|
Текст подпрограммы и версий de27r_c.zip , de27d_c.zip |
Тексты тестовых примеров tde27r_c.zip , tde27d_c.zip |
Вычисление решения задачи Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка в конце интервала интегрирования методом Адамса с постоянным шагом.
Решается задача Коши для системы M обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка
Y ' = F (X, Y) ,
Y = ( y1, ..., yM ) ,
F = ( f1 (X, y1,..., yM),..., fM (X, y1,..., yM) )
с начальными условиями, заданными в точке XN:
Y(XN) = YN , YN = ( y10,..., yM0 ) ,
многошаговым предсказывающе - исправляющим методом пятого порядка точности. Суть метода состоит в том, что сначала по по явной формуле Адамса строятся предсказанные значения приближенного решения, которые затем исправляются по неявной формуле Адамса.
Решение вычисляется в одной точке XK, которая является концом интервала интегрирования. Интегрирование ведется с постоянным шагом, значение которого задается пользователем при обращении к подпрограмме.
Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений, т.2. Физматгиз, М., 1960.
Беленький В.З. Стандартная программа для интегрирования системы дифференциальных уравнений методом Адамса. Сб. "Вычислительные методы и программирование", вып. 3. Изд-во МГУ, 1965
int de27r_c (real *f, integer *m, real *xn, real *yn, real *xk,
real *h, real *y, real *delty, real *df, real *rf, real *yp,
real *ry, real *rfn, integer *ierr)
Параметры
| f - |
имя подпрограммы вычисления значений правой
части дифференциального уравнения. Первый
оператоp подпрограммы должен иметь вид: int f (float *x, float *y, float *dy, int *m). Здесь: x, y - значения независимой и зависимой переменных, соответственно. Вычисленное значение правой части должно быть помещено в dy. B случае системы уравнений, т.е. когда m ≠ 1, параметры y и dy представляют массивы длины m (тип параметров x, y и dy: вещественный); имя подпрограммы вычисления значений правой части системы. |
| m - | количество уравнений в системе (тип: целый); |
| xn, yn - | начальные значения аргумента и решения; в случае системы уравнений (т.е. m ≠ 1) yn представляет массив длины m (тип: вещественный); |
| xk - | значение аргумента, при котоpом требуется вычислить решение задачи Коши (конец интервала интегрирования). xk может быть больше, меньше или pавно xn (тип: вещественный); |
| h - | вещественная переменная, содержащая значение шага интегрирования; может задаваться с учетом направления интегрирования, т.е. положительным, если xk > xn, отрицательным, если xk < xn, или без такого учета в виде абсолютной величины; |
| y - | искомое решение задачи Коши, вычисленное подпрограммой для значения аргумента xk. Для системы уравнений (когда m ≠ 1) У задается массивом длиной m. B случае совпадения значений параметров xn и xk значение y полагается равным начальному значению yn (тип: вещественный); |
|
delty - rf, yp rfn | одномерные вещественные рабочие массивы длины m; |
| df, ry - | двумерные вещественные рабочие массивы размеpа m*5; |
| ierr - | целая переменная, значение которой в pезультате работы подпрограммы полагается равным 65, если при заданном значении h шага интегрирования не может быть достигнута сходимость численного решения к точному значению решения; в этом случае интегрирование системы можно повторить обращением к подпрограмме с новым (меньшим) значением h. |
Версии
| de27d_c - | вычисление решения задачи Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка в конце интервала интегрирования методом Адамса с постоянным шагом, при этом все вычисления над действительными числами ведутся с удвоенным числом значащих цифр. B этом случае параметры xn, yn, xk, h, y, delty, df, rf, yp, ry, rfn и параметры x, y и dy в подпрограмме f должны иметь тип double. |
Вызываемые подпрограммы
| de26r_c - | выполнение одного шага численного интегрирования системы обыкновенных дифференциальных уpавнений первого порядка методом Адамса без контроля точности; вызывается при работе подпрограммы de27r_c. |
| de26d_c - | выполнение одного шага численного интегрирования системы обыкновенных дифференциальных уpавнений первого порядка методом Адамса без контроля точности, при этом все вычисления над действительными числами ведутся с удвоенным числом значащих цифр; вызывается при работе подпрограммы de27d_c. |
| utde12_c - | подпрограмма выдачи диагностических сообщений при работе подпрограммы de27r_c. |
| utde13_c - | подпрограмма выдачи диагностических сообщений при работе подпрограммы de27d_c. |
Замечания по использованию
|
При работе подпрограммы и ее версии значения параметров m, xn, yn, xk, h сохраняются. Если после работы подпрограммы нет необходимости иметь начальное значение решения yn, то параметры yn и y при обращении к ней можно совместить. |
y1' = y2
y2' = -y1
y1 (3/4 π) = √2 /2 , y2 (3/4 π) = -√2 /2
Приводятся подпрограмма вычисления значений правой части системы и фрагмент вызывающей программы, выполняющей дважды интегрирование системы, сначала на отрезке [3/4 π, π], затем на том же отрезке справа налево, а также результаты счета.
int main(void)
{
/* Builtin functions */
double sqrt(double);
/* Local variables */
extern int de27r_c(U_fp, int *, float *, float *, float *, float *,
float *, float *, float *, float *, float *, float *,
float *, int *);
static int ierr;
extern int f_c();
static float h__;
static int i__, m;
static float y[2], delty[2], df[10], rf[2], xk, xn, yn[2], yp[2], ry[10],
rfn[2];
m = 2;
xn = 2.3561944875000003f;
yn[0] = (float)sqrt(2.f) / 2.f;
yn[1] = -yn[0];
xk = 3.14159265f;
for (i__ = 1; i__ <= 2; ++i__) {
h__ = .01f;
de27r_c((U_fp)f_c, &m, &xn, yn, &xk, &h__, y, delty, df, rf, yp, ry,
rfn, &ierr);
printf("\n %15.7e \n", xk);
printf("\n %15.7e %15.7e \n", y[0], y[1]);
xn = xk;
xk = xn * .75f;
yn[0] = 0.f;
yn[1] = -1.f;
/* l30: */
}
return 0;
} /* main */
int f_c(float *x, float *y, float *dy, int *m)
{
/* Parameter adjustments */
--dy;
--y;
/* Function Body */
dy[1] = y[2];
dy[2] = -y[1];
return 0;
} /* f_c */
Результаты:
после первого обращения к подпрограмме -
xk y(1) y(2)
3.141592654 + 00 -2.773237299-10 -1.000000000 + 00
после второго обращения к подпрограмме -
xk y(1) y(2)
2.356194490 + 00 7.071067811-01 -7.071067815-01