|
Текст подпрограммы и версий agt0r_p.zip |
Тексты тестовых примеров tagt0r_p.zip |
Вычисление всех собственных значений и собственных вектоpов в обобщенной проблеме AV - 1x = λBV - 1 для вещественных верхней почти треугольной матрицы A, произвольной невырожденной матрицы V и верхней треугольной матрицы B с помощью QR - алгоритма.
Подпрограмма AGT0R вычисляет все собственные значения и собственные векторы обобщенной проблемы
AV - 1x = λBV - 1x
для вещественных верхней почти треугольной матрицы A, верхней треугольной матрицы B и произвольной невырожденной матрицы V с помощью QR - алгоритма. Матрицы A, B и V имеют размеры N на N.
Информация о вычисленных собственных значениях обобщенной проблемы выдается в вектоpах ALFR, ALFI, BETA длины N, по которым k - ое собственное значение λk определяется с помощью формулы:
λk = ALFR(K) / BETA(K) + i ALFI(K) / BETA(K), при BETA(K) ≠ 0,
(1) λk = ∞ , при BETA(K) = 0,
λk = любое число , при ALFR(K) = ALFI(K) =
= BETA(K) = 0.
Вычисленные собственные векторы Xk обобщенной проблемы помещаются на место матрицы V таким образом, что вещественному значению λk соответствует k - ый столбец Vk матрицы V, т.е. Xk = Vk, а паре комплексно - сопряженных собственных значений λk и λk+1 соответствуют столбцы Vk и Vk+1 матрицы V. При этом
Xk = Vk + i Vk+1, Xk+1 = Vk - i Vk+1.
C.B.Moler, G.W.Stewart, An Algorithm for Generalized Matrix Eigenvalue Problems, SIAM J. Numer. Anal., 10, 1973.
procedure AGT0R(var A :Array of Real; var B :Array of Real;
var V :Array of Real; var ALFR :Array of Real;
var ALFI :Array of Real; var BETA :Array of Real;
N :Integer; var IERR :Integer);
Параметры
| A, B - | вещественные двумерные массивы размера N на N, содержащие соответственно верхнюю почти треугольную и верхнюю треугольную матрицы; |
| V - | вещественный двумерный массив размера N на N, содержащий заданную невырожденную матрицу V; в результате работы подпрограммы в столбцах массива V содержатся вычисленные собственные векторы Xk таким образом, что вещественному собственному значению λk соответствует k - ый столбец Vk, т.е Xk = Vk, а паре комплексно - сопряженных собственных значений λk и λk+1 соответствуют два столбца Vk и Vk+1; при этом Xk = Vk + i Vk+1, а Xk+1 = Vk - i Vk+1; |
|
ALFR - ALFI BETA | вещественные векторы длины N, содержащие информацию о собственных значениях λk обобщенной проблемы; при этом собственные значения определяются формулой (1); |
| N - | заданный порядок исходных матриц A, B и V (тип: целый); |
| IERR - | целая переменная, служащая для сообщения об ошибках, обнаруженых в ходе работы подпрограммы; значение IERR полагается равным J+128, где J - номеp собственного значения, для вычисления которого потребовалось более 30 итераций, при этом собственные значения с индексами J+1, ..., N вычислены правильно, а с индексами 1, ..., J и собственные векторы могут быть вычислены не точно. |
Версии : нет
Вызываемые подпрограммы
| UTAG10 - | подпрограмма выдачи диагностических сообщений при работе подпрограммы AGT0R. |
Замечания по использованию
| 1. |
Подпрограмма AGT0R не сохраняет исходную информацию. | |
| 2. |
B массиве V должна задаваться единичная матрица, если решается обобщенная проблема Ax = λBx для вещественных верхней почти треугольной матрицы A и верхней треугольной матрицы B. | |
| 3. | Вычисленные собственные векторы нормализованы так, что наибольшая компонента по модулю pавна 1. |
Unit TAGT0R_p;
interface
uses
SysUtils, Math, { Delphi }
Lstruct, Lfunc, UtRes_p, AFG3R_p, AGT0R_p;
function TAGT0R: String;
implementation
function TAGT0R: String;
var
J,I,N,M,IERR :Integer;
ALFR :Array [0..2] of Real;
ALFI :Array [0..2] of Real;
ВЕТА :Array [0..2] of Real;
V :Array [0..8] of Real;
const
A :Array [0..8] of Real = ( 1.0,-10.0,5.0,0.5,2.0,1.0,0.0,0.0,0.5 );
B :Array [0..8] of Real = ( 0.5,3.0,4.0,0.0,3.0,0.5,0.0,0.0,1.0 );
