|
Текст подпрограммы и версий ( Фортран ) asb2r.zip , asb2d.zip , asb2c.zip |
Тексты тестовых примеров ( Фортран ) tasb2r.zip , tasb2d.zip , tasb2c.zip |
|
Текст подпрограммы и версий ( Си ) asb2r_c.zip , asb2d_c.zip , asb2c_c.zip |
Тексты тестовых примеров ( Си ) tasb2r_c.zip , tasb2d_c.zip , tasb2c_c.zip |
|
Текст подпрограммы и версий ( Паскаль ) asb2r_p.zip , asb2e_p.zip , asb2c_p.zip |
Тексты тестовых примеров ( Паскаль ) tasb2r_p.zip , tasb2e_p.zip , tasb2c_p.zip |
Решение вещественной системы линейных алгебраических уравнений А*Х = b или АT*Х = b методом Гаусса с выбором ведущего элемента по столбцу и оценка числа обусловленности ленточной матрицы А, заданной в компактной форме.
Для заданной в компактной форме ленточной вещественной матрицы А порядка N выполняется треугольная факторизация А = L*U, где U - верхняя треугольная ленточная матрица, вычисляется величина, обратная числу обусловленности матрицы А:
RCOND = 1 / ( || A ||1 * || A-1 ||1 ) ,
где
|| A ||1 = maxj = 1,...,N ( a1j + a2j + ... + aNj ) ,
и затем решается система А * Х = b или АT*Х = b.
Вычисления проводятся в два этапа:
1) решается система L * Y = b (для AT решается UT*Y=b) ;
2) решается система U * X = Y (для AT решается LT*X=Y) .
Дж.Форсайт, М.Малькольм, К.Моулер. Машинные методы математических вычислений. М.: Мир, 1980.
SUBROUTINE ASB2R ( A, MA, N, ML, MU, NLEAD, B, LTR,
L, RCOND, Z, IERR)
Параметры
| A - | вещественный двумерный массив размера МА на N, в первых МL + МU + 1 столбцах которого задается в компактном виде исходная ленточная матрица порядка N; на выходе в первых МL столбцах массива находятся нижние кодиагонали ленточной матрицы L1*...*LN - 1 (Li, i = 1, ..., N - 1, суть элементарные матрицы исключения метода Гаусса), в следующих МL + МU + 1 столбцах содержится в компактном виде матрица U (см. замечания по использованию); |
| MA - | первая размерность массива в вызывающей программе (тип: целый); |
| N - | порядок матрицы А (тип: целый); |
| ML - | число нижних кодиагоналей матрицы А (тип: целый); |
| MU - | число верхних кодиагоналей матрицы А (тип: целый); |
| NLEAD - | целый вектор длины N, содержащий на выходе информацию о выполненных в процессе исключения перестановках (см. замечания по использованию); |
| B - | вещественный вектор длины N, в котором задается правая часть системы; на выходе содержит вычисленное решение системы (см. замечания по использованию); |
| LTR - | признак решаемой системы (тип: целый), причем |
| LТR = 0 - | если решается система А*Х = b |
| LТR ≠ 0 - | если решается система АT*Х = b; |
| L - | признак решаемой системы (тип: целый), причем |
| L = 0 - | если система с данной матрицей решается впервые, |
| L ≠ 0 - | если система с данной матрицей решается повторно (см. замечания по использованию); |
| RCOND - | вещественная переменная, содержащая на выходе вычисленное значение величины 1/(|| А ||1*|| А- 1||1) (см. замечания по использованию); |
| Z - | вещественный рабочий вектор длины N; |
| IERR - | целая переменная, содержащая на выходе информацию о прохождении счета, при этом |
| IЕRR=65 - | если МА ≤ 0 или N ≤ 0; |
| IЕRR=66 - | если в процессе работы произошло переполнение (это говорит о том, что либо ||А||1, либо некоторые элементы матрицы U, либо некоторые компоненты решения системы превосходят по абсолютной величине максимально представимое на данной машине число); |
