Текст подпрограммы и версий de02r_c.zip , de02d_c.zip |
Тексты тестовых примеров tde02r_c.zip , tde02d_c.zip |
Выполнение одного шага численного интегрирования квазиленийной устойчивой системы обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка с большой константой Липшица методом Лоусона.
Выполняется один шаг численного интегрирования квазилинейной системы M обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка:
(1) Y ' (X) = A * Y(X) + U(X, Y) , Y = ( y1,..., yM ) , A = ( ai j ) , i, j = 1, ..., M , U(X, Y) = ( U1(X, Y), ... , UM(X, Y) ) ,
где A - постоянная числовая матрица.
Предполагается, что среди характеристических корней матрицы A имеются большие по модулю корни, а константа Липшица для функции U (X,Y), т.е. константа L из условия Липшица
| Ui ( x, y1(1),..., yM(1) ) - Ui ( x, y1(2), ... , yM(2) ) | ≤ M ≤ L ∑ | yj(1) - yj(2) | , j=1
независящая от i, x, y(1), y(2) , невелика. Также предполагается, что нелинейный член U (x, y) является достаточно малым. По заданному значению решения YX в узле xn вычисляется значение этого решения в узле xn + H . Вычисление производится по методу Лоусона.
Метод Лоусона заключается в следующем. Исходная система уравнений с помощью замены искомой функции y (x) на [ xn , xn + H ] по формуле
y(x) = exp [ ( x - xn ) A ] Z(x) ,
преобразуется в систему уравнений относительно новой неизвестной функции Z (X):
(2) Z ' (x) = U1(x, z) = exp [ - ( x - xn ) A ] U( x, exp [( x - xn ) A ] Z(x) )
Данное преобразование выполняется самой подпрограммой. Характеристические корни матрицы Якоби
∂U1 / ∂Z = exp [ - ( x - xn ) A ] (∂U / ∂y) exp [ ( x - xn ) A ]
являются характеристическими корнями матрицы ∂U / ∂y и в силу малости константы Липшица функции U (x, y) невелики. Поэтому система (2) не жесткая и может быть решена традиционными методами численного интегрирования. Данная подпрограмма решает ее методом Рунге - Кутта 4 - ого порядка, при этом одновременно с решением (2) производится обратное преобразование от функции Z (x) к функции y (x) .
Значение H может быть меньше или равно значению шага интегрирования, задаваемому пользователем при обращении к подпрограмме.
Все компоненты решения вычисляются с контролем точности по мере погрешности, который заключается в следующем. Если некоторая компонента приближенного решения по абсолютной величине меньше некоторой наперед заданной константы P, то контроль точности для этой компоненты ведется по относительной погрешности, иначе - по абсолютной. Абсолютная погрешность приближенного решения оценивается по правилу Рунге.
J.Douglas Lowson, Generalized Runge - Kutta processes for stable systems with large lipshitz constants, SIAM Journal on Numerical Analisys - 1967 - Vol 4, No 3.
int de02r_c (real *fu, integer *m, integer *jstart, real *a, real *hmin, real *eps, real *p, real *yx, real *x, real *h, logical *bul, real *xp, real *yp, real *e1, real *e2, real *e3, real *e4, real *r, real *r0, real *r1, real *r2, real *r3, real *yd, integer *ierr)
Параметры
fu - |
подпрограмма вычисления функции u (x, y) в правой
части системы. Первый оператор подпрограммы
должен иметь вид: int fu (float *x, float *y, float *u, int *m). Здесь y и u - одномерные массивы длины m. В массив u помещается значение функции u (x, y), вычисленное при значении аргументов x и y (тип параметров x, y, u: вещественный); |
m - | количество уравнений в системе (тип: целый); |
jstart - | целый указатель режима использования подпрограммы, имеющий следующие значения: |
0 - | первое обращение к подпрограмме должно быть выполнено с нулевым значением jstart; |
+1 - | выполнить один шаг интегрирования системы дифференциальных уравнений для значений независимой и зависимой переменных и шага интегрирования, заданных параметрами x, yx и h соответственно; при этом само значение величины шага интегрирования h, на который предполагается продолжить решение системы, должно совпадать с тем значением шага, который был фактически выполнен подпрограммой при предыдущем обращении к ней. Если же требуется выполнить шаг интегрирования, отличный от реально сделанного подпрограммой во время предыдущего обращения к ней, то для этого необходимо обратиться к подпрограмме со значением jstart = 0; |
+2 - | то же, что и для jstart = + 1, но только с той разницей, что величина шага интегрирования, на который предполагается продолжить решение, в два раза больше того значения шага, который был фактически выполнен при предыдущем обращении к подпрограмме; |
-1 - | повторить последний шаг интегрирования с новыми значениями параметров h и/или hmin; |
при выходе из подпрограммы параметр jstart полагается равным 2, если выполнив заданный в h шаг, подпрограмма рекомендовала использовать для интегрирования вдвое большее его значение, и 1 в противном случае, т.е. в том случае, когда рекомендованное значение шага равно только что выполненному шагу; рекомендованное значение шага на выходе из подпрограммы запоминается в переменной h; | |
