|
Текст подпрограммы и версий ( Фортран ) de32r.zip , de32d.zip |
Тексты тестовых примеров ( Фортран ) tde32r.zip , tde32d.zip |
|
Текст подпрограммы и версий ( Си ) de32r_c.zip , de32d_c.zip |
Тексты тестовых примеров ( Си ) tde32r_c.zip , tde32d_c.zip |
|
Текст подпрограммы и версий ( Паскаль ) de32r_p.zip , de32e_p.zip |
Тексты тестовых примеров ( Паскаль ) tde32r_p.zip , tde32e_p.zip |
Построение начальных значений при интегрировании системы обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка методом Адамса с контролем точности.
Для системы M обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка
Y ' = F (X, Y) ,
Y = ( y1, ..., yM ) ,
F = ( f1 (X, y1,..., yM), ... , fM (X, y1,..., yM) )
с начальными условиями, заданными в точке XN:
Y(XN) = YN , YN = ( y10,..., yM0 ) ,
с помощью модифицированного приема А.Н.Крылова отыскиваются необходимые при численном интегрировании этой системы многошаговым методом Адамса значения решения Y в нескольких первых узлах и конечные разности правой части F(X,Y) системы до некоторого порядка в точке XN. Количество таких узлов и максимальный порядок получаемых разностей определяются в подпрограмме автоматически и соответствуют порядку точности используемого метода Адамса, который задается пользователем при обращении к подпрограмме.
Указанная процедура вычисления необходимых для счета начальных значений, или "фронта Адамса", называется разгоном. Используемый в подпрограмме метод разгона является итерационным способом, опирающимся на экстраполяционную формулу Адамса, записанную в разностной форме.
B качестве критерия точности при разгоне принята оценка первого отброшенного члена экстраполяционной формулы, при этом все компоненты решения проверяются на точность по меpе погрешности, который заключается в следующем: если некоторая компонента приближенного решения по абсолютной величине не меньше некоторой наперед заданной константы P, называемой границей перехода, то контроль точности для этой компоненты ведется по относительной погрешности, иначе - по абсолютной.
Беленький В.З. Стандартная программа для интегрирования системы дифференциальных уравнений методом Адамса. Сб. "Вычислительные методы и программирование", вып.3., Изд-во МГУ, 1965.
SUBROUTINE DE32R (F, M, IORDER, XN, YN, HMIN, EPS, P, H,
DF, X, Y, BUL, RS, RF, R, IERR)
Параметры
| F - |
имя подпрограммы вычисления значений правой
части дифференциального уравнения. Первый
оператоp подпрограммы должен иметь вид: SUBROUTINE F (X, Y , DY, M). Здесь: X, Y - значения независимой и зависимой переменных, соответственно. Вычисленное значение правой части должно быть помещено в DY. B случае системы уравнений, т.е. когда M ≠ 1, параметры Y и DY представляют массивы длины M (тип параметров X, Y и DY: вещественный); |
| M - | количество уравнений в системе (тип: целый); |
| IORDER - | порядок точности того метода Адамса, для которого выполняется разгон и который будет использоваться при интегрировании данной системы уравнений; IORDER должен быть не больше 10 (тип: целый); |
| XN, YN - | начальные значения аргумента и решения; в случае системы уравнений (т.е. M ≠ 1) YN представляет одномерный массив длины M (тип: вещественный); |
| HMIN - | минимальное значение абсолютной величины шага, который разрешается использовать при интегрировании данной системы уравнений (тип: вещественный); |
| EPS - | допустимая меpа погрешности, с которой требуется вычислить все компоненты решения (тип: вещественный); |
| P - | граница перехода, используемая при оценке погрешности решения (тип: вещественный); |
| H - | вещественная переменная, содержащая значение шага интегрирования. Если для этого значения шага точность при разгоне достигается, то именно он и реализуется на разгоне, иначе этот шаг уменьшается подпрограммой до тех пор, пока не будет достигнута заданная точность; |
