|
Текст подпрограммы и версий de26r_c.zip , de26d_c.zip |
Тексты тестовых примеров tde26r_c.zip , tde26d_c.zip |
Выполнение одного шага численного интегрирования системы обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка методом Адамса без контроля точности.
Выполняется один шаг численного интегрирования системы М обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка
Y ' = F (X, Y) ,
Y = ( y1, ..., yM ) ,
F = ( f1 (X, y1,..., yM),..., fM (X, y1,..., yM) )
многошаговым предсказывающе - исправляющим методом пятого порядка точности. Суть метода состоит в том, что сначала по явной формуле Адамса строятся предсказанные значения приближенного решения, которые затем исправляются по неявной формуле Адамса.
По заданному значению YX решения в узле Xn вычисляется значение этого решения в узле Xn + H. Значение H шага интегрирования задается пользователем при обращении к подпрограмме.
Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений, т.2. Физматгиз, М., 1960.
Беленький В.З. Стандартная программа для интегрирования системы дифференциальных уравнений методом Адамса. Сб. "Вычислительные методы и программирование", вып 3. Изд-во МГУ, 1965
int de26r_c (S_fp f, integer *m, integer *jstart, real *yx,
real *x, real *h, real *delty, real *df, real *rf, real *yp,
real *ry, real *rfn, integer *ierr)
Параметры
| f - |
имя подпрограммы вычисления значений правой
части дифференциального уравнения. Первый
оператоp подпрограммы должен иметь вид: int f (float *x, float *y, float *dy, int *m). Здесь: x, y - значения независимой и зависимой переменных, соответственно. Вычисленное значение правой части должно быть помещено в dy. B случае системы уравнений, т.е. когда m ≠ 1, параметры y и dy представляют массивы длины m (тип параметров x, y и dy: вещественный); |
| m - | количество уравнений в системе (тип: целый); |
| jstart - | целый указатель режима использования подпрограммы, имеющий следующие значения: |
| 0 - | первое обращение к подпрограмме должно быть выполнено с нулевым значением jstart; |
| + 1 - | выполнить один шаг интегрирования системы дифференциальных уравнений для значений независимой и зависимой переменных и шага интегрирования, заданных параметрами x, yx и h, соответственно; |
| - 1 - | повторить последний шаг интегрирования с новым значением параметра h; |
| на выходе из подпрограммы jstart полагается равным + 1; | |
| x, yx - | начальные вещественные значения аргумента и решения уравнения в нем; в результате работы подпрограммы в x получается новое значение аргумента, а в yx - соответствующее значение решения; в случае системы уpавнений, т.е. когда m ≠ 1, yx задается одномерным массивом длины m; |
| h - | вещественное значение шага интегрирования; |
|
delty - rf, yp rfn | одномерные вещественные рабочие массивы длины m; |
| df, ry - | двумерные вещественные рабочие массивы размеpа m*5; |
| ierr - | целая переменная, значение которой в pезультате работы подпрограммы полагается равным 65, если при заданном значении шага интегрирования не может быть достигнута сходимость численного решения к точному значению решения; в этом случае интегрирование системы можно повторить обращением к подпрограмме с новым значением параметра h и со значением jstart = 1. |
Версии
| de26d_c - | выполнение одного шага численного интегрирования системы обыкновенных дифференциальных уpавнений первого порядка методом Адамса без контроля точности, при этом все вычисления над действительными числами ведутся с удвоенным числом значащих цифр. В этом случае параметры yx, x, h, delty, df, rf,yp, ry, rfn и параметры x, y и dy в подпрограмме f должны иметь тип double. |
Вызываемые подпрограммы
| de33r_c - | построение начальных значений при интегрировании системы обыкновенных дифференциальных уpавнений первого порядка методом Адамса без контроля точности; вызывается при работе подпрограммы de26r_c. |
| de33d_c - | построение начальных значений при интегрировании системы обыкновенных дифференциальных уpавнений первого порядка методом Адамса без контроля точности, при этом все вычисления над действительными числами ведутся с удвоенным числом значащих цифр; вызывается при работе подпрограммы de26d_c. |
| utde12_c - | подпрограмма выдачи диагностических сообщений при работе подпрограммы de26r_c. |
| utde13_c - | подпрограмма выдачи диагностических сообщений при работе подпрограммы de26d_c. |
| Kpоме того, de26r_c и de26d_c используют рабочие подпрограммы de28rp_c, de28rs_c и de28dp_c, de28ds_c, соответственно. |
Замечания по использованию
|
При работе подпрограммы и ее версии значения параметров m и h сохраняются. При многократном использовании подпрограммы и ее версии для вычисления решения на отрезке значения параметров m, yx, x, df, yp не должны изменяться в вызывающей программе между последовательными обращениями к ним. |
y1' = y2
y2' = -y1
y1 (3/4 π) = √2 /2 , y2 (3/4 π) = -√2 /2
Приводятся подпрограмма вычисления значений правой части системы и фрагмент вызывающей программы, выполняющей несколько шагов из одной и той же точки, а также результаты счета.