a - | вещественный двумерный массив размера m*m, содержащий элементы матрицы A; |
hmin - | минимальное значение абсолютной величины шага, которое разрешается использовать при интегрировании данной системы уравнений (тип: вещественный); |
eps - | допустимая мера погрешности, с которой требуется вычислить все компоненты решения (тип: вещественный); |
p - | граница перехода, используемая при оценке меры погрешности решения (тип: вещественный); |
yx, x - | заданные вещественные значения решения и соответствующее ему значение аргумента; в результате работы подпрограммы в x получается новое значение аргумента, в yx - соответствующее значение решения; в случае системы уравнений т.е. когда m ≠ 1, yx задается одномерным массивом длиной m; |
h - | вещественная переменная, содержащая значение шага интегрирования; если для этого значения шага точность приближенного решения достигается, то именно он и реализуется подпрограммой, иначе этот шаг уменьшается подпрограммой до тех пор, пока не будет достигнута заданная точность eps; на выходе из подпрограммы h содержит рекомендуемое подпрограммой значение следующего шага интегрирования, определяемое ею с целью достижения более экономного способа интегрирования; |
bul - | логическая переменная, значение которой при обращении к подпрограмме полагается равным TRUE_, если заданный в h шаг выводит в конец интервала интегрирования, и FALSE_ в противном случае; в результате работы подпрограммы bul равно FALSE_, если вместо исходного шага интегрирования был реализован меньший шаг; в противном случае, т.е. когда был выполнен именно заданный при обращении в h шаг, значение параметра bul не меняется; |
xp, yp - | вещественная рабочая переменная и одномерный рабочий массив длины m соответственно; значения параметров xp, yp на выходе из подпрограммы равны тем значениям, которые имели параметры x, yx при входе в нее (т.е. предыдущий узел и решение в нем); |
e1, e2 - e3, e4 | вещественные двумерные рабочие массивы размера m*m; |
r, r0, r1 - r2, r3, yd | вещественные одномерные рабочие массивы длины m; |
ierr - | целая переменная, значение которой в результате работы подпрограммы полагается равным 65, если какая - нибудь компонента решения не может быть вычислена с требуемой точностью eps; в этом случае последний шаг интегрирования системы можно повторить обращением к подпрограмме с новыми значениями параметров h, hmin и значением jstart = - 1. |
Версии
de02d_c - | выполнение одного шага численного интегрирования квазилинейной системы обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка с большой константой Липшица методом Лоусона с удвоенным числом значащих цифр. При этом параметры hmin, eps, p, a, yx, x, h, xp, yp, e1, e2, e3, e4, r, r0, r1, r2, r3, yd и параметры x, y, dy в подпрограмме fu должны иметь тип double. |
Вызываемые подпрограммы
ame2r_c - | подпрограмма вычисления матричной экспоненты; вызывается при работе подпрограммы de02r_c; |
ame2d_c - | подпрограмма вычисления матричной экспоненты; вызывается при работе подпрограммы de02d_c; |
utde20_c - | подпрограмма выдачи диагностических сообщений при работе подпрограммы de02r_c; |
utde21_c - | подпрограмма выдачи диагностических сообщений при работе подпрограммы de02d_c; |
Кроме того, при работе подпрограмм de02r_c и de02d_c вызываются рабочие подпрограммы de02rs_c, de04rq_c и de02ds_c, de04dq_c соответственно. |
Замечания по использованию
Данная подпрограмма предназначена для интегрирования квазилинейных систем, имеющих малый нелинейный член U (x, y). В общем случае заданная точность не гарантируется. При работе подпрограммы значения параметров m, hmin, eps, p, a сохраняются. Между последовательными обращениями к подпрограмме со значениями параметра jstart = 1, 2 пользователь не должен изменять содержимое массивов a, e1, e2. При работе подпрограммы fu значения параметров x, y и m не должны изменяться. При обращении к подпрограмме со значением jstart = - 1 в качестве исходных значений аргумента и решения принимаются значения параметров xp и yp соответственно, т.е. те значения, которые эти параметры получили после самого последнего обращения к подпрограмме с неотрицательным значением jstart. После работы подпрограммы в массиве r1 содержится значение оценки абсолютной погрешности на шаге, вычисленной по правилу Рунге. Подпрограммы de02r_c и de02d_c предназначены также для интегрирования жестких дифференциальных уравнений (1). |
y1' = - 500 y1 + y2 + sin ( y1 + y2 ) ( 1 + e - x/2 ) , y1(0) = 50 y2' = - 1000 y1 + y2 + sin ( y1 - y2 ) ( 1 + e - x/2 ) , y2(0) = 50 x ≥ 0
Приводятся подпрограмма вычисления функций
U1 (x, y) = sin ( y1 + y2 ) ( 1 + e - x/2 ) , U2 (x, y) = sin ( y1 - y2 ) ( 1 + e - x/2 )
из правой части системы, фрагмент вызывающей программы, выполняющей несколько шагов из одной точки и результаты счета.
