|
Текст подпрограммы и версий de02r_p.zip , de02e_p.zip |
Тексты тестовых примеров tde02r_p.zip , tde02e_p.zip |
Выполнение одного шага численного интегрирования квазиленийной устойчивой системы обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка с большой константой Липшица методом Лоусона.
Выполняется один шаг численного интегрирования квазилинейной системы M обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка:
(1) Y ' (X) = A * Y(X) + U(X, Y) ,
Y = ( y1,..., yM ) ,
A = ( ai j ) , i, j = 1, ..., M ,
U(X, Y) = ( U1(X, Y), ... , UM(X, Y) ) ,
где A - постоянная числовая матрица.
Предполагается, что среди характеристических корней матрицы A имеются большие по модулю корни, а константа Липшица для функции U (X,Y), т.е. константа L из условия Липшица
| Ui ( x, y1(1),..., yM(1) ) - Ui ( x, y1(2), ... , yM(2) ) | ≤
M
≤ L ∑ | yj(1) - yj(2) | ,
j=1
независящая от i, x, y(1), y(2) , невелика. Также предполагается, что нелинейный член U (x, y) является достаточно малым. По заданному значению решения YX в узле xn вычисляется значение этого решения в узле xn + H . Вычисление производится по методу Лоусона.
Метод Лоусона заключается в следующем. Исходная система уравнений с помощью замены искомой функции y (x) на [ xn , xn + H ] по формуле
y(x) = exp [ ( x - xn ) A ] Z(x) ,
преобразуется в систему уравнений относительно новой неизвестной функции Z (X):
(2) Z ' (x) = U1(x, z) = exp [ - ( x - xn ) A ] U( x, exp [( x - xn ) A ] Z(x) )
Данное преобразование выполняется самой подпрограммой. Характеристические корни матрицы Якоби
∂U1 / ∂Z = exp [ - ( x - xn ) A ] (∂U / ∂y) exp [ ( x - xn ) A ]
являются характеристическими корнями матрицы ∂U / ∂y и в силу малости константы Липшица функции U (x, y) невелики. Поэтому система (2) не жесткая и может быть решена традиционными методами численного интегрирования. Данная подпрограмма решает ее методом Рунге - Кутта 4 - ого порядка, при этом одновременно с решением (2) производится обратное преобразование от функции Z (x) к функции y (x) .
Значение H может быть меньше или равно значению шага интегрирования, задаваемому пользователем при обращении к подпрограмме.
Все компоненты решения вычисляются с контролем точности по мере погрешности, который заключается в следующем. Если некоторая компонента приближенного решения по абсолютной величине меньше некоторой наперед заданной константы P, то контроль точности для этой компоненты ведется по относительной погрешности, иначе - по абсолютной. Абсолютная погрешность приближенного решения оценивается по правилу Рунге.
J.Douglas Lowson, Generalized Runge - Kutta processes for stable systems with large lipshitz constants /_htm_p/ SIAM Journal on Numerical Analisys - 1967 - Vol 4, No 3.
procedure DE02R(FU :Proc_F_DE; M :Integer; var JSTART :Integer;
var A :Array of Real; HMIN :Real; EPS :Real; P :Real;
var YX :Array of Real; var X :Real; var H :Real;
var BUL :Boolean; var XP :Real; var YP :Array of Real;
var E1 :Array of Real; var E2 :Array of Real;
var E3 :Array of Real; var E4 :Array of Real;
var R :Array of Real; var R0 :Array of Real;
var R1 :Array of Real; var R2 :Array of Real;
var R3 :Array of Real; var YD :Array of Real;
var IERR :Integer);
Параметры
| FU - |
подпрограмма вычисления функции U (x, y) в правой
части системы. Первый оператор подпрограммы
должен иметь вид: procedure FU (X :Real; var Y :Array of Real; var U :Array of Real;M :Integer); Здесь Y и U - одномерные массивы длины M. В массив U помещается значение функции U (x, y), вычисленное при значении аргументов X и Y (тип параметров X, Y, U: вещественный); |
| M - | количество уравнений в системе (тип: целый); |
| JSTART - | целый указатель режима использования подпрограммы, имеющий следующие значения: |
| 0 - | первое обращение к подпрограмме должно быть выполнено с нулевым значением JSTART; |
| +1 - | выполнить один шаг интегрирования системы дифференциальных уравнений для значений независимой и зависимой переменных и шага интегрирования, заданных параметрами X, YX и H соответственно; при этом само значение величины шага интегрирования H, на который предполагается продолжить решение системы, должно совпадать с тем значением шага, который был фактически выполнен подпрограммой при предыдущем обращении к ней. Если же требуется выполнить шаг интегрирования, отличный от реально сделанного подпрограммой во время предыдущего обращения к ней, то для этого необходимо обратиться к подпрограмме со значением JSTART = 0; |
| +2 - | то же, что и для JSTART = + 1, но только с той разницей, что величина шага интегрирования, на который предполагается продолжить решение, в два раза больше того значения шага, который был фактически выполнен при предыдущем обращении к подпрограмме; |
| -1 - | повторить последний шаг интегрирования с новыми значениями параметров H и/или HMIN; |
