е Xk = vk, а паре комплексно - сопряженных собственных значений λk и λk+1 соответствуют два столбца vk и vk+1; при этом Xk = vk + i vk+1, а Xk+1 = vk - i vk+1; |
|
alfr - alfi beta | вещественные векторы длины n, содержащие информацию о собственных значениях λk обобщенной проблемы; при этом собственные значения определяются формулой (1); |
| n - | заданный порядок исходных матриц A, B и V (тип: целый); |
| ierr - | целая переменная, служащая для сообщения об ошибках, обнаруженых в ходе работы подпрограммы; значение ierr полагается равным j+128, где j - номеp собственного значения, для вычисления которого потребовалось более 30 итераций, при этом собственные значения с индексами j+1, ..., n вычислены правильно, а с индексами 1, ..., j и собственные векторы могут быть вычислены не точно. |
Версии : нет
Вызываемые подпрограммы
| utag10_c - | подпрограмма выдачи диагностических сообщений при работе подпрограммы agt0r_c. |
Замечания по использованию
| 1. |
Подпрограмма agt0r_c не сохраняет исходную информацию. | |
| 2. |
B массиве v должна задаваться единичная матрица, если решается обобщенная проблема Ax = λBx для вещественных верхней почти треугольной матрицы A и верхней треугольной матрицы B. | |
| 3. | Вычисленные собственные векторы нормализованы так, что наибольшая компонента по модулю pавна 1. |
int main(void)
{
/* Initialized data */
static float a[9] /* was [3][3] */ = { 1.f,-10.f,5.f,.5f,2.f,1.f,0.f,
0.f,.5f };
static float b[9] /* was [3][3] */ = { .5f,3.f,4.f,0.f,3.f,.5f,0.f,0.f,
1.f };
/* Local variables */
static float alfi[3], beta[3], alfr[3];
static int ierr;
extern int afg3r_c(float *, float *, float *, int *, int *),
agt0r_c(float *, float *, float *, float *, float *, float *,
int *, int *);
static int i__, m, n;
static float v[9] /* was [3][3] */;
#define a_ref(a_1,a_2) a[(a_2)*3 + a_1 - 4]
#define b_ref(a_1,a_2) b[(a_2)*3 + a_1 - 4]
#define v_ref(a_1,a_2) v[(a_2)*3 + a_1 - 4]
for (i__ = 1; i__ <= 3; ++i__) {
printf("\n %13.3e %13.3e %13.3e \n",
a_ref(i__, 1), a_ref(i__, 2), a_ref(i__, 3));
}
for (i__ = 1; i__ <= 3; ++i__) {
printf("\n %13.3e %13.3e %13.3e \n",
b_ref(i__, 1), b_ref(i__, 2), b_ref(i__, 3));
}
n = 3;
m = 0;
afg3r_c(a, b, v, &n, &m);
for (i__ = 1; i__ <= 3; ++i__) {
printf("\n %13.3e %13.3e %13.3e \n",
a_ref(i__, 1), a_ref(i__, 2), a_ref(i__, 3));
}
for (i__ = 1; i__ <= 3; ++i__) {
printf("\n %13.3e %13.3e %13.3e \n",
b_ref(i__, 1), b_ref(i__, 2), b_ref(i__, 3));
}
for (i__ = 1; i__ <= 3; ++i__) {
printf("\n %14.5e %14.5e %14.5e \n",
v_ref(i__, 1), v_ref(i__, 2), v_ref(i__, 3));
}
agt0r_c(a, b, v, alfr, alfi, beta, &n, &ierr);
for (i__ = 1; i__ <= 3; ++i__) {
printf("\n %13.3e %13.3e %13.3e \n",
a_ref(i__, 1), a_ref(i__, 2), a_ref(i__, 3));
}
for (i__ = 1; i__ <= 3; ++i__) {
printf("\n %13.3e %13.3e %13.3e \n",
b_ref(i__, 1), b_ref(i__, 2), b_ref(i__, 3));
}
for (i__ = 1; i__ <= 3; ++i__) {
printf("\n %14.5e \n", alfr[i__-1]);
}
for (i__ = 1; i__ <= 3; ++i__) {
printf("\n %14.5e \n", alfi[i__-1]);
}
for (i__ = 1; i__ <= 3; ++i__) {
printf("\n %14.5e \n", beta[i__-1]);
}
for (i__ = 1; i__ <= 3; ++i__) {
printf("\n %14.5e %14.5e %14.5e \n",
v_ref(i__, 1), v_ref(i__, 2), v_ref(i__, 3));
}
printf("\n %5i \n", ierr);
return 0;
} /* main */
Результаты:
ierr = 0
alfr = ( 1.27052, 0.40869, 1.00306)
alfi = ( 3.03864, -0.97744, 0.00000)
beta = ( 1.52462, 0.49043, 2.00612)
| -0.25205 0.19169 0.00000 |
v = | -0.08799 -0.72598 0.00000 |
| 1.00000 0.00000 1.00000 |
Собственные значения
λk = (alfr(k) + i alfi(k)) / beta(k), k = 1, 2, 3:
λ1 = 0.83333 + 1.9930i
λ2 = 0.83333 - 1.9930i
λ3 = 0.50000 + 0.0000i
Собственные векторы:
| -0.25205 + 0.19169i |
x1 = | -0.08799 - 0.72598i |
| 1.00000 + 0.00000i |
| -0.25205 - 0.19169i |
x2 = | -0.08799 + 0.72598i |
| 1.00000 - 0.00000i |
| 0.00000 + 0.00000i |
x3 = | 0.00000 + 0.00000i |
| 1.00000 + 0.00000i |