int main(void) { /* Local variables */ extern int de02r_c(U_fp, int *, int *, float *, float *, float *, float *, float *, float *, float *, logical *, float *, float *, float *, float *, float *, float *, float *, float *, float *, float *, float *, float *, int *); static float hmin; static int ierr; static float a[4] /* was [2][2] */, h__; static int m; static float p, r__[2], x, e1[4] /* was [2][2] */, e2[4] /* was [2][2] */, e3[4] /* was [2][2] */, e4[4] /* was [2][2] */, r0[2], r1[2], r2[2], r3[2]; static int ih; extern int fu_c(); static float yd[2], xp, yp[2], yx[2]; static int jstart; static logical bul; static float eps; #define a_ref(a_1,a_2) a[(a_2)*2 + a_1 - 3] m = 2; x = 0.f; yx[0] = 50.f; yx[1] = 50.f; hmin = 1e-10f; eps = 1e-8f; p = 100.f; jstart = 0; h__ = .01f; a_ref(1, 1) = -500.f; a_ref(1, 2) = 1.f; a_ref(2, 1) = -1e3f; a_ref(2, 2) = 1.f; ih = 0; l100: ++ih; de02r_c((U_fp)fu_c, &m, &jstart, a, &hmin, &eps, &p, yx, &x, &h__, &bul, &xp, yp, e1, e2, e3, e4, r__, r0, r1, r2, r3, yd, &ierr); printf("\n %16.7e %16.7e %16.7e \n", x, yx[0], yx[1]); printf("\n %16.7e %16.7e %16.7e \n\n", h__, r1[0], r1[1]); switch (ih) { case 1: goto l101; case 2: goto l102; case 3: goto l103; case 4: goto l104; case 5: goto l105; case 6: goto l106; } l101: h__ = 1.f; goto l100; l102: eps = .1f; goto l100; l103: jstart = -1; eps = 1e-10f; goto l100; l104: eps = 1e-4f; h__ = -1e-5f; jstart = -1; goto l100; l105: h__ = -1e-4f; eps = 1e-8f; goto l100; l106: return 0; } /* main */ int fu_c(float *x, float *y, float *u, int *m) { /* Builtin functions */ double exp(double), sin(double); /* Local variables */ static float t; /* Parameter adjustments */ --u; --y; /* Function Body */ t = (float)exp((float)(-(*x) / 2.f)) + 1.f; u[1] = t * (float)sin((float)(y[1] + y[2])); u[2] = t * (float)sin((float)(y[1] - y[2])); return 0; } /* fu_c */ Результаты: После первого обращения к подпрограмме x yx(1) yx(2) 1.953125000001 - 05 4.951502369251 + 01 4.902915763238 + 01 h__ r1(1) r1(2) 1.953125000001 - 05 3.523503740624 - 09 -1.435788969199 - 10 После второго обращения к подпрограмме x yx(1) yx(2) 5.004882812498 - 05 4.876668035128 + 01 4.753104564862 + 01 h__ r1(1) r1(2) 3.051757812500 - 05 5.044663945828 - 10 1.331015179553 - 09 После третьего обращения к подпрограмме x yx(1) yx(2) 8.056640624998 - 05 4.802966483223 + 01 4.605556652445 + 01 h__ r1(1) r1(2) 6.103515625000 - 05 -2.398155629634 - 08 -9.972912569839 - 10 После четвертого обращения к подпрограмме x yx(1) yx(2) 5.767822265623 - 05 4.858137986262 + 01 4.716006872657 + 01 h__ r1(1) r1(2) 7.629394531250 - 06 -4.268561800317 - 11 -3.880510727560 - 12 После пятого обращения к подпрограмме x yx(1) yx(2) 4.004882812492 - 05 4.901063239173 + 01 4.801943553990 + 01 h__ r1(1) r1(2) -2.000000000005 - 05 8.537123600634 - 11 7.761021455121 - 12 После шестого обращения к подпрограмме x yx(1) yx(2) -5.995117187529 - 05 4.950228966336 + 01 4.900345166435 + 01 h__ r1(1) r1(2) -1.000000000002 - 04 -7.190586378176 - 09 -8.769954244295 - 10