|
Текст подпрограммы и версий ammhr_p.zip , ammhe_p.zip , ammhc_p.zip |
Тексты тестовых примеров tammhr_p.zip , tammhe_p.zip , tammhc_p.zip |
Умножение матрицы, обратной к заданной в компактной форме вещественной ленточной матрице A, на прямоугольную матрицу и оценка числа обусловленности матрицы A.
Для заданной в компактной форме ленточной вещественной матрицы А порядка N выполняется треугольная факторизация L- 1 А = U, где U - верхняя треугольная ленточная матрица, вычисляется величина, обратная числу обусловленности матрицы A:
RCOND = 1 / ( || A ||1 - || A-1 ||1 ) , где
N
|| A ||1 = max { ∑ | ai j | }
j=1,...N i=1
и затем для заданной вещественной прямоугольной матрицы B размера N на NN вычисляется прямоугольная матрица С = А- 1 В размера N на NN путем решения NN систем линейных алгебраических уравнений А*С (J) = В(J), где С(J) и В(J) суть J - е столбцы матриц C и B, J = 1,...,NN.
Дж.Форсайт, М.Малькольм, К.Моулер. Машинные методы математических вычислений. М.: Мир, 1980.
procedure AMMHR(var A :Array of Real; var MA :Integer; var N :Integer;
var ML :Integer; var MU :Integer;
var NLEAD :Array of Integer; var B :Array of Real;
MB :Integer; NN :Integer; var RCOND :Real;
var Z :Array of Real; var IERR :Integer);
Параметры
| A - | вещественный двумерный массив размера МА*N, в первых МL+МU+1 столбцах которого задается в компактном виде ленточная матрица А порядка N; на выходе в первых МL столбцах массива находятся нижние кодиагонали ленточной матрицы L1 *...* LN - 1 (Li, i = 1,...,N - 1, суть элементарные матрицы исключения метода Гаусса), в следующих МL+МU+1 столбцах содержится в компактном виде матрица U; |
| MA - | первая размерность массива А в вызывающей программе (тип: целый); |
| N - | порядок матрицы А и число строк матриц B и C (тип: целый); |
| ML - | число нижних кодиагоналей матрицы А (тип: целый); |
| MU - | число верхних кодиагоналей матрицы А (тип: целый); |
| NLEAE - | целый вектор длины N, содержащий на выходе информацию о выполненных в ходе факторизации перестановках (см. замечания по использованию); |
| B - | вещественный двумерный массив размера МВ*NN, в котором задается матрица B; на выходе на соответствующих местах находятся элементы матрицы С = A- 1 B; |
| MB - | первая размерность массива B в вызывающей программе (тип: целый); |
| NN - | число столбцов матрицы B и C (тип: целый); |
| RCONE - | вещественная переменная, содержащая на выходе вычисленное значение величины 1 / (|| A ||1 - || A- 1 ||1) (см. замечания по использованию); |
| Z - | вещественный рабочий вектор длины N; |
| IERR - | целая переменная, содержащая на выходе информацию о прохождении счета, при этом: |
| IЕRR=65 - | если хотя бы одна из переменных MA, N, MB, NN имеет значение, меньшее единицы; |
| IЕRR=66 - | если в процессе счета произошло переполнение (это говорит о том, что либо || A ||1, либо некоторые элементы матрицы U или матрицы C превосходят по абсолютной величине максимальное представимое на данной машине число); |
| IЕRR= -К - | если в результате факторизации в К - ой строке матрицы U диагональный элемент равен нулю (это свидетельствует о вырождености матрицы А). Если таких строк у матрицы U несколько, то значение K полагается равным номеру последней из них; |
| IЕRR=67 - | если для некоторого J, 1 ≤ J ≤ NN, система А*С (J) = В(J) несовместна. |
Версии
| AMMHE - | умножение матрицы, обратной к заданной с расширенной (Extended) точностью в компактной форме вещественной ленточной матрице A, на вещественную прямоугольную матрицу, заданную с расширенной (Extended) точностью, и оценка числа обусловленности матрицы А; |
| AMMHC - | умножение матрицы, обратной к заданной в компактной форме комплексной ленточной матрице A, на комплексную прямоугольную матрицу и оценка числа обусловленности матрицы А. |
Вызываемые подпрограммы
| AFB2R - | подпрограмма треугольной факторизации и оценки числа обусловленности ленточной матрицы А. |
| UTAFSI - | подпрограмма выдачи диагностических сообщений. |
