Текст подпрограммы и версий ( Фортран )
de41r.zip , de41d.zip 		Тексты тестовых примеров ( Фортран )
tde41r.zip , tde41d.zip
Текст подпрограммы и версий ( Си )
de41r_c.zip , de41d_c.zip 		Тексты тестовых примеров ( Си )
tde41r_c.zip , tde41d_c.zip
Текст подпрограммы и версий ( Паскаль )
de41r_p.zip , de41e_p.zip 		Тексты тестовых примеров ( Паскаль )
tde41r_p.zip , tde41e_p.zip

Подпрограмма:  DE41R

Назначение

Вычисление решения задачи Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка в конце интервала интегрирования методом Штермера с постоянным шагом.

Математическое описание

Решается задача Коши для системы  M обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка 

         Y '' = F (X, Y)   ,
         Y = ( y1, ..., yM )   ,
         F = ( f1 ( X, y1, ..., yM ), ..., fM ( X, y1, ..., yM ) )

с начальными условиями, заданными в точке XN: 

      Y (XN)  = YN   ,       YN = ( y10, ..., yM0 )   ,
      Y ' (XN) = DYN   ,    DYN = ( y10', ..., yM0' )   ,   -

многошаговым предсказывающе - исправляющим методом пятого порядка точности. Суть метода состоит в том, что сначала по явной формуле Адамса - Штермера строятся предсказанные значения приближенного решения, которые затем исправляются по неявной формуле Адамса - Штермера.

Решение вычисляется в одной точке  XK, которая является концом интервала интегрирования. Интегрирование ведется с постоянным шагом, значение которого задается пользователем при обращении к подпрограмме.

Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений, т.2. Физматгиз, М., 1960.

Жоголев E.A. Программа интегрирования систем обыкновенных дифференциальных уравнений 2 - го порядка методом Штермера. Сб. "Вычислительные методы и программирование", вып. 1 , Изд - во МГУ, 1962.

Использование 

    SUBROUTINE  DE41R (F, M, XN, YN, DYN, XK, H, Y, DY, DELTY,
                                            DF, RFN, RF, YP, DYP, IERR) 
   Параметры
F - имя подпрограммы вычисления значений правой части системы дифференциальных уpавнений. Первый оператор подпрограммы должен иметь вид:

SUBROUTINE  F (X, Y, DY, M).

Здесь:  X, Y - значения независимой и зависимой переменных, соответственно; вычисленное значение правой части должно быть помещено в  DY; в случае системы уравнений, т.е. когда  M ≠ 1, параметры  Y и  DY представляют одномерные массивы длиной  M (тип параметров  X, Y и  DY: вещественный);

M - количество уравнений в системе (тип: целый);
         XN, YN -
         DYN   		начальные значения аргумента, решения и его производной, соответственно; в случае системы уравнений (т.е.  M ≠ 1)  YN и  DYN представляют одномерные массивы длиной  M (тип: вещественный);
XK - значение аргумента, при котоpом требуется вычислить решение задачи Коши (конец интервала интегрирования).  XK может быть больше, меньше или pавно  XN (тип: вещественный);
H - вещественная переменная, содержащая значение шага интегрирования; может задаваться с учетом направления интегрирования, т.е. положительным, если  XK > XN, отрицательным, если  XK < XN, или без такого учета в виде абсолютной величины;
Y - искомое решение задачи Коши, вычисленное подпрограммой для значения аргумента  XK. Для системы уравнений (когда  M ≠ 1)  Y задается массивом длиной  M. B случае совпадения значений параметров  XN и  XK значение   Y полагается равным начальному значению  YN (тип: вещественный);
            DY -
       DELTY  
       RFN, RF  
         YP, DYP   		вещественные одномерные рабочие массивы длиной  M;
DF - двумерный вещественный рабочий массив размеpа  M * 5;
IERR - целая переменная, значение которой в pезультате работы подпрограммы полагается равным 65, если при заданном значении шага интегрирования не может быть достигнута сходимость численного решения к точному значению решения; в этом случае интегрирование системы можно повторить обращением к подпрограмме с новым (меньшим) значением параметра  H. 
   Версии
DE41D - вычисление решения задачи Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка в конце интервала интегрирования методом Штермера с постоянным шагом, при этом все вычисления над действительными числами ведутся с удвоенным числом значащих цифр. B этом случае параметры  XN, YN, DYN, XK, H, Y, DY, DELTY, DF, RFN, RF, YP, DYP и параметры  X, Y и  DY в подпрограмме  F должны иметь тип DOUBLE PRECISION. 
   Вызываемые подпрограммы
DE40R - выполнение одного шага численного интегрирования системы обыкновенных дифференциальных уpавнений второго порядка методом Штермера без контроля точности; вызывается при работе подпрограммы DE41R.
DE40D - выполнение одного шага численного интегрирования системы обыкновенных дифференциальных уpавнений второго порядка методом Штермера без контроля точности, при этом все вычисления над действительными числами ведутся с удвоенным числом значащих цифр; вызывается при работе подпрограммы DE41D.
UTDE12 - подпрограмма выдачи диагностических сообщений при работе подпрограммы DE41R.
UTDE13 - подпрограмма выдачи диагностических сообщений при работе подпрограммы DE41D. 
   Замечания по использованию
 

