Текст подпрограммы и версий agh4r_p.zip agh8r_p.zip |
Тексты тестовых примеров tagh4r_p.zip tagh8r_p.zip |
Вычисление всех собственных значений и собственных вектоpов в обобщенной проблеме ABX = λx или BAX = λx для вещественных симметричных матриц A и B.
Подпрограмма AGH4R реализует алгоритм вычисления всех собственных значений и собственных вектоpов уравнения вида АВx = λx, где A и B - вещественные симметричные матрицы, причем матрица B положительно определена.
При помощи разложения Холецкого для матрицы B: B = LLT исходное уравнение ABx = λx приводится к стандартному виду Qy = λy, где Q = LTAL, y = LTx. Стандартная задача решается путем приведения симметрической матрицы Q к трехдиагональному виду и вычисления собственных значений λ и собственных вектоpов у QL - алгоритмом со сдвигом.
Восстановление собственных вектоpов x исходного уравнения АВx = λx из соответствующих вектоpов у стандартной задачи осуществляется посредством решения уравнения LTx = y, при этом собственные векторы x удовлетворяют условию xTBx = E, где E - единичная матрица.
Уилкинсон, Райнш. Справочник алгоритмов на языке АЛГОЛ. Линейная алгебра, M., "Машиностроение", 1976.
procedure AGH4R(var A :Array of Real; var B :Array of Real; var V :Array of Real; var EV :Array of Real; var RAB1 :Array of Real; N :Integer; var IERR :Integer);
Параметры
A, B - | вещественные двумерные массивы размера N на N, содержащие исходные матрицы; |
V - | вещественный двумерный массив размера N на N, в столбцах которого содержатся вычисленные собственные векторы, нормированные так, что VTBV = E; |
EV - | вещественный вектоp длины N, содержащий вычисленные собственные значения, расположенные в возрастающем порядке; |
RAB - | вещественный вектоp длины 2 на N, используемый как рабочий; |
N - | порядок исходных матриц (тип: целый); |
IERR - | целая переменная, служащая для сообщения об ошибках, обнаруженных в ходе работы подпрограммы; при этом значение IERR: |
- pавно 7*N+1, если исходная матрица B не является положительно определенной. В этом случае факторизация Холецкого матрицы B не осуществляется; - полагается равным номеpу собственного значения, для вычисления которого потребовалось более 30 итераций, при этом вычислены правильно, но не упорядочены, собственные значения с индексами 1, 2, ..., IERR - 1 и соответствующие собственные векторы. |
Версии
AGH8R - | вычисление всех собственных значений и собственных вектоpов в обобщенной проблеме BAx = λx для вещественных симметричных матриц A и B. |
Вызываемые подпрограммы
UTAG10 - | подпрограмма выдачи диагностических сообщений при работе подпрограммы AGH4R и AGH8R. |
Замечания по использованию
Исходные матрицы A и B можно задавать в одноименных массивах лишь верхними треугольниками. Подпрограммы AGH4R и AGH8R сохраняют строгий верхний треугольник массива A и полный верхний треугольник массива B (остальные компоненты массивов A и B используются как рабочие). Программа AGH8R нормирует собственные векторы x таким образом, что xTB - 1x = E. |
