|
Текст подпрограммы и версий ( Фортран ) de36r.zip , de36d.zip |
Тексты тестовых примеров ( Фортран ) tde36r.zip , tde36d.zip |
|
Текст подпрограммы и версий ( Си ) de36r_c.zip , de36d_c.zip |
Тексты тестовых примеров ( Си ) tde36r_c.zip , tde36d_c.zip |
|
Текст подпрограммы и версий ( Паскаль ) de36r_p.zip , de36e_p.zip |
Тексты тестовых примеров ( Паскаль ) tde36r_p.zip , tde36e_p.zip |
Выполнение одного шага интегрирования жесткой линейной системы обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка неявным методом Рунге - Кутта.
Выполняется один шаг численного интегрирования жесткой линейной системы M обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка с переменными коэффициентами
Y ' (X) = A(X) * Y(X) + φ(X) ,
Y = ( y1, ..., yM ) ,
A(X) = ( a i j(X) ) , i, j = 1, ..., M ,
φ(X) = ( φ1(X), ..., φM(X) ) .
По заданному значению решения YX в узле Xn вычисляется значение этого решения в узле Xn + H. Вычисление производится по неявной трехчленной формуле Рунге - Кутта шестого порядка точности. Значение H может быть меньше или pавно значению шага интегрирования, задаваемому пользователем при обращении к подпрограмме.
Bсе компоненты решения вычисляются с контролем точности по мере погрешности, который заключается в следующем. Если некоторая компонента приближенного решения по абсолютной величине не меньше некоторой наперед заданной константы P, то контроль точности для этой компоненты ведется по относительной погрешности, иначе - по абсолютной. Абсолютная погрешность приближенного решения оценивается по правилу Рунге.
Современные численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений. Ред. Дж.Холл и Дж.Уатт. "Мир", M., 1979.
Butcher J.C. Implicit Runge - Kutta processes. Math. Comp., 18, 50 - 64, 1964.
SUBROUTINE DE36R (FA, FI, M, JSTART, HMIN, EPS, P, YX, X,
H, BUL, XP, YP, IR, R1, R2, R3, R4, R5, IERR)
Параметры
| FA - | подпрограмма вычисления матрицы системы A (X) в любой точке X. Первый оператор подпрограммы должен иметь вид: |
|
SUBROUTINE FA (A, X, M) Здесь: A - двумерный массив размера M * M, в котоpом помещается матрица системы, вычисленная при значении аргумента X (тип параметров A, X: вещественный); |
| FI - | подпрограмма вычисления неоднородности правой части системы φ (X) в любой точке X. Первый оператор подпрограммы должен иметь вид: |
|
SUBROUTINE FI (G, X, M) Здесь G - одномерный массив длины M, в который помещается неоднородность правой части системы, вычисленная при значении аргумента X (тип параметров G, X: вещественный); |
| M - | количество уравнений в системе (тип: целый); |
| JSTART - | целый указатель режима использования подпрограммы, имеющий следующие значения: |
| 0 - | первое обращение к подпрограмме должно быть выполнено с нулевым значением JSTART; |
| +1 - | выполнить один шаг интегрирования системы дифференциальных уравнений для значений независимой и зависимой переменных и шага интегрирования, заданных параметрами X, YX и H, соответственно; |
| -1 - | повторить последний шаг интегрирования с новыми значениями параметров H и/или HMIN; |
| на выходе из подпрограммы JSTART полагается равным + 1; |
| HMIN - | минимальное значение абсолютной величины шага, котоpое разрешается использовать при интегрировании данной системы уравнений (тип: вещественный); |
| EPS - | допустимая меpа погрешности, с которой требуется вычислить все компоненты решения (тип: вещественный); |
| P - | граница перехода, используемая при оценке меры погрешности решения (тип: вещественный); |
| YX, X - | заданные вещественные значения решения и соответствующее ему значение аргумента; в результате работы подпрограммы в X получается новое значение аргумента, а в YX - соответствующее значение решения; в случае системы уравнений, т.е. когда M ≠ 1, YX задается одномерным массивом длины M; |
| H - | вещественная переменная, содержащая значение шага интегрирования; если для этого значения шага точность приближенного решения достигается, то именно он и реализуется подпрограммой, иначе этот шаг уменьшается подпрограммой до тех пор, пока не будет достигнута заданная точность EPS; на выходе из подпрограммы H содержит рекомендуемое подпрограммой значение следущего шага интегрирования, определяемое ею с целью достижения более экономного способа интегрирования; |
| BUL - | логическая переменная, значение которой при обращении к подпрограмме полагается равным .TRUE., если заданный в H шаг выводит в конец интервала интегрирования, и .FALSE. в противном случае; в результате работы подпрограммы BUL pавно .FALSE., если вместо исходного шага интегрирования был реализован меньший шаг; в противном случае, т.е. когда был выполнен именно заданный при обращении в H шаг, значение параметра BUL не меняется; |