При работе подпрограммы и ее версии значения параметров   M, XN, YN, DYN, XK и  H сохраняются.

Если после работы подпрограммы нет необходимости иметь начальные значения решения  YN и его производной  DYN, то параметры  YN и  Y, а в случае производной  -  параметры   DYN и  DY, при обращении к ней можно совместить.

Пример использования 

     y1'' = - 6y1 - 7y2   ,
     y2'' = - 3y1 - 2y2 + 2x   ,
     y1 (0) = 0   ,   y2 (0) = 0   ,   y1' (0) = - 1 / 9   ,   y2' (0) = - 3   .

Приводятся подпрограмма вычисления значений правой части системы и фрагмент вызывающей программы, выполняющей дважды интегрирование системы, сначала на отрезке [0, 5] слева направо, затем на отрезке [-5, 0] справа налево, а также результаты счета. 

      SUBROUTINE  F (X, Y, DY, M)
      DIMENSION  Y(2), DY(2)
      DY(1) = - 6. * Y(1) - 7. * Y(2)
      DY(2) = - 3. * Y(1) - 2. * Y(2) + 2. * X
      RETURN
      END

      DIMENSION  YN(2), DYN(2), Y(2), DY(2), DELTY(2), DF(10), RFN(2), 
     *                       RF(2), YP(2), DYP(2)
      EXTERNAL  F
      M = 2
      XN = 0.
      XN(1) = 0.
      YN(2) = 0.
      DYN(1) = - 1. / 9.
      DYN(2) = - 3.
      XK = 5.
      H = 0.01
C     BЫЧИCЛEHИE TOЧHOГO ЗHAЧEHИЯ PEШEHИЯ 
      Y3 = (EXP(5.) - EXP(- 5)) / 3.
      Y1 = Y3 - 7. * SIN(15.) / 9. + 70. / 9.
      Y2 = - Y3 - SIN(15.) / 3. - 20. / 3.
      DO 20 K = 1, 2
      CALL  DE41R (F, M, XN, YN, DYN, XK, H, Y, DY, DELTY, DF,
     *                         RFN, RF, YP, DYP, IERR)
C     ПEЧATЬ ПPИБЛИЖEHHOГO И TOЧHOГO ЗHAЧEHИЙ PEШEHИЯ 
      PRINT 1, XK, Y, H, Y1, Y2
      XK = - 5.
      Y1 = - Y1
      Y2 = - Y2
      H = 0.01
 20 CONTINUE
      STOP

Результаты:

после первого обращения к подпрограмме -

                   XK                           Y(1)                             Y(2)
       5.000000000 + 00      5.674080692 + 01     - 5.635223804 + 01

                   H                             Y1                                 Y2
       1.000000000 - 02      5.674080540 + 01     - 5.635223633 + 01

после второго обращения к подпрограмме -

                   XK                           Y(1)                             Y(2)
     - 5.000000000 + 00    - 5.674080382 + 01       5.635223450 + 01

                   H                             Y1                                 Y2
     - 1.000000000 - 02    - 5.674080540 + 01       5.635223633 + 01