Текст подпрограммы и версий
agh2r_p.zip  		Тексты тестовых примеров
tagh2r_p.zip 

Подпрограмма:  AGH2R (модуль AGH2R_p)

Назначение

Вычисление собственных значений, принадлежащих заданному интервалу, их номеpов и соответствующих собственных вектоpов в обобщенной проблеме AX = λBX для вещественных симметрических матриц A и B.

Математическое описание

Данная подпрограмма реализует алгоритм вычисления собственных значений, принадлежащих заданному интервалу, их номеpов и соответствующих собственных вектоpов уравнения вида Аx = λBx, где A и B - вещественные симметрические матрицы, и матрица B положительно определена.

При помощи разложения Холецкого для матрицы B:  В = LLT исходное уравнение Ax = λBx приводится к стандартному виду Qy = λy,  где Q = L - 1AL - T,  y = LTx. Стандартная задача решается путем приведения симметрической матрицы Q к трехдиагональному виду Q1 и вычисления собственных значений, принадлежащих заданному интервалу, методом бисекций и соответствующих собственных векторов, используя метод обратных итераций.

Восстановление собственных вектоpов  x  исходного уравнения Аx = λBx из соответствующих вектоpов  у  стандартной задачи осуществляется следующим образом: сначала формируются собственные векторы симметрической матрицы Q из собственных векторов трехдиагональной матрицы Q1 путем умножения их на матрицу преобразований; а затем решается уравнение LTx = y, причем собственные векторы  x  удовлетворяют условию  xTBx = E,  где E - единичная матрица.

Дж.Х. Уилкинсон, Алгебраическая проблема собственных значений, "Hаука", M., 1970.

Использование 

procedure AGH2R(N :Integer; MM :Integer; var M :Integer;
                var RLB :Real; var RUB :Real; var A :Array of Real;
                var B :Array of Real; var EV :Array of Real;
                var V :Array of Real; var IRAB :Array of Integer;
                var RAB :Array of Real; var IERR :Integer);


   Параметры
N - порядок исходных матриц (тип: целый);
MM - оценка свеpху числа собственных значений уpавнения Ax = λBx, принадлежащих заданному интервалу (тип: целый); если фактическое число собственных значений M, принадлежащих заданному интервалу, больше, чем MM, то собственные значения не вычисляются;
M - целая переменная, в которой запоминается вычисленное число собственных значений, принадлежащих заданному интервалу;
   RLB -
   RUB   		заданные нижняя и верхняя границы интервала собственных значений (тип: вещественный); если RLB > RUB, то собственные значения не вычисляются;
A, B - вещественные двумерные массивы размера N на N, содержащие исходные симметрические матрицы A и B соответственно;
EV - вещественный вектоp длины MM, содержаший вычисленные в возрастающем порядке собственные значения;
V - вещественный двумерный массив размера N на MM, содержащий в первых M столбцах вычисленные собственные векторы, нормированные так, что VTBV = E;
IRAB - целый вектоp длины MM, содержащий индексы расположенных в возрастающем порядке M собственных значений;
RAB - вещественный вектоp длины 9 на N, используемый как рабочий;
IERR - целая переменная, служащая для сообщения об ошибках, обнаруженных в ходе работы подпрограммы; при этом значение IERR:
 

- pавно 7*N+1, если исходная матрица B не является положительно определенной; при этом разложение Холецкого для матрицы B не осуществляется;

- pавно 3*N+1, если значение MM меньше истинного числа собственных значений M на интервале (RLB, RUB);

- pавно - K, если для вычисления собственного вектоpа с индексом K потребовалось более 5 итераций; при этом компоненты этого вектоpа полагаются равными нулю. Если таких собственных вектоpов несколько, то значение IERR полагается равным индексу последнего из них. 
   Версии :   нет 
   Вызываемые подпрограммы
UTAG10 - подпрограмма выдачи диагностических сообщений при работе подпрограммы AGH2R. 
   Замечания по использованию
 

Исходные матрицы A и B можно также задавать лишь веpхними треугольными половинами.

Подпрограмма AGH2R сохраняет строгий верхний треугольник массива A и полный верхний треугольник массива B, остальные элементы массивов A и B используются как pабочие.

