|
Текст подпрограммы и версий ( Фортран ) de27r.zip , de27d.zip |
Тексты тестовых примеров ( Фортран ) tde27r.zip , tde27d.zip |
|
Текст подпрограммы и версий ( Си ) de27r_c.zip , de27d_c.zip |
Тексты тестовых примеров ( Си ) tde27r_c.zip , tde27d_c.zip |
|
Текст подпрограммы и версий ( Паскаль ) de27r_p.zip , de27e_p.zip |
Тексты тестовых примеров ( Паскаль ) tde27r_p.zip , tde27e_p.zip |
Вычисление решения задачи Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка в конце интервала интегрирования методом Адамса с постоянным шагом.
Решается задача Коши для системы M обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка
Y ' = F (X, Y) ,
Y = ( y1, ..., yM ) ,
F = ( f1 (X, y1,..., yM),..., fM (X, y1,..., yM) )
с начальными условиями, заданными в точке XN:
Y(XN) = YN , YN = ( y10,..., yM0 ) ,
многошаговым предсказывающе - исправляющим методом пятого порядка точности. Суть метода состоит в том, что сначала по по явной формуле Адамса строятся предсказанные значения приближенного решения, которые затем исправляются по неявной формуле Адамса.
Решение вычисляется в одной точке XK, которая является концом интервала интегрирования. Интегрирование ведется с постоянным шагом, значение которого задается пользователем при обращении к подпрограмме.
Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений, т.2. Физматгиз, М., 1960.
Беленький В.З. Стандартная программа для интегрирования системы дифференциальных уравнений методом Адамса. Сб. "Вычислительные методы и программирование", вып. 3. Изд-во МГУ, 1965
SUBROUTINE DE27R (F, M, XN, YN, XK, H, Y, DELTY,
DF, RF, YP, RY, RFN, IERR)
Параметры
| F - |
имя подпрограммы вычисления значений правой
части дифференциального уравнения. Первый
оператоp подпрограммы должен иметь вид: SUBROUTINE F (X, Y , DY, M). Здесь: X, Y - значения независимой и зависимой переменных, соответственно. Вычисленное значение правой части должно быть помещено в DY. B случае системы уравнений, т.е. когда M ≠ 1, параметры Y и DY представляют массивы длины M (тип параметров X, Y и DY: вещественный); имя подпрограммы вычисления значений правой части системы. |
| M - | количество уравнений в системе (тип: целый); |
| XN, YN - | начальные значения аргумента и решения; в случае системы уравнений (т.е. M ≠ 1) YN представляет массив длины M (тип: вещественный); |
| XK - | значение аргумента, при котоpом требуется вычислить решение задачи Коши (конец интервала интегрирования). XK может быть больше, меньше или pавно XN (тип: вещественный); |
| H - | вещественная переменная, содержащая значение шага интегрирования; может задаваться с учетом направления интегрирования, т.е. положительным, если XK > XN, отрицательным, если XK < XN, или без такого учета в виде абсолютной величины; |
| Y - | искомое решение задачи Коши, вычисленное подпрограммой для значения аргумента XK. Для системы уравнений (когда M ≠ 1) У задается массивом длиной M. B случае совпадения значений параметров XN и XK значение Y полагается равным начальному значению YN (тип: вещественный); |
|
DELTY - RF, YP RFN | одномерные вещественные рабочие массивы длины M; |
| DF, RY - | двумерные вещественные рабочие массивы размеpа M*5; |
| IERR - | целая переменная, значение которой в pезультате работы подпрограммы полагается равным 65, если при заданном значении H шага интегрирования не может быть достигнута сходимость численного решения к точному значению решения; в этом случае интегрирование системы можно повторить обращением к подпрограмме с новым (меньшим) значением H. |
Версии
| DE27D - | вычисление решения задачи Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка в конце интервала интегрирования методом Адамса с постоянным шагом, при этом все вычисления над действительными числами ведутся с удвоенным числом значащих цифр. B этом случае параметры XN, YN, XK, H, Y, DELTY, DF, RF, YP, RY, RFN и параметры X, Y и DY в подпрограмме F должны иметь тип DOUBLE PRECISION. |
Вызываемые подпрограммы
| DE26R - | выполнение одного шага численного интегрирования системы обыкновенных дифференциальных уpавнений первого порядка методом Адамса без контроля точности; вызывается при работе подпрограммы DE27R. |
| DE26D - | выполнение одного шага численного интегрирования системы обыкновенных дифференциальных уpавнений первого порядка методом Адамса без контроля точности, при этом все вычисления над действительными числами ведутся с удвоенным числом значащих цифр; вызывается при работе подпрограммы DE27D. |
| UTDE12 - | подпрограмма выдачи диагностических сообщений при работе подпрограммы DE27R. |
| UTDE13 - | подпрограмма выдачи диагностических сообщений при работе подпрограммы DE27D. |
Замечания по использованию
|
При работе подпрограммы и ее версии значения параметров M, XN, YN, XK, H сохраняются. Если после работы подпрограммы нет необходимости иметь начальное значение решения YN, то параметры YN и Y при обращении к ней можно совместить. |
y1' = y2
y2' = -y1
y1 (3/4 π) = √2 /2 , y2 (3/4 π) = -√2 /2
Приводятся подпрограмма вычисления значений правой части системы и фрагмент вызывающей программы, выполняющей дважды интегрирование системы, сначала на отрезке [3/4 π, π], затем на том же отрезке справа налево, а также результаты счета.
SUBROUTINE F (X, Y, DY, M)
DIMENSION Y(2), DY(2)
DY(1) = Y(2)
DY(2) = -Y(1)
RETURN
END
DIMENSION YN(2), Y(2), DELTY(2), DF(10), RF(2), YP(2),
* RY(10), RFN(2)
EXTERNAL F
M = 2
XN = 0.75*3.14159265359
YN(1) = SQRT(2.)/2.
YN(2) = -YN(1)
XK = 3.14159265359
DO 20 K = 1, 2
H = 0.01
CALL DE27R (F, M, XN, YN, XK, H, Y, DELTY, DF, RF, YP, RY,
* RFN, IERR)
C ПEЧATЬ ПPИБЛИЖEHHOГO ЗHAЧEHИЯ PEШEHИЯ
PRINT 1, XK, Y
XN = XK
XK = 0.75*XN
YN(1) = 0.
YN(2) = -1.
20 CONTINUE
STOP
1 FORMAT (3E18.9)
Результаты:
после первого обращения к подпрограмме -
XK Y(1) Y(2)
3.141592654 + 00 -2.773237299-10 -1.000000000 + 00
после второго обращения к подпрограмме -
XK Y(1) Y(2)
2.356194490 + 00 7.071067811-01 -7.071067815-01