|
Текст подпрограммы и версий ( Фортран ) de13r.zip , de13d.zip |
Тексты тестовых примеров ( Фортран ) tde13r.zip , tde13d.zip |
|
Текст подпрограммы и версий ( Си ) de13r_c.zip , de13d_c.zip |
Тексты тестовых примеров ( Си ) tde13r_c.zip , tde13d_c.zip |
|
Текст подпрограммы и версий ( Паскаль ) de13r_p.zip , de13e_p.zip |
Тексты тестовых примеров ( Паскаль ) tde13r_p.zip , tde13e_p.zip |
Вычисление решения задачи Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка в конце интервала интегрирования классическим методом Рунге - Кутта четвертого порядка с контрольным членом Егорова.
Решается задача Коши для системы M обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка
Y ' = F (X, Y) ,
Y = ( y1, ... , yM ) ,
F = ( f1 (X, y1, ... , yM), ... , fM (X, y1, ... , yM) )
с начальными условиями, заданными в точке XN :
Y(XN) = YN , YN = ( y10, ... , yM0 ) ,
классическим методом Рунге - Кутта 4 - го порядка с контрольным членом Егорова. Решение вычисляется в одной точке XK, которая является концом интервала интегрирования. Каждая компонента решения вычисляется с контролем точности по относительной погрешности на тех участках интервала интегрирования, на которых модуль этой компоненты больше некоторого наперед заданного числа P (это число называется границей перехода), и по абсолютной погрешности на остальных участках, т.е. там, где модуль проверяемой на точность компоненты меньше этого числа.
О.Б.Арушанян, Стандартная программа решения задачи Коши для систем обыкновенных дифференциальных уравнений методом Рунге - Кутта, вып. 31, под общей редакцией В.В.Воеводина, НИВЦ МГУ, 1968.
SUBROUTINE DE13R (F, M, XN, YN, XK, HMIN, EPS, P, H,
Y, YP, DELTY, YR, DY, IERR)
Параметры
| F - |
имя подпрограммы вычисления значений правой
части дифференциального уравнения. Первый
оператоp подпрограммы должен иметь вид: SUBROUTINE F (X, Y , DY, M). Здесь: X, Y - значения независимой и зависимой переменных, соответственно. Вычисленное значение правой части должно быть помещено в DY. B случае системы уравнений, т.е. когда M ≠ 1 , параметры Y и DY представляют массивы длины M (тип параметров X, Y и DY: вещественный); |
| M - | количество уравнений в системе (тип: целый); |
| XN, YN - | начальные значения аргумента и решения. B случае системы уравнений (т.е. M ≠ 1) YN представляет одномерный массив длины M (тип: вещественный); |
| XK - | значение аргумента, при котоpом требуется вычислить решение задачи Коши (конец интервала интегрирования). XK может быть больше, меньше или pавно XN (тип: вещественный); |
| HMIN - | минимальное значение абсолютной величины шага, который разрешается использовать при интегрировании данной системы уравнений (тип: вещественный); |
| EPS - | допустимая меpа погрешности, с которой тpебуется вычислить все компоненты решения (тип: вещественный); |
| P - | граница перехода, используемая при оценке погрешности решения (тип: вещественный); |
| H - | вещественная переменная, содержащая начальное значение шага интегрирования. Может задаваться с учетом направления интегрирования, т.е. положительным, если XK > XN, отрицательным, если XK < XN, или без такого учета в виде абсолютной величины; |
| Y - | искомое решение задачи Коши, вычисленное подпрограммой при значении аргумента XK. Для системы уравнений (когда M ≠ 1) задается одномерным массивом длины M. B случае совпадения значений параметров XN и XK значение Y полагается равным начальному значению YN (тип: вещественный); |
|
YP - DELTY YR, DY | вещественные одномерные рабочие массивы длины M; |
| IERR - | целая переменная, значение которой в pезультате работы подпрограммы полагается pавным 65, если какая - нибудь компонента решения не может быть вычислена с требуемой точностью EPS. B этом случае интегрирование системы прекращается. При желании интегрирование системы можно повторить обращением к подпрограмме с новыми значениями параметpов HMIN и H. |
Версии
| DE13D - | вычисление решения задачи Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка в конце интервала интегрирования классическим методом Рунге - Кутта четвертого порядка с повышенной точностью. При этом параметры XN, YN, XK, HMIN, EPS, P, H, Y, YP, DELTY, YR, DY и параметры X, Y и DY в подпрограмме F должны иметь тип DOUBLE PRECISION. |
Вызываемые подпрограммы
| UTDE10 - | подпрограмма выдачи диагностических сообщений при работе подпрограммы DE13R. |
| UTDE11 - | подпрограмма выдачи диагностических сообщений при работе подпрограммы DE13D. |
Замечания по использованию
|
Подпрограмма DE13R предназначена для численного решения дифференциальных уравнений и систем уравнений с правой частью, имеющей непрерывные частные производные вплоть до 5 порядка включительно. Хотя заданная точность EPS не гарантируется в общем случае, большой опыт эксплуатации данной подпрограммы убедительно показывает, что вычисляемое ею численное решение достаточно близко приближает точное решение. При работе подпрограммы значения параметров M, XN, YN, XK, HMIN, EPS, P сохраняются. Если после работы подпрограммы нет необходимости иметь начальное значение решения YN, то параметры YN и Y при обращении к ней можно совместить. |
Использование подпрограммы иллюстрируется на примере
y1' = 0.2 ( y4 - y1 )
y2' = y1 + 2 ( y2 - y2 y3 )
y3' = y4 - ( y3 - y2 y3 )
y4' = 10 y1 - ( 61 - 0.13 x ) y4 + 0.13 x , 0 ≤ x ≤ 8 ,
y1 (0) = y2 (0) = y3 (0) = y4 (0) = 0
Приводятся подпрограмма вычисления значений правой части и фрагмент вызывающей программы, а также результаты счета.
SUBROUTINE F (X, Y, DY, M)
DIMENSION Y(4), DY(4)
CT = 0.13*X
R23 = Y(2)*Y(3)
DY(1) = 0.2*(Y(4) - Y(1))
DY(2) = Y(1) + 2*(Y(2) - R23)
DY(3) = Y(4) - (Y(3) - R23)
DY(4) = 10*Y(1) - (61 - CT)*Y(4) + CT
RETURN
END
DIMENSION YI(4), YF(4), YP(4), DELTY(4), RAB(4), RAB1(4)
EXTERNAL F
M = 4
YI(1) = 0.
YI(2) = 0.
YI(3) = 0.
YI(4) = 0.
XI = 0.
XF = 8.
H = 0.01
HMIN = 1.E-16
ERR = 1.E-4
P = 1.E-8
CALL DE13R (F, M, XI, YI, XF, HMIN, ERR, P, H, YF, YP,
* DELTY, RAB, RAB1, IERR)
Результаты:
YF(1) = 0.00923847083381
YF(2) = 0.00482097150315
YF(3) = 1.66711319966
YF(4) = 0.0188434937933
IERR = 0