Текст подпрограммы и версий
ast3r_p.zip , ast3e_p.zip , ast3c_p.zip 		Тексты тестовых примеров
tast3r_p.zip , tast3e_p.zip , tast3c_p.zip

Подпрограмма:  AST3R (модуль AST3R_p)

Назначение

Решение вещественной системы линейных алгебраических уравнений AX = b с симметричной положительно определенной трехдиагональной матрицей A, заданной в компактном виде.

Математическое описание

Заданная в компактной форме симметричная положительно определенная трехдиагональная матрица А порядка N с помощью модифицированного алгоритма Гаусса без выбора ведущего элемента приводится к специальному виду L- 1А = С, где трехдиагональная матрица С имеет нулевые элементы в верхней половине нижней кодиагонали и в нижней половине верхней кодиагонали, а в строке с номером [N/2] + 1 отличен от нуля лишь диагональный элемент.

Затем решается система Сx = L- 1b.

Дж.Форсайт, М.Малькольм, К.Моулер. Машинные методы математических вычислений. М.: Мир, 1980.

Использование 

procedure AST3R(var A :Array of Real; M :Integer; N :Integer;
                var B :Array of Real; var IERR :Integer);


   Параметры
A - вещественный двумерный массив размера М на 2, в котором задается в компактном виде исходная симметричная трехдиагональная матрица порядка N (см. замечания по использованию); на выходе на соответствующих местах находятся элементы трехдиагональной матрицы С;
M - первая размерность массива А в вызывающей программе (тип: целый);
N - порядок матрицы А (тип: целый);
B - вещественный вектор длины N, в котором задается правая часть системы; на выходе содержит вычисленное решение системы (см. замечания по использованию);
IERR - целая переменная, указывающая причину окончания счета, при этом:
IЕRR=65 - если М ≤ 0 или N ≤ 0,
IЕRR=66 - если в процессе работы подпрограммы произошло переполнение (это говорит о том, что либо некоторые элементы матрицы С, либо некоторые компоненты решения системы превосходят по абсолютной величине максимальное представимое на данной машине число),
  IЕRR < 0, если на очередном шаге факторизации ведущий элемент оказался равным нулю и дальнейшее выполнение факторизации поэтому невозможно (такая ситуация может возникнуть, если матрица А не является положительно определенной); или если в pезультате факторизации на главной диагонали матрицы С есть нулевые элементы (это свидетельствует о вырожденности матрицы А);
IЕRR=67 - если система несовместна. 
   Версии
AST3E - решение системы линейных алгебраических уравнений с симметричной положительно определенной трехдиагональной матрицей А, заданной в компактной форме, для вещественных А и В, заданных с расширенной (Extended) точностью.
AST3C - решение системы линейных алгебраических уравнений с симметричной положительно определенной трехдиагональной матрицей А, заданной в компактной форме, для комплексных А и В. 
   Вызываемые подпрограммы
UTAFSI - подпрограмма выдачи диагностических сообщений. 
   Замечания по использованию
  1. 

В подпрограмме АSТ3E массивы А и В имеют тип Extended.

  2. 

В подпрограмме АSТ3С массивы А и В имеют тип Complex.

  3. 

Если вырабатывается значение IЕRR ≠ 0, то выдается соответствующее диагностическое сообщение и, если IЕRR > 0, то происходит выход из подпрограммы.

  4. 

Так как факторизация происходит без выбора ведущего элемента, то подпрограмму рекомендуется использовать для решения систем с положительно определенными матрицами, так как в этом случае процесс факторизации будет устойчивым относительно погрешностей данных и ошибок округления.

Для матриц, не являющихся положительно определенными, процесс будет, вообще говоря, неустойчивым; кроме того, в процессе факторизации может появиться нулевой ведущий элемент (в этом случае также происходит выход из подпрограммы).

Поэтому для решения систем с такими матрицами лучше обратиться к подпрограмме АSТ2R, задав матрицу А двумерным массивом размера М на 3.

Пример использования 

Unit TAST3R_p;
interface
uses
SysUtils, Math, { Delphi }
Lstruct, Lfunc, UtRes_p, AST3R_p;

function TAST3R: String;

implementation

function TAST3R: String;
var
M,N,J,I,IERR :Integer;
const
A :Array [0..9] of Real = ( 0.0, -1.0, -1.0, -1.0, -1.0, 1.0, 2.0, 2.0, 2.0,
 2.0 );
B :Array [0..4] of Real = ( 1.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0 );
begin
Result := '';  { результат функции }
M  := 5;
N  := 5;
Result := Result + #$0D#$0A;
Result := Result + Format('%s',['    A=' + #$0D#$0A]);
for I:=1 to M do
 begin
  for J:=1 to 2 do
   begin
    Result := Result + Format('  %20.16f ',[A[(I-1)+(J-1)*5]]) + #$0D#$0A;
   end;
 end;
Result := Result + #$0D#$0A;
Result := Result + #$0D#$0A;
Result := Result + Format('%s',['    ПРАВАЯ ЧACTЬ' + #$0D#$0A]);
for J:=1 to N do
 begin
  Result := Result + Format('  %20.16f ',[B[J-1]]) + #$0D#$0A;
 end;
Result := Result + #$0D#$0A;
AST3R(A,M,N,B,IERR);
Result := Result + #$0D#$0A;
Result := Result + Format('%s',['    PEЗYЛЬTAT' + #$0D#$0A]);
for J:=1 to N do
 begin
  Result := Result + Format('  %20.16f ',[B[J-1]]) + #$0D#$0A;
 end;
Result := Result + #$0D#$0A;
Result := Result + Format('%s',['    IERR=']);
Result := Result + Format('%3d ',[IERR]) + #$0D#$0A;
UtRes('TAST3R',Result);  { вывод результатов в файл TAST3R.res }
exit;
end;

end.



Результат:

      B  =   ( 5.0,  4.0,  3.0,  2.0,  1.0 )