int main(void)
{
/* Builtin functions */
double sqrt(double), sin(double), cos(double);
/* Local variables */
extern int de26r_c(U_fp, int *, int *, float *, float *, float *,
float *, float *, float *, float *, float *, float *,
int *);
static int ierr;
extern int f_c();
static float h__;
static int m;
static float x, y[2], delty[2], y1, y2, df[10];
static int ih;
static float rf[2], xn, yp[2], ry[10];
static int jstart;
static float rfn[2];
m = 2;
xn = 2.3561944901925003f;
h__ = .01f;
h__ = -h__;
y[0] = (float)sqrt(2.f) / 2.f;
y[1] = -y[0];
jstart = 0;
ih = 0;
x = xn;
l6:
de26r_c((U_fp)f_c, &m, &jstart, y, &x, &h__, delty, df, rf, yp, ry, rfn,
&ierr);
++ih;
y1 = (float)sin(x);
y2 = (float)cos(x);
printf("\n %15.7e \n", x);
printf("\n %15.7e %15.7e \n", y[0], y[1]);
printf("\n %15.7e \n", h__);
printf("\n %15.7e %15.7e \n", y1, y2);
if (ih == 1) {
goto l6;
}
if (ih == 5) {
goto l20;
}
jstart = -1;
if (ih == 4) {
goto l8;
}
if (ih == 3) {
goto l7;
}
h__ = .005f;
h__ = -h__;
goto l6;
l7:
h__ = .02f;
goto l6;
l8:
h__ = .01f;
goto l6;
l20:
return 0;
} /* main */
int f_c(float *x, float *y, float *dy, int *m)
{
/* Parameter adjustments */
--dy;
--y;
/* Function Body */
dy[1] = y[2];
dy[2] = -y[1];
return 0;
} /* f_c */
Результаты:
после первого обращения к подпрограмме -
x y(1) y(2)
2.346194490+00 7.141423761-01 -7.000004762-01
h__ y1 y2
1.000000000-02 7.141423761-01 -7.000004762-01
после второго обращения к подпрограмме -
x y(1) y(2)
2.336194490+00 7.211065574-01 -6.928241717-01
h__ y1 y2
1.000000000-02 7.211065574-01 -6.928241717-01
после третьего обращения к подпрограмме -
x y(1) y(2)
2.341194490+00 7.176334371-01 -6.964210292-01
h__ y1 y2
5.000000000-03 7.176334371-01 -6.964210292-01
после четвертого обращения к подпрограмме -
x y(1) y(2)
2.366194490+00 7.000004763-01 -7.141423759-01
h__ y1 y2
2.000000000-02 7.000004762-01 -7.141423761-01
после пятого обращения к подпрограмме -
x y(1) y(2)
2.356194490+00 7.071067812-01 -7.071067812-01
h__ y1 y2
1.000000000-02 7.071067812-01 -7.071067812-01