Текст подпрограммы и версий
agh0r_p.zip  		Тексты тестовых примеров
tagh0r_p.zip 

Подпрограмма:  AGH0R (модуль AGH0R_p)

Назначение

Вычисление всех собственных значений и собственных вектоpов в обобщенной проблеме собственных значений AX = λBX для вещественных симметричных матриц A и B.

Математическое описание

Данная подпрограмма реализует алгоритм вычисления всех собственных значений и собственных вектоpов уравнения вида Аx = λBx, где A и B - вещественные симметрические матрицы и матрица B положительно определена.

При помощи разложения Холецкого для матрицы B:  В = LLT исходное уравнение Ax = λBx приводится к стандартному виду Qy = λy, где Q = L - 1AL - T,  y = LTx. Стандартная задача решается путем приведения симметрической матрицы Q к трехдиагональному виду и вычисления собственных значений λ и собственных вектоpов  у  QL - алгоритмом со сдвигом.

Восстановление собственных вектоpов  x  исходного уравнения Аx = λBx из соответствующих вектоpов  у  стандартной задачи осуществляется посредством решения уравнения LTx = y, при этом собственные векторы  x  удовлетворяют условию  xTBx = E, где E - единичная матрица.

Дж.Х. Уилкинсон, Алгебраическая проблема собственных значений, "Hаука", M., 1970.

Использование 

procedure AGH0R(var A :Array of Real; var B :Array of Real;
                var V :Array of Real; var EV :Array of Real;
                var RAB :Array of Real; N :Integer;
                var IERR :Integer);


   Параметры
A, B - вещественные двумерные массивы размера N на N, содержащие исходные матрицы;
V - вещественный двумерный массив размера N на N, в столбцах которого содержатся вычисленные собственные векторы, нормированные так, что VTBV = E;
EV - вещественный одномерный массив длины N, содержащий вычисленные собственные значения, расположенные в возрастающем порядке;
RAB - вещественный одномерный массив длины 2 на N, используемый как рабочий;
N - порядок исходных матриц (тип: целый);
IERR - целая переменная, служащая для сообщения об ошибках, обнаруженных в ходе работы подпрограммы; при этом значение IERR:
 

- pавно 7*N+1, если исходная матрица B не является положительно определенной;

- полагается равным номеpу собственного значения, для вычисления которого потребовалось более 30 итераций; при этом вычислены правильно, но не упорядочены, собственные значения с индексами 1, 2, ..., IERR - 1 и соответствующие собственные векторы. 

   Версии :   нет 
   Вызываемые подпрограммы
UTAG10 - подпрограмма выдачи диагностических сообщений при работе подпрограммы AGH0R. 
   Замечания по использованию
 

Исходные матрицы A и B можно задавать в одноименных массивах лишь верхними треугольниками.

Подпрограмма AGH0R сохраняет строгий верхний треугольник массива A и полный верхний треугольник массива B (остальные компоненты массивов A и B используются как рабочие).

Пример использования 

Unit TAGH0R_p;
interface
uses
SysUtils, Math, { Delphi }
Lstruct, Lfunc, UtRes_p, AGH0R_p;

function TAGH0R: String;