| при выходе из подпрограммы параметр JSTART полагается равным 2, если выполнив заданный в H шаг, подпрограмма рекомендовала использовать для интегрирования вдвое большее его значение, и 1 в противном случае, т.е. в том случае, когда рекомендованное значение шага равно только что выполненному шагу; рекомендованное значение шага на выходе из подпрограммы запоминается в переменной H; | |
| A - | вещественный двумерный массив размера M*M, содержащий элементы матрицы A; |
| HMIN - | минимальное значение абсолютной величины шага, которое разрешается использовать при интегрировании данной системы уравнений (тип: вещественный); |
| EPS - | допустимая мера погрешности, с которой требуется вычислить все компоненты решения (тип: вещественный); |
| P - | граница перехода, используемая при оценке меры погрешности решения (тип: вещественный); |
| YX, X - | заданные вещественные значения решения и соответствующее ему значение аргумента; в результате работы подпрограммы в X получается новое значение аргумента, в YX - соответствующее значение решения; в случае системы уравнений т.е. когда M ≠ 1, YX задается одномерным массивом длиной M; |
| H - | вещественная переменная, содержащая значение шага интегрирования; если для этого значения шага точность приближенного решения достигается, то именно он и реализуется подпрограммой, иначе этот шаг уменьшается подпрограммой до тех пор, пока не будет достигнута заданная точность EPS; на выходе из подпрограммы H содержит рекомендуемое подпрограммой значение следующего шага интегрирования, определяемое ею с целью достижения более экономного способа интегрирования; |
| BUL - | логическая переменная, значение которой при обращении к подпрограмме полагается равным TRUE, если заданный в H шаг выводит в конец интервала интегрирования, и FALSE в противном случае; в результате работы подпрограммы BUL равно FALSE, если вместо исходного шага интегрирования был реализован меньший шаг; в противном случае, т.е. когда был выполнен именно заданный при обращении в H шаг, значение параметра BUL не меняется; |
| XP, YP - | вещественная рабочая переменная и одномерный рабочий массив длины M соответственно; значения параметров XP, YP на выходе из подпрограммы равны тем значениям, которые имели параметры X, YX при входе в нее (т.е. предыдущий узел и решение в нем); |
|
E1, E2 - E3, E4 | вещественные двумерные рабочие массивы размера M*M; |
|
R, R0, R1 - R2, R3, YD | вещественные одномерные рабочие массивы длины M; |
| IERR - | целая переменная, значение которой в результате работы подпрограммы полагается равным 65, если какая - нибудь компонента решения не может быть вычислена с требуемой точностью EPS; в этом случае последний шаг интегрирования системы можно повторить обращением к подпрограмме с новыми значениями параметров H, HMIN и значением JSTART = - 1 . |
Версии
| DE02E - | выполнение одного шага численного интегрирования квазилинейной системы обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка с большой константой Липшица методом Лоусона с удвоенным числом значащих цифр. При этом параметры HMIN, EPS, P, A, YX, X, H, XP, YP, E1, E2, E3, E4, R, R0, R1, R2, R3, YD и параметры X, Y, DY в подпрограмме FU должны иметь тип Extended. |
Вызываемые подпрограммы
| AME2R - | подпрограмма вычисления матричной экспоненты; вызывается при работе подпрограммы DE02R. |
| AME2E - | подпрограмма вычисления матричной экспоненты; вызывается при работе подпрограммы DE02E. |
| UTDE20 - | подпрограмма выдачи диагностических сообщений при работе подпрограммы DE02R; |
| UTDE21 - | подпрограмма выдачи диагностических сообщений при работе подпрограммы DE02E. |
| Кроме того, при работе подпрограмм DE02R и DE02E вызываются рабочие подпрограммы DE02RS, DE04RQ и DE02ES, DE04EQ соответственно. |
Замечания по использованию
|
Данная подпрограмма предназначена для интегрирования квазилинейных систем, имеющих малый нелинейный член U (x, y). В общем случае заданная точность не гарантируется. При работе подпрограммы значения параметров M, HMIN, EPS, P, A сохраняются. Между последовательными обращениями к подпрограмме со значениями параметра JSTART = 1, 2 пользователь не должен изменять содержимое массивов A, E1, E2. При работе подпрограммы FU значения параметров X, Y и M не должны изменяться. При обращении к подпрограмме со значением JSTART = - 1 в качестве исходных значений аргумента и решения принимаются значения параметров XP и YP соответственно, т.е. те значения, которые эти параметры получили после самого последнего обращения к подпрограмме с неотрицательным значением JSTART. После работы подпрограммы в массиве R1 содержится значение оценки абсолютной погрешности на шаге, вычисленной по правилу Рунге. Подпрограммы DE02R и DE02E предназначены также для интегрирования жестких дифференциальных уравнений (1). |
y1' = - 500 y1 + y2 + sin ( y1 + y2 ) ( 1 + e - x/2 ) ,
y1(0) = 50
y2' = - 1000 y1 + y2 + sin ( y1 - y2 ) ( 1 + e - x/2 ) ,
y2(0) = 50
x ≥ 0
Приводятся подпрограмма вычисления функций
U1 (x, y) = sin ( y1 + y2 ) ( 1 + e - x/2 ) ,
U2 (x, y) = sin ( y1 - y2 ) ( 1 + e - x/2 )
из правой части системы, фрагмент вызывающей программы, выполняющей несколько шагов из одной точки и результаты счета.