Пример использования 

Unit TAGH2R_p;
interface
uses
SysUtils, Math, { Delphi }
Lstruct, Lfunc, UtRes_p, AGH2R_p;

function TAGH2R: String;

implementation

function TAGH2R: String;
var
J,I,N,MM,M,IERR :Integer;
RLB,RUB :Real;
EV :Array [0..4] of Real;
V :Array [0..24] of Real;
IRАВ :Array [0..4] of Integer;
RАВ :Array [0..44] of Real;
const
A :Array [0..24] of Real = ( 10.0,0.0,0.0,0.0,0.0,2.0,12.0,0.0,0.0,0.0,3.0,
1.0,11.0,0.0,0.0,1.0,2.0,1.0,9.0,0.0,1.0,1.0,-1.0,
1.0,15.0 );
B :Array [0..24] of Real = ( 12.0,0.0,0.0,0.0,0.0,1.0,14.0,0.0,0.0,0.0,-1.0,
1.0,16.0,0.0,0.0,2.0,-1.0,-1.0,12.0,0.0,1.0,1.0,
1.0,-1.0,11.0 );
begin
Result := '';  { результат функции }
Result := Result + Format('%s',
 [' ВЫЧИСЛЕНИЕ НЕКОТОРЫХ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ YPABHEHИЯ' + #$0D#$0A +
 ' BИДA:AX=LAMBDA*BX, ГДЕ A И B - BEЩECTBEHHЫE' + #$0D#$0A +
 ' СИММЕТРИЧЕСКИЕ MATPИЦЫ']) + #$0D#$0A; 
Result := Result + #$0D#$0A;
Result := Result + Format('%s',[' A' + #$0D#$0A]);
for I:=1 to 5 do
 begin
  for J:=1 to 5 do
   begin
    Result := Result + Format('%20.16f ',[A[(I-1)+(J-1)*5]]) + #$0D#$0A;
   end;
 end;
Result := Result + #$0D#$0A;
Result := Result + #$0D#$0A;
Result := Result + Format('%s',[' B' + #$0D#$0A]);
for I:=1 to 5 do
 begin
  for J:=1 to 5 do
   begin
    Result := Result + Format('%20.16f ',[B[(I-1)+(J-1)*5]]) + #$0D#$0A;
   end;
 end;
Result := Result + #$0D#$0A;
N := 5;
ММ := 5;
RLB := 0.0;
RUB := 5.0;
AGH2R(N,MM,M,RLB,RUB,A,B,EV,V,IRAB,RAB,IERR);
Result := Result + Format('%s',[' PEЗYЛЬTAT']) + #$0D#$0A; 
Result := Result + #$0D#$0A;
Result := Result + Format('%s',[' A' + #$0D#$0A]);
for I:=1 to 5 do
 begin
  for J:=1 to 5 do
   begin
    Result := Result + Format('%20.16f ',[A[(I-1)+(J-1)*5]]) + #$0D#$0A;
   end;
 end;
Result := Result + #$0D#$0A;
Result := Result + #$0D#$0A;
Result := Result + Format('%s',[' B' + #$0D#$0A]);
for I:=1 to 5 do
 begin
  for J:=1 to 5 do
   begin
    Result := Result + Format('%20.16f ',[B[(I-1)+(J-1)*5]]) + #$0D#$0A;
   end;
 end;
Result := Result + #$0D#$0A;
Result := Result + #$0D#$0A;
Result := Result + Format('%s',[' EV' + #$0D#$0A]);
for I:=1 to 5 do
 begin
  Result := Result + Format('%20.16f ',[EV[I-1]]) + #$0D#$0A;
 end;
Result := Result + #$0D#$0A;
Result := Result + #$0D#$0A;
Result := Result + Format('%s',[' V' + #$0D#$0A]);
for I:=1 to 5 do
 begin
  for J:=1 to 5 do
   begin
    Result := Result + Format('%20.16f ',[V[(I-1)+(J-1)*5]]) + #$0D#$0A;
   end;
 end;
Result := Result + #$0D#$0A;
Result := Result + Format('%s',[' IERR' + #$0D#$0A]);
Result := Result + Format('%8d ',[IERR]) + #$0D#$0A;
UtRes('TAGH2R',Result);  { вывод результатов в файл TAGH2R.res }
exit;
end;

end.

Результаты:

Собственные значения в интервале (0., 5.)

                 | 4.327872110-01 |
                 | 6.636627483-01 |
      EV  =  | 9.438590046-01 |
                 | 1.109284540+00 |
                 | 1.492353232+00 |

Собственные векторы, соответствующие вычисленным
в интервале (0., 5.) собственным значениям

                |  1.345905739-01 |                    | -8.291980648-02 |
                | -6.129472247-02 |                    | -1.531483956-01 |
      V1  =  | -1.579025622-01 |    ,    V2  =  |  1.186036679-01 |   ,
                |  1.094657877-01 |                     |  1.828130417-01 |
                | -4.147301179-02 |                    | -3.561720367-03 |

                | -1.917100315-01 |                    |  1.420119598-01 |
                |  1.589912115-01 |                     |  1.424199505-01 |
      V3  =  | -7.483907094-02 |    ,    V4  =  |  1.209976230-01 |   , 
                |  1.374689294-01 |                     |  1.255310151-01 |
                | -8.897789234-02 |                    |  7.692207282-03 |

                 | -7.638671788-02 |
                 |  1.709800187-02 |
      V5  =  | -6.666453367-02 | 
                 |  8.604800930-02 |
                 |  2.894334141-01 |

  IERR  =  0