| XP, YP - | вещественная рабочая переменная и одномерный рабочий массив длины M, соответственно; значения паметров XP, YP на выходе из подпрограммы равны тем значениям, которые имели параметры X, YX при входе в нее (т.е. предыдущий узел и решение в нем); |
| IR - | целый одномерный рабочий массив длины 3 * M; |
| R1, R2 - | вещественные одномерные рабочие массивы длины ( 3M * (3M + 1) ) и 3M, соответственно; |
| R3 - | вещественный двумерный рабочий массив размера M * M; |
| R4, R5 - | вещественные одномерные рабочие массивы длины M; |
| IERR - | целая переменная, значение которой в результате работы подпрограммы полагается равным 65, если какая - нибудь компонента решения не может быть вычислена с требуемой точностью EPS; в этом случае последний шаг интегрирования системы можно повторить обращением к подпрограмме с новыми значениями параметров H, HMIN и значением JSTART = -1 . |
Версии
| DE36D - | выполнение одного шага численного интегрирования жесткой линейной системы обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка неявным методом Рунге - Кутта с удвоенным числом значащих цифр. При этом параметры HMIN, EPS, P, YX, X, H, XP, YP, R1, R2, R3, R4, R5 и параметры A, G, X в подпрограммах FA и FI должны иметь тип DOUBLE PRECISION. |
Вызываемые подпрограммы
| UTDE16 - | подпрограмма выдачи диагностических сообщений при работе подпрограммы DE36R. |
| UTDE17 - | подпрограмма выдачи диагностических сообщений при работе подпрограммы DE36D. |
Замечания по использованию
|
B общем случае заданая точность не гарантируется. При работе подпрограммы значения параметров M, HMIN, EPS, P сохраняются. При работе подпрограмм FA и FI значения параметров X и M не должны изменяться. При обращении к подпрограмме со значением JSTART = -1 в качестве исходных значений аргумента и решения принимаются значения параметров XP и YP, соответственно, т.е. те значения, которые эти параметры получили после самого последнего обращения к подпрограмме с неотрицательным значением JSTART. Tак как подпрограммы DE36R и DE36D используют общие блоки с именами COM36R и COM36D, соответственно, для хранения промежуточных значений, то пользователь не должен портить элементы этих общих блоков. |
y1' = - 20y1 + y2 ,
y2' = 19y1 - 2y2 ,
Точное решение системы:
y1 = e - x + e - 21x ,
y2 = 19e - x - e - 21x .
SUBROUTINE FBUT (A, X, M)
DIMENSION A(2, 2)
A(1, 1) = - 20.
A(1, 2) = 1.
A(2, 1) = 19.
A(2, 2) = - 2.
RETURN
END
SUBROUTINE FBUTFI (FI, X, M)
DIMENSION FI(2)
FI(1) = 0.
FI(2) = 0.
RETURN
END
DIMENSION YX(2), YP(2), IR(6), R1(42), R2(6), R3(4), R4(2),
* R5(2)
EXTERNAL FBUT, FBUTFI
IH = 0
M = 2
X = 0.0
YX(1) = 2.
YX(2) = 18.
HMIN = 1.E - 12
EPS = 1.E - 5
P = 100.
JSTART = 0
H = 0.01
BUL = .FALSE.
6 CALL DE36R (FBUT, FBUTFI, M, JSTART, HMIN, EPS, P, YX, X,
* H, BUL, XP, YP, IR, R1, R2, R3, R4, R5, IERR)
IH = IH + 1
C ПEЧATЬ TOЧHOГO ЗHAЧEHИЯ PEШEHИЯ
Y1 = EXP(- X) + EXP(- 21. * X)
Y2 = 19. * EXP(- X) - EXP(- 21. * X)
PRINT 1, X, YX, H, Y1, Y2
GO TO (6, 6, 14, 15, 16, 6, 20), IH
14 JSTART = - 1
H = 0.005
GO TO 6
15 JSTART = - 1
H = 0.02
GO TO 6
16 JSTART = - 1
H = 0.03
GO TO 6
20 STOP
Результаты:
после первого обращения к подпрограмме -
X YX(1) YX(2)
9.999999999991 - 03 1.800634079711 + 00 1.800036259522 + 01
H Y1 Y2
1.999999999998 - 02 1.800634079724 + 00 1.800036259528 + 01
после второго обращения к подпрограмме -
X YX(1) YX(2)
2.999999999997 - 02 1.503037334354 + 00 1.790587333651 + 01
H Y1 Y2
3.999999999996 - 02 1.503037334556 + 00 1.790587333636 + 01
после третьего обращения к подпрограмме -
X YX(1) YX(2)
6.999999999994 - 02 1.162319294410 + 00 1.748555710353 + 01
H Y1 Y2
7.999999999993 - 02 1.162319305093 + 00 1.748555709302 + 01
после четвертого обращения к подпрограмме -
X YX(1) YX(2)
3.499999999997 - 02 1.445110875044 + 00 1.786699744989 + 01
H Y1 Y2
9.999999999991 - 03 1.445110875235 + 00 1.786699744992 + 01
после пятого обращения к подпрограмме -
X YX(1) YX(2)
4.999999999995 - 02 1.301167173347 + 00 1.772342131648 + 01
H Y1 Y2
3.999999999996 - 02 1.301167173613 + 00 1.772342131642 + 01
после шестого обращения к подпрограмме -
X YX(1) YX(2)
5.999999999995 - 02 1.225418558231 + 00 1.760987211324 + 01
H Y1 Y2
5.999999999995 - 02 1.225418560085 + 00 1.760987211161 + 01
после седьмого обращения к подпрограмме -
X YX(1) YX(2)
1.199999999999 - 01 9.673799790717 - 01 1.677102875494 + 01
H Y1 Y2
1.199999999999 - 01 9.673800434666 - 01 1.677102869086 + 01