Замечания по использованию
| 1. |
В подпрограмме АММНE массивы А, B, Z и переменная RСОNE имеют тип Extended, для треугольного разложения и оценки числа обусловленности ленточной матрицы А вызывается подпрограмма АFВ2E. | |
| 2. |
В подпрограмме AMMHC массивы А, B и Z имеют тип Complex, для треугольного разложения и оценки числа обусловленности ленточной матрицы А вызывается подпрограмма АFВ2С. | |
| 3. |
На выходе К - й элемент вектора NLЕАE равен номеру строки, переставленной на К - м шаге факторизации с К - ой строкой матрицы А. Поскольку факторизация Гаусса требует N - 1 шагов, то NLЕАD(N) = N. | |
| 4. |
При обращении к подпрограмме необходимо выполнение условия МВ ≥ N. Кроме того, так как в результате выполненных в ходе факторизации перестановок число верхних кодиагоналей матрицы U равно МU+МL, а также в силу некоторых конструктивных особенностей подпрограммы, для правильной ее работы необходимо выполнение условия МА ≥ N > МU + 2 МL + 1. Если же МU + 2 МL + 1 ≥ N, то более целесообразно, задав матрицу А не в компактной, а в полной форме, обратиться к подпрограмме АММGR. | |
| 5. | Если вырабатывается значение переменной IЕRR, отличное от нуля, то выдается соответствующее диагностическое сообщение и если IЕRR > 0, то происходит выход из подпрограммы. |
Unit TAMMHR_p;
interface
uses
SysUtils, Math, { Delphi }
LStruct, Lfunc, UtRes_p, AMMHR_p;
function TAMMHR: String;
implementation
function TAMMHR: String;
var
MA,N,ML,MU,MB,NN,I,J,J0,J1,K,IERR :Integer;
RCONE :Real;
A :Array [0..24] of Real;
B :Array [0..49] of Real;
Z :Array [0..4] of Real;
NLEAE :Array [0..4] of Integer;
label
_1,_2,_3,_4;
begin
Result := '';
МА := 5;
N := 5;
ML := 1;
MU := 1;
МВ := 5;
NN := 10;
for I:=1 to МА do
begin
for J:=1 to N do
begin
A[(I-1)+(J-1)*5] := 0.0;
B[(I-1)+(J-1)*5] := 0.0;
B[(I-1)+(J+5-1)*5] := 0.0;
_1:
end;
_2:
end;
for I:=1 to МА do
begin
J0 := Max0(1,I-ML);
J1 := Min0(N,I+MU);
for J:=J0 to J1 do
begin
K := J-I+ML+1;
A[(I-1)+(K-1)*5] := (I*10+J);
B[(I-1)+(J-1)*5] := A[(I-1)+(K-1)*5];
B[(I-1)+(J+5-1)*5] := A[(I-1)+(K-1)*5];
_3:
end;
_4:
end;
Result := Result + Format('%s',[' A=']);
Result := Result + #$0D#$0A;
for J:=1 to N do
begin
for I:=1 to МА do
begin
Result := Result + Format('%20.16f ',[A[(I-1)+(J-1)*5]]) + #$0D#$0A;
end;
end;
Result := Result + #$0D#$0A;
Result := Result + Format('%s',[' B=']);
Result := Result + #$0D#$0A;
for J:=1 to NN do
begin
for I:=1 to МВ do
begin
Result := Result + Format('%20.16f ',[B[(I-1)+(J-1)*5]]) + #$0D#$0A;
end;
end;
Result := Result + #$0D#$0A;
AMMHR(A,MA,N,ML,MU,NLEAE,B,MB,NN,RCONE,Z,IERR);
Result := Result + Format('%s',[' NLEAE=']);
Result := Result + #$0D#$0A;
for J:=1 to N do
begin
Result := Result + Format('%3d ',[NLEAD[J-1]]) + #$0D#$0A;
end;
Result := Result + #$0D#$0A;
Result := Result + Format('%s',[' A=']);
Result := Result + #$0D#$0A;
for J:=1 to N do
begin
for I:=1 to МА do
begin
Result := Result + Format('%20.16f ',[A[(I-1)+(J-1)*5]]) + #$0D#$0A;
end;
end;
Result := Result + #$0D#$0A;
Result := Result + Format('%s',[' IERR=']);
Result := Result + Format('%3d',[IERR]) + #$0D#$0A;
Result := Result + Format('%s',[' RCONE=']);
Result := Result + Format('%20.16f ',[RCOND]) + #$0D#$0A;
Result := Result + Format('%s',[' B=']);
Result := Result + #$0D#$0A;
for J:=1 to NN do
begin
for I:=1 to МВ do
begin
Result := Result + Format('%20.16f ',[B[(I-1)+(J-1)*5]]) + #$0D#$0A;
end;
end;
Result := Result + #$0D#$0A;
UtRes('TAMMHR',Result); { вывод результатов в файл TAMMHR.res }
exit;
end;
end.
Результаты:
| 0 21.0 22.0 23.0 0 |
| -0.524 32.0 33.0 34.0 0 |
A = | -0.015 43.0 44.0 45.0 0 |
| 0.292 54.0 55.0 0 0 |
| -0.228 0.569 0 0 0 |
NLEAD = (2, 3, 4, 5, 5) , RCOND = 1.47362E-03 ,
| 1.0 0.0 0.0 0.0 0.0 1.0 0.0 0.0 0.0 0.0 |
| 0.0 1.0 0.0 0.0 0.0 0.0 1.0 0.0 0.0 0.0 |
B = | 0.0 0.0 1.0 0.0 0.0 0.0 0.0 1.0 0.0 0.0 |
| 0.0 0.0 0.0 1.0 0.0 0.0 0.0 0.0 1.0 0.0 |
| 1.0 0.0 0.0 0.0 1.0 0.0 0.0 0.0 0.0 1.0 |