Unit TAGH4R_p; interface uses SysUtils, Math, { Delphi } Lstruct, Lfunc, UtRes_p, AGH4R_p; function TAGH4R: String; implementation function TAGH4R: String; var J,I,N,IERR :Integer; EV :Array [0..4] of Real; V :Array [0..24] of Real; RAB1 :Array [0..9] of Real; const A :Array [0..24] of Real = ( 10.0,0.0,0.0,0.0,0.0,2.0,12.0,0.0,0.0,0.0,3.0, 1.0,11.0,0.0,0.0,1.0,2.0,1.0,9.0,0.0,1.0,1.0,-1.0, 1.0,15.0 ); B :Array [0..24] of Real = ( 12.0,0.0,0.0,0.0,0.0,1.0,14.0,0.0,0.0,0.0,-1.0, 1.0,16.0,0.0,0.0,2.0,-1.0,-1.0,12.0,0.0,1.0,1.0, 1.0,-1.0,11.0 ); begin Result := ''; { результат функции } Result := Result + Format('%s', [' ОПРЕДЕЛЕНИЕ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ И СОБСТВЕННЫХ BEKTOPOB' + #$0D#$0A + ' YРАВНЕНИЯ BИДA:ABX=LAMBDA*X, ГДЕ A И B - BEЩECTBEHHЫE' + #$0D#$0A + ' СИММЕТРИЧЕСКИЕ MATPИЦЫ']) + #$0D#$0A; Result := Result + #$0D#$0A; Result := Result + Format('%s',[' A' + #$0D#$0A]); for I:=1 to 5 do begin for J:=1 to 5 do begin Result := Result + Format('%20.16f ',[A[(I-1)+(J-1)*5]]) + #$0D#$0A; end; end; Result := Result + #$0D#$0A; Result := Result + #$0D#$0A; Result := Result + Format('%s',[' B' + #$0D#$0A]); for I:=1 to 5 do begin for J:=1 to 5 do begin Result := Result + Format('%20.16f ',[B[(I-1)+(J-1)*5]]) + #$0D#$0A; end; end; Result := Result + #$0D#$0A; N := 5; AGH4R(A,B,V,EV,RAB1,N,IERR); Result := Result + Format('%s',[' PEЗУЛЬTAT']) + #$0D#$0A; Result := Result + #$0D#$0A; Result := Result + Format('%s',[' A' + #$0D#$0A]); for I:=1 to 5 do begin for J:=1 to 5 do begin Result := Result + Format('%20.16f ',[A[(I-1)+(J-1)*5]]) + #$0D#$0A; end; end; Result := Result + #$0D#$0A; Result := Result + #$0D#$0A; Result := Result + Format('%s',[' B' + #$0D#$0A]); for I:=1 to 5 do begin for J:=1 to 5 do begin Result := Result + Format('%20.16f ',[B[(I-1)+(J-1)*5]]) + #$0D#$0A; end; end; Result := Result + #$0D#$0A; Result := Result + #$0D#$0A; Result := Result + Format('%s',[' EV' + #$0D#$0A]); for I:=1 to 5 do begin Result := Result + Format('%20.16f ',[EV[I-1]]) + #$0D#$0A; end; Result := Result + #$0D#$0A; Result := Result + #$0D#$0A; Result := Result + Format('%s',[' V' + #$0D#$0A]); for I:=1 to 5 do begin for J:=1 to 5 do begin Result := Result + Format('%20.16f ',[V[(I-1)+(J-1)*5]]) + #$0D#$0A; end; end; Result := Result + #$0D#$0A; Result := Result + Format('%s',[' IERR' + #$0D#$0A]); Result := Result + Format('%8d ',[IERR]) + #$0D#$0A; UtRes('TAGH4R',Result); { вывод результатов в файл TAGH4R.res } exit; end; end. Результаты: Собственные значения: | 77.6971911949 | | 112.1541932470 | EV = | 134.6864633192 | | 167.4848789147 | | 242.9772733171 | Собственные векторы: | -0.2349114135 | | 0.1288556917 | | 0.0410915167 | | -0.1193865988 | V1 = | 0.0383075946 | , V2 = | -0.0282771880 | , | 0.2059003675 | | 0.1923580004 | | 0.0734707966 | | -0.0097623271 | | -0.0042355205 | | -0.0183136812 | | 0.1812063856 | | 0.0266749519 | V3 = | -0.1210383985 | , V4 = | -0.1834456078 | , | 0.06091827579 | | -0.0051904405 | | -0.1690213925 | | 0.2218442867 | | 0.1249195279 | | 0.1535463561 | V5 = | 0.1145245145 | , | 0.0657938487 | | 0.1010161054 | IERR = 0