Текст подпрограммы и версий ( Фортран )
asg8r.zip , asg8d.zip , asg8c.zip 		Тексты тестовых примеров ( Фортран )
tasg8r.zip , tasg8d.zip , tasg8c.zip
Текст подпрограммы и версий ( Си )
asg8r_c.zip , asg8d_c.zip , asg8c_c.zip 		Тексты тестовых примеров ( Си )
tasg8r_c.zip , tasg8d_c.zip , tasg8c_c.zip
Текст подпрограммы и версий ( Паскаль )
asg8r_p.zip , asg8e_p.zip , asg8c_p.zip 		Тексты тестовых примеров ( Паскаль )
tasg8r_p.zip , tasg8e_p.zip , tasg8c_p.zip

Подпрограмма:  ASG8R

Назначение

Решение вещественной системы линейных алгебраических уравнений А*x = b или АT*x = b методом Гаусса с выбором ведущего элемента по столбцу и оценка числа обусловленности матрицы А.

Математическое описание

Для заданной вещественной квадратной матрицы А порядка N выполняется треугольная факторизация А = L*U, где L - нижняя треугольная матрица, а U - верхняя треугольная матрица, вычисляется величина, обратная числу обусловленности матрицы А : 

     RCOND = 1/(|| A ||1*|| A-1||1) ,
 где
     || A ||1 = maxj=1,...,N   ( | a1j | + | a2j | + ... + | aNj | ) .
 Затем решается система
       L*y = b
 (для системы AT*x = b решается  UT*y = b) ,
 и затем решение  x находится как решение системы 
       U*x = y
 (для AT*x = b решается LT*x= y).

Дж.Форсайт, М.Малькольм, К.Моулер. Машинные методы математических вычислений. М.: Мир, 1980.

Использование 

    SUBROUTINE  ASG8R (A, M, N, NLEAD, B, LTR, L, RCOND, X,
                                              IERR) 
   Параметры
A - вещественный двумерный массив размера М на N, в котором задается исходная матрица; на выходе из подпрограммы на соответствующих местах находятся элементы матрицы U и поддиагональные элементы матриц исключения метода Гаусса  Li , i = 1, ..., N - 1;
M - первая размерность массива А в вызывающей программе (тип: целый);
N - порядок матрицы системы (тип: целый);
NLEAD - целый вектор длины N, содержащий на выходе информацию о выполненных в ходе факторизации перестановках (см. замечания по использованию);
B - вещественный вектор длины N, в котором задается правая часть системы;
LTR - задает вид решаемой системы (тип: целый):
LТR = 0 - если решается система А*x = b,
LТR ≠ 0 - если решается система АT*x = b;
L - признак решаемой системы (тип: целый);
L = 0 - если ситема с данной матрицей решается впервые,
L ≠ 0 - если система с заданной матрицей решается повторно;
RCOND - вещественная переменная, содержащая на выходе вычисленное значение величины, обратной числу обусловленности матрицы А (см. замечания по использованию);
X - вещественный вектор длины N, содержащий на выходе решение системы (см. замечания по использованию);
IERR - целая переменная, содержащая на выходе информацию о прохождении счета; при этом:
IЕRR=65 - если М ≤ 0 или N ≤ 0 ;
IЕRR=66 - если в процессе счета возникло переполнение (это говорит о том, что либо ||А||1, либо некоторые элементы матрицы U, либо некоторые компоненты решения системы превосходят по абсолютной величине максимальное представимое на данной машине число);
IЕRR=-К - если в результате факторизации в К - ой строке матрицы U диагональный элемент равен нулю (это свидетельствует о вырожденности матрицы А). Если таких строк у матрицы U несколько, то значение К полагается равным номеру последней из них;
IЕRR=67 - если система несовместна (см. замечания по использованию). 
   Версии
ASG8D - решение системы линейных алгебраических уравнений А*x = b методом Гаусса с выбором ведущего элемента по столбцу и оценка числа обусловленности матрицы А для вещественных А и b, заданных с удвоенной точностью.
ASG8C - решение системы линейных алгебраических уравнений А*x = b методом Гаусса с выбором ведущего элемента по столбцу и оценка числа обусловленности матрицы А для комплексных А и b. 
   Вызываемые подпрограммы
AFG4R - подпрограмма треугольной факторизации и оценки числа обусловленности матрицы А.
UTAFSI - подпрограмма выдачи диагностических сообщений. 
   Замечания по использованию
  1. 

В подпрограмме АSG8D массивы А, В и Х и переменная RСОND имеют тип DОUВLЕ РRЕСISIОN, для треугольного разложения и оценки числа обусловленности матрицы А вызывается подпрограмма АFG4D.

  2. 

В подпрограмме АSG8С массивы А, В и Х имеют тип СОМРLЕХ, для треугольного разложения и оценки числа обусловленности матрицы А вызывается подпрограмма АFG4С.

  3. 

На выходе К - й элемент вектора NLЕАD равен номеру строки, переставленной на К - м шаге факторизации с К - ой строкой матрицы А. Так как факторизация Гаусса требует N - 1 шагов, то NLЕАD (N) = N.

  4. 

Если задано L ≠ 0, т.е. система решается повторно, то перед выполнением подпрограммы нужно запомнить, если требуется, вычисленную ранее оценку числа обусловленности, а в качестве матрицы А при обращении к подпрограмме нужно взять результат предыдущего обращения к АSG8R или к АFG4R, т.е. матрица А должна быть уже факторизована, т.к. при L ≠ 0 треугольная факторизация не выполняется, а переменной RСОND присваивается значение ноль.

  5.  Если вырабатывается значение переменной IЕRR, отличное от нуля, то выдается соответствующее диагностическое сообщение, и, если IЕRR ≥ 65, то происходит выход из подпрограммы. Если система совместна, но матрица А вырождена (IЕRR < 0), т.е. для некоторых номеров К  U (К, К) = 0, то Х (К) полагается равным 1.

Пример использования 

      DIMENSION  A(4, 4), B(4), X(4), NLEAD(4)
      DATA  A /7.9, 8.5, 4.3, 3.2, 5.6, -4.8, 4.2, -1.4, 5.7, 0.8, -3.2,
    *              -8.9, -7.2, 3.5, 9.3, 3.3/
      DATA  B /7.0, 7.0, 7.0, 7.0/
      M = 4
      N = 4
      LTR = 0
      L = 0
      CALL  ASG8R (A, M, N, NLEAD, B, LTR, L, RCOND, X, IERR)

Результат:

               |   8.5           -4.8            0.8               3.5        |
               | -0.92941    10.06118     4.95647     -10.45294 |
      A  =  | -0.50588    -0.65879    -9.40171       2.40526  |
               | -0.37647    -0.04046    -0.73072      12.65817 |

      NLEAD  =   (2, 2, 4, 4)

      RCOND  =  0.41764

               |  1.023054 |
               |  0.273777 |
      X  =  | -0.462957 |
               | -0.003275 |