| IЕRR=-К - | если в результате факторизации диагональный элемент в К - й строке матрицы U равен нулю (это свидетельствует о вырожденности матрицы А). Если таких строк у матрицы U несколько, то значение К полагается равным номеру последней из них; (см. замечания по использованию); |
| IЕRR=67 - | если система несовместна. |
Версии
| ASB2D - | решение системы линейных алгебраических уравнений А*Х = b или АT*Х = b методом Гаусса с выбором ведущего элемента по столбцу и оценка числа обусловленности для вещественных А и b, заданных с удвоенной точностью, где ленточная матрица А задана в компактной форме. |
| ASB2C - | решение системы линейных алгебраических уравнений А*Х = b или АT*Х = b методом Гаусса с выбором ведущего элемента по столбцу и оценка числа обусловленности для комплексных А и b, где ленточная матрица А задана в компактной форме. |
Вызываемые подпрограммы
| AFB2R - | подпрограмма треугольной факторизации и оценки числа обусловленности ленточной матрицы А. |
| UTAFSI - | подпрограмма выдачи диагностических сообщений. |
Замечания по использованию
| 1. |
В подпрограмме АSВ2D массивы А, В, Z и переменная RСОND имеют тип DОUВLЕ РRЕСISIОN, для треугольного разложения и оценки числа обусловленности ленточной матрицы А вызывается подпрограмма АFВ2D. | |
| 2. |
В подпрограмме АSВ2С массивы А, В, Z имеют тип СОМРLЕХ, для треугольного разложения и оценки числа обусловленности ленточной матрицы А вызывается подпрограмма АFВ2С. | |
| 3. |
На выходе К - ый элемент вектора NLЕАD равен номеру строки, переставленной на К - м шаге факторизации с с К - ой строкой матрицы А. Поскольку факторизация Гаусса требует N - 1 шагов, то NLЕАD (N) = N. | |
| 4. |
Так как в результате выполненных в ходе факторизации перестановок число верхних кодиагоналей матрицы U равно МU + МL, а также в силу некоторых конструктивных особенностей подпрограммы, для правильной ее работы необходимо выполнение условия МА ≥ N > МU + 2*МL + 1. Если же МU + 2*МL + 1 ≥ N, то более целесообразно, задав матрицу А не в компактной, а в полной форме, обратиться к подпрограмме АSG8R. | |
| 5. |
Если задано L ≠ 0, то есть система решается повторно, то перед выполнением подпрограммы нужно запомнить, если требуется, вычисленную ранее оценку числа обусловленности, а в качестве матрицы А при обращении к подпрограмме нужно взять результат предыдущего обращения к АSВ2R либо к АFВ2R, т.е. матрица А должна быть уже факторизована, т.к. при L ≠ 0 обращения к АFВ2R не происходит и полагается RСОND = 0.0. | |
| 6. | Если вырабатывается значение переменной IЕRR, отличное от нуля, то выдается соответствующее диагностическое сообщение, и, если IЕRR > 0, то происходит выход из подпрограммы. Если система совместна, то матрица А вырождена, то есть для некоторых номеров К U (К, К) = 0.0, то полагается В (К) = 1.0. |
DIMENSION A(5, 5), B(5), Z(5), NLEAD(5)
MA = 5
N = 5
ML = 1
MU = 1
LTR = 0
L = 0
DO 4 I = 1, MA
J0 = MAX0(1, I-ML)
J1 = MIN0(N, I + MU)
DO 3 J = J0, J1
K = J - I + ML + 1
A(I, K) = FLOAT(I*10 + J)
3 CONTINUE
B(I) = 7.0
4 CONTINUE
CALL ASB2R (A, MA, N, ML, MU, NLEAD, B, LTR,
* L, RCOND, Z, IERR)
Результаты:
| 0 21.0 22.0 23.0 0 |
| -0.524 32.0 33.0 34.0 0 |
A = | -0.015 43.0 44.0 45.0 0 |
| 0.292 54.0 55.0 0 0 |
| -0.228 0.569 0 0 0 |
NLEAD = (2, 3, 4, 5, 5) , RCOND = 1.47362E-03 ,
B = (-7.0625, 7.0598, 0.0024, -6.4409, 6.4511) .