begin
Result := ''; { результат функции }
Result := Result + Format('%s',
[' ОПРЕДЕЛЕНИЕ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ И СОБСТВЕННЫХ BEKTOPOB' + #$0D#$0A +
' YРАВНЕНИЯ BИДA:AX=ЛЯMБДA*BX, ГДЕ A - ВЕЩЕСТВЕННАЯ ВЕРХНЯЯ ПOЧTИ' + #$0D#$0A +
' TPEYГОЛЬНАЯ MATPИЦA, B - ВЕЩЕСТВЕННАЯ BEPXHETPEYГОЛЬНАЯ MATPИЦA']) + #$0D#$0A;
Result := Result + #$0D#$0A;
Result := Result + Format('%s',[' A' + #$0D#$0A]);
for I:=1 to 3 do
begin
for J:=1 to 3 do
begin
Result := Result + Format(' %20.16f ',[A[(I-1)+(J-1)*3]]) + #$0D#$0A;
end;
end;
Result := Result + #$0D#$0A;
Result := Result + #$0D#$0A;
Result := Result + Format('%s',[' B' + #$0D#$0A]);
for I:=1 to 3 do
begin
for J:=1 to 3 do
begin
Result := Result + Format(' %20.16f ',[B[(I-1)+(J-1)*3]]) + #$0D#$0A;
end;
end;
Result := Result + #$0D#$0A;
N := 3;
M := 0;
AFG3R(A,B,V,N,M);
Result := Result + #$0D#$0A;
Result := Result + Format('%s',[' A' + #$0D#$0A]);
for I:=1 to 3 do
begin
for J:=1 to 3 do
begin
Result := Result + Format(' %20.16f ',[A[(I-1)+(J-1)*3]]) + #$0D#$0A;
end;
end;
Result := Result + #$0D#$0A;
Result := Result + #$0D#$0A;
Result := Result + Format('%s',[' B' + #$0D#$0A]);
for I:=1 to 3 do
begin
for J:=1 to 3 do
begin
Result := Result + Format(' %20.16f ',[B[(I-1)+(J-1)*3]]) + #$0D#$0A;
end;
end;
Result := Result + #$0D#$0A;
Result := Result + #$0D#$0A;
Result := Result + Format('%s',[' V' + #$0D#$0A]);
for I:=1 to 3 do
begin
for J:=1 to 3 do
begin
Result := Result + Format(' %20.16f ',[V[(I-1)+(J-1)*3]]) + #$0D#$0A;
end;
end;
Result := Result + #$0D#$0A;
AGT0R(A,B,V,ALFR,ALFI,BETA,N,IERR);
Result := Result + Format('%s',[' PEЗYЛЬTAT' + #$0D#$0A]) + #$0D#$0A;
Result := Result + #$0D#$0A;
Result := Result + Format('%s',[' A' + #$0D#$0A]);
for I:=1 to 3 do
begin
for J:=1 to 3 do
begin
Result := Result + Format(' %20.16f ',[A[(I-1)+(J-1)*3]]) + #$0D#$0A;
end;
end;
Result := Result + #$0D#$0A;
Result := Result + #$0D#$0A;
Result := Result + Format('%s',[' B' + #$0D#$0A]);
for I:=1 to 3 do
begin
for J:=1 to 3 do
begin
Result := Result + Format(' %20.16f ',[B[(I-1)+(J-1)*3]]) + #$0D#$0A;
end;
end;
Result := Result + #$0D#$0A;
Result := Result + #$0D#$0A;
Result := Result + Format('%s',[' ALFR' + #$0D#$0A]);
for I:=1 to 3 do
begin
Result := Result + Format('%20.16f ',[ALFR[I-1]]) + #$0D#$0A;
end;
Result := Result + #$0D#$0A;
Result := Result + #$0D#$0A;
Result := Result + Format('%s',[' ALFI' + #$0D#$0A]);
for I:=1 to 3 do
begin
Result := Result + Format('%20.16f ',[ALFI[I-1]]) + #$0D#$0A;
end;
Result := Result + #$0D#$0A;
Result := Result + #$0D#$0A;
Result := Result + Format('%s',[' BETA' + #$0D#$0A]);
for I:=1 to 3 do
begin
Result := Result + Format('%20.16f ',[BETA[I-1]]) + #$0D#$0A;
end;
Result := Result + #$0D#$0A;
Result := Result + #$0D#$0A;
Result := Result + Format('%s',[' V' + #$0D#$0A]);
for I:=1 to 3 do
begin
for J:=1 to 3 do
begin
Result := Result + Format(' %20.16f ',[V[(I-1)+(J-1)*3]]) + #$0D#$0A;
end;
end;
Result := Result + #$0D#$0A;
Result := Result + Format('%s',[' IERR' + #$0D#$0A]);
Result := Result + Format('%3d ',[IERR]) + #$0D#$0A;
UtRes('TAGT0R',Result); { вывод результатов в файл TAGT0R.res }
exit;
end;
end.
Результаты:
IERR = 0
ALFR = ( 1.27052, 0.40869, 1.00306)
ALFI = ( 3.03864, -0.97744, 0.00000)
BETA = ( 1.52462, 0.49043, 2.00612)
| -0.25205 0.19169 0.00000 |
V = | -0.08799 -0.72598 0.00000 |
| 1.00000 0.00000 1.00000 |
Собственные значения
λk = (ALFR(k) + i ALFI(k)) / BETA(k), k = 1, 2, 3:
λ1 = 0.83333 + 1.9930i
λ2 = 0.83333 - 1.9930i
λ3 = 0.50000 + 0.0000i
Собственные векторы:
| -0.25205 + 0.19169i |
X1 = | -0.08799 - 0.72598i |
| 1.00000 + 0.00000i |
| -0.25205 - 0.19169i |
X2 = | -0.08799 + 0.72598i |
| 1.00000 - 0.00000i |
| 0.00000 + 0.00000i |
X3 = | 0.00000 + 0.00000i |
| 1.00000 + 0.00000i |