Unit TDE02R_p;
interface
uses
SysUtils, Math, { Delphi }
Lstruct, Lfunc, UtRes_p, FUDE02R_p, DE02R_p;
function TDE02R: String;
implementation
function TDE02R: String;
var
M,JSTART,IH,IERR :Integer;
X,HMIN,EPS,P,H,ХР :Real;
BUL :Boolean;
A :Array [0..3] of Real;
E1 :Array [0..3] of Real;
E2 :Array [0..3] of Real;
E3 :Array [0..3] of Real;
E4 :Array [0..3] of Real;
R :Array [0..1] of Real;
R0 :Array [0..1] of Real;
R1 :Array [0..1] of Real;
R2 :Array [0..1] of Real;
R3 :Array [0..1] of Real;
YD :Array [0..1] of Real;
YP :Array [0..1] of Real;
YX :Array [0..1] of Real;
label
_100,_101,_102,_103,_104,_105,_106;
begin
Result := ''; { результат функции }
M := 2;
X := 0.0;
YX[0] := 5.E1;
YX[1] := 5.E1;
HMIN := 1.E-10;
EPS := 1.E-8;
P := 1.E2;
JSTART := 0;
H := 0.01;
A[0] := -5.E2;
A[2] := 1.0;
A[1] := -1.E3;
A[3] := 1.0;
IH := 0;
_100:
IH := IH + 1;
DE02R (FUDE02R,M,JSTART,A,HMIN,EPS,P,YX,X,H,BUL,XP,YP,E1,E2,
E3,E4,R,R0,R1,R2,R3,YD,IERR);
Result := Result + Format(' %20.16f %20.16f %20.16f ',[
X,YX[0],YX[1]]) + #$0D#$0A;
Result := Result + Format('%s',['-']) + #$0D#$0A;
Result := Result + Format(' %20.16f %20.16f %20.16f ',[
H,R1[0],R1[1]]) + #$0D#$0A;
Result := Result + Format('%s',['**']) + #$0D#$0A;
case IH of
1: goto _101;
2: goto _102;
3: goto _103;
4: goto _104;
5: goto _105;
6: goto _106;
end;
_101:
H := 1.0;
goto _100;
_102:
EPS := 0.1;
goto _100;
_103:
JSTART := -1;
EPS := 1.E-10;
goto _100;
_104:
EPS := 1.E-4;
H := -1.E-5;
JSTART := -1;
goto _100;
_105:
H := -1.E-4;
EPS := 1.E-8;
goto _100;
_106:
UtRes('TDE02R',Result); { вывод результатов в файл TDE02R.res }
exit;
end;
end.
Unit FUDE02R_p;
interface
uses
SysUtils, Math, { Delphi }
Lstruct, Lfunc;
procedure FUDE02R(X :Real; var Y :Array of Real; var U :Array of Real;
M :Integer);
implementation
procedure FUDE02R(X :Real; var Y :Array of Real; var U :Array of Real;
M :Integer);
var
T :Real;
begin
T := 1.0 + Exp(-X/2.0);
U[0] := T*Sin(Y[0] + Y[1]);
U[1] := T*Sin(Y[0] - Y[1]);
end;
end.
Результаты:
После первого обращения к подпрограмме
X YX(1) YX(2)
1.953125000001 - 05 4.951502369251 + 01 4.902915763238 + 01
H R1(1) R1(2)
1.953125000001 - 05 3.523503740624 - 09 -1.435788969199 - 10
После второго обращения к подпрограмме
X YX(1) YX(2)
5.004882812498 - 05 4.876668035128 + 01 4.753104564862 + 01
H R1(1) R1(2)
3.051757812500 - 05 5.044663945828 - 10 1.331015179553 - 09
После третьего обращения к подпрограмме
X YX(1) YX(2)
8.056640624998 - 05 4.802966483223 + 01 4.605556652445 + 01
H R1(1) R1(2)
6.103515625000 - 05 -2.398155629634 - 08 -9.972912569839 - 10
После четвертого обращения к подпрограмме
X YX(1) YX(2)
5.767822265623 - 05 4.858137986262 + 01 4.716006872657 + 01
H R1(1) R1(2)
7.629394531250 - 06 -4.268561800317 - 11 -3.880510727560 - 12
После пятого обращения к подпрограмме
X YX(1) YX(2)
4.004882812492 - 05 4.901063239173 + 01 4.801943553990 + 01
H R1(1) R1(2)
-2.000000000005 - 05 8.537123600634 - 11 7.761021455121 - 12
После шестого обращения к подпрограмме
X YX(1) YX(2)
-5.995117187529 - 05 4.950228966336 + 01 4.900345166435 + 01
H R1(1) R1(2)
-1.000000000002 - 04 -7.190586378176 - 09 -8.769954244295 - 10