implementation

function TAGH0R: String;
var
J,I,IE9R,IERR :Integer;
V :Array [0..24] of Real;
EV :Array [0..4] of Real;
RАВ :Array [0..9] of Real;
const
A :Array [0..24] of Real = ( 10.0,0.0,0.0,0.0,0.0,2.0,12.0,0.0,0.0,0.0,3.0,
1.0,11.0,0.0,0.0,1.0,2.0,1.0,9.0,0.0,1.0,1.0,-1.0,
1.0,15.0 );
B :Array [0..24] of Real = ( 12.0,0.0,0.0,0.0,0.0,1.0,14.0,0.0,0.0,0.0,-1.0,
1.0,16.0,0.0,0.0,2.0,-1.0,-1.0,12.0,0.0,1.0,1.0,
1.0,-1.0,11.0 );
begin
Result := '';  { результат функции }
Result := Result + Format('%s',
 [' ОПРЕДЕЛЕНИЕ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ И СОБСТВЕННЫХ BEKTOPOB' + #$0D#$0A +
 ' YРАВНЕНИЯ BИДA:AX=LAMBDA*BX, ГДЕ A И B - ВЕЩЕСТВЕННЫЕ СИММЕТРИЧЕСКИЕ MATPИЦЫ']) + #$0D#$0A; 
Result := Result + #$0D#$0A;
Result := Result + Format('%s',[' A' + #$0D#$0A]);
for I:=1 to 5 do
 begin
  for J:=1 to 5 do
   begin
    Result := Result + Format('%20.16f ',[A[(I-1)+(J-1)*5]]) + #$0D#$0A;
   end;
 end;
Result := Result + #$0D#$0A;
Result := Result + #$0D#$0A;
Result := Result + Format('%s',[' B' + #$0D#$0A]);
for I:=1 to 5 do
 begin
  for J:=1 to 5 do
   begin
    Result := Result + Format('%20.16f ',[B[(I-1)+(J-1)*5]]) + #$0D#$0A;
   end;
 end;
Result := Result + #$0D#$0A;
AGH0R(A,B,V,EV,RAB,5,IERR);
Result := Result + Format('%s',[' PEЗYЛЬTAT']) + #$0D#$0A; 
Result := Result + #$0D#$0A;
Result := Result + Format('%s',[' A' + #$0D#$0A]);
for I:=1 to 5 do
 begin
  for J:=1 to 5 do
   begin
    Result := Result + Format('%20.16f ',[A[(I-1)+(J-1)*5]]) + #$0D#$0A;
   end;
 end;
Result := Result + #$0D#$0A;
Result := Result + #$0D#$0A;
Result := Result + Format('%s',[' B' + #$0D#$0A]);
for I:=1 to 5 do
 begin
  for J:=1 to 5 do
   begin
    Result := Result + Format('%20.16f ',[B[(I-1)+(J-1)*5]]) + #$0D#$0A;
   end;
 end;
Result := Result + #$0D#$0A;
Result := Result + #$0D#$0A;
Result := Result + Format('%s',[' EV' + #$0D#$0A]);
for I:=1 to 5 do
 begin
  Result := Result + Format('%20.16f ',[EV[I-1]]) + #$0D#$0A;
 end;
Result := Result + #$0D#$0A;
Result := Result + #$0D#$0A;
Result := Result + Format('%s',[' V' + #$0D#$0A]);
for I:=1 to 5 do
 begin
  for J:=1 to 5 do
   begin
    Result := Result + Format('%20.16f ',[V[(I-1)+(J-1)*5]]) + #$0D#$0A;
   end;
 end;
Result := Result + #$0D#$0A;
Result := Result + Format('%s',[' IERR' + #$0D#$0A]);
Result := Result + Format('%8d ',[IERR]) + #$0D#$0A;
UtRes('TAGH0R',Result);  { вывод результатов в файл TAGH0R.res }
exit;
end;

end.

Результаты:

Собственные значения:

                  | 0.4327872109 |
                  | 0.6636627483 |
      EV  =  | 0.9438590046 |
                  | 1.109284540  |
                  | 1.492353232  |

Собственные векторы:

                 |  0.1345905739   |                 |  0.08291980648  |
                 | -0.061294722    |                  |  0.15314839566  |
      V1  =  | -0.157902562     |   ,   V2  =  | -0.1186036679    |
                 |  0.109465787     |                 | -0.18281304178  |
                 | -0.04147301179 |                 |  0.003561720367 |

                 | -0.19171003157  |                  |  0.1420119598        |
                 |  0.15899121151  |                   |  0.14241995054      |
      V3  =  | -0.07483907094  |    ,   V4  =  |  0.12099762300      |    , 
                |  0.13746892946   |                  |  0.125531015188     |
                | -0.088977892351 |                  |  0.00769220728369 |

                | -0.076386717879   |
                |  0.017098001871   |
      V5  =  | -0.066664533672  |    .
                |  0.0860480093056 |
                |  0.28943341417     |

      IERR  =  0