| DF - | двумерный вещественный массив размера M*IORDER, в котоpом запоминаются значения правой части системы и ее разностей до порядка (IORDER - 1) включительно, вычисленные в точке XN, при этом элемент DF (I, 1) этого массива содержит значение правой части I - ого уравнения, а DF (I, J + 1) - ее J - ю разность, погрешность вычисления которой имеет (IОRDЕR + 1) - й порядок по H; |
| X - | одномерный вещественный массив длины IORDER, содержащий на выходе из подпрограммы IORDER узлов, включая XN, в которых вычисляются при разгоне приближенные значения решения, при этом элемент X (J) этого массива содержит узел, равный XN + (J - 1) * H; |
| Y - | двумерный вещественный массив размера M*IORDER, в котоpом запоминаются приближенные значения решения, вычисленные для значений аргумента, хранящихся в массиве X, а именно, значению аргумента в X (J) соответствует приближенное решение Y (I,J), при этом погрешность этого решения имеет порядок IORDER по H; |
| BUL - | логическая переменная, значение которой при обращении к подпрограмме полагается равным .TRUE., если заданный в H шаг выводит в конец интервала интегрирования,т.е. узел X (IORDER) совпадает с концом интервала интегрирования, и .FALSE. в противном случае. B результате работы подпрограммы BUL pавно .FALSE., если вместо исходного шага интегрирования при разгоне был использован меньший шаг; в противном случае значение переменной BUL не меняется; |
|
RS - RF, R | одномерные вещественные рабочие массивы длины M; |
| IERR - | целая переменная, служащая для сообщения об ошибках, обнаруженных в процессе работы подпрограммы; при этом: |
| IERR= 1 - | когда неправильно задан параметр IORDER,т.е. IORDER > 10; в этом случае разгон выполняется для значения IORDER = 10; |
| IERR=65 - | когда на разгоне не может быть достигнута требуемая точность EPS; в этом случае разгон можно начать сначала обращение к подпрограмме с новыми значениями параметров H, HMIN и IORDER. |
Версии
| DE32D - | построение начальных значений с повышенной точностью при интегрировании системы обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка методом Адамса с контролем точности. При этом параметры XN, YN, HMIN, EPS, P, H, DF, X, Y, RS, RF, R и параметры X, Y и DY в подпрограмме F должны иметь тип DOUBLE PRECISION. |
Вызываемые подпрограммы
| UTDE12 - | подпрограмма выдачи диагностических сообщений при работе подпрограммы DE32R. |
| UTDE13 - | подпрограмма выдачи диагностических сообщений при работе подпрограммы DE32D. |
| Kpоме того, подпрограммы DE32R и DE32D используют рабочие подпрограммы DE28RS и DE28DS, соответственно. |
Замечания по использованию
|
B общем случае требуемая точность при разгоне не гарантируется. При работе подпрограммы и ее версии значения параметров M, IORDER, XN, YN, HMIN, EPS, P сохраняются. Подпрограмма и ее версия могут использоваться как для разгона, так и непосредственно для численного решения системы уравнений на всем интервале интегрирования. |
y1' = y2
y2' = -y1
y1 (3/4 π) = √2 /2
y2 (3/4 π) = -√2 /2
SUBROUTINE F (X, Y, DY, M)
DIMENSION Y(2), DY(2)
DY(1) = Y(2)
DY(2) = -Y(1)
RETURN
END
DIMENSION YN(2), DF(2, 5), Y(2, 5), X(5),
* RS(2), RF(2), R(2)
EXTERNAL F
LOGICAL BUL
M = 2
IORDER = 5
XN = 0.75*3.14159265359
YN(1) = SQRT(2.)/2.
YN(2) = -YN(1)
HMIN = 1.E-10
EPS = 0.0001
P = 100.
H = 0.01
BUL = .FALSE.
CALL DE32R (F, M, IORDER, XN, YN, HMIN, EPS, P, H, DF, X, Y,
* BUL, RS, RF, R, IERR)
Результаты:
IERR = 0
X(5) = 2.396194490 + 00
Y(1, 5) = 6.782644418-01
Y(2, 5) = -7.348179005-01
DF(1, 1) = -7.07106781186-03
DF(1, 2) = -7.10630480683-05
DF(1, 3) = 6.99988802921-07
DF(1, 4) = 7.18290493751-09
DF(1, 5) = -7.27808924239-11
DF(2, 1) = -7.07106781186-03
DF(2, 2) = 7.03559472512-05
DF(2, 3) = 7.14142103675-07
DF(2, 4) = -6.97064450605-09
DF(2, 5) = -6.86739554112-11