Текст подпрограммы и версий de02r_p.zip , de02e_p.zip |
Тексты тестовых примеров tde02r_p.zip , tde02e_p.zip |
Выполнение одного шага численного интегрирования квазиленийной устойчивой системы обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка с большой константой Липшица методом Лоусона.
Выполняется один шаг численного интегрирования квазилинейной системы M обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка:
(1) Y ' (X) = A * Y(X) + U(X, Y) , Y = ( y1,..., yM ) , A = ( ai j ) , i, j = 1, ..., M , U(X, Y) = ( U1(X, Y), ... , UM(X, Y) ) ,
где A - постоянная числовая матрица.
Предполагается, что среди характеристических корней матрицы A имеются большие по модулю корни, а константа Липшица для функции U (X,Y), т.е. константа L из условия Липшица
| Ui ( x, y1(1),..., yM(1) ) - Ui ( x, y1(2), ... , yM(2) ) | ≤ M ≤ L ∑ | yj(1) - yj(2) | , j=1
независящая от i, x, y(1), y(2) , невелика. Также предполагается, что нелинейный член U (x, y) является достаточно малым. По заданному значению решения YX в узле xn вычисляется значение этого решения в узле xn + H . Вычисление производится по методу Лоусона.
Метод Лоусона заключается в следующем. Исходная система уравнений с помощью замены искомой функции y (x) на [ xn , xn + H ] по формуле
y(x) = exp [ ( x - xn ) A ] Z(x) ,
преобразуется в систему уравнений относительно новой неизвестной функции Z (X):
(2) Z ' (x) = U1(x, z) = exp [ - ( x - xn ) A ] U( x, exp [( x - xn ) A ] Z(x) )
Данное преобразование выполняется самой подпрограммой. Характеристические корни матрицы Якоби
∂U1 / ∂Z = exp [ - ( x - xn ) A ] (∂U / ∂y) exp [ ( x - xn ) A ]
являются характеристическими корнями матрицы ∂U / ∂y и в силу малости константы Липшица функции U (x, y) невелики. Поэтому система (2) не жесткая и может быть решена традиционными методами численного интегрирования. Данная подпрограмма решает ее методом Рунге - Кутта 4 - ого порядка, при этом одновременно с решением (2) производится обратное преобразование от функции Z (x) к функции y (x) .
Значение H может быть меньше или равно значению шага интегрирования, задаваемому пользователем при обращении к подпрограмме.
Все компоненты решения вычисляются с контролем точности по мере погрешности, который заключается в следующем. Если некоторая компонента приближенного решения по абсолютной величине меньше некоторой наперед заданной константы P, то контроль точности для этой компоненты ведется по относительной погрешности, иначе - по абсолютной. Абсолютная погрешность приближенного решения оценивается по правилу Рунге.
J.Douglas Lowson, Generalized Runge - Kutta processes for stable systems with large lipshitz constants /_htm_p/ SIAM Journal on Numerical Analisys - 1967 - Vol 4, No 3.
procedure DE02R(FU :Proc_F_DE; M :Integer; var JSTART :Integer; var A :Array of Real; HMIN :Real; EPS :Real; P :Real; var YX :Array of Real; var X :Real; var H :Real; var BUL :Boolean; var XP :Real; var YP :Array of Real; var E1 :Array of Real; var E2 :Array of Real; var E3 :Array of Real; var E4 :Array of Real; var R :Array of Real; var R0 :Array of Real; var R1 :Array of Real; var R2 :Array of Real; var R3 :Array of Real; var YD :Array of Real; var IERR :Integer);
Параметры
FU - |
подпрограмма вычисления функции U (x, y) в правой
части системы. Первый оператор подпрограммы
должен иметь вид: procedure FU (X :Real; var Y :Array of Real; var U :Array of Real;M :Integer); Здесь Y и U - одномерные массивы длины M. В массив U помещается значение функции U (x, y), вычисленное при значении аргументов X и Y (тип параметров X, Y, U: вещественный); |
M - | количество уравнений в системе (тип: целый); |
JSTART - | целый указатель режима использования подпрограммы, имеющий следующие значения: |
0 - | первое обращение к подпрограмме должно быть выполнено с нулевым значением JSTART; |
+1 - | выполнить один шаг интегрирования системы дифференциальных уравнений для значений независимой и зависимой переменных и шага интегрирования, заданных параметрами X, YX и H соответственно; при этом само значение величины шага интегрирования H, на который предполагается продолжить решение системы, должно совпадать с тем значением шага, который был фактически выполнен подпрограммой при предыдущем обращении к ней. Если же требуется выполнить шаг интегрирования, отличный от реально сделанного подпрограммой во время предыдущего обращения к ней, то для этого необходимо обратиться к подпрограмме со значением JSTART = 0; |
+2 - | то же, что и для JSTART = + 1, но только с той разницей, что величина шага интегрирования, на который предполагается продолжить решение, в два раза больше того значения шага, который был фактически выполнен при предыдущем обращении к подпрограмме; |
-1 - | повторить последний шаг интегрирования с новыми значениями параметров H и/или HMIN; |
при выходе из подпрограммы параметр JSTART полагается равным 2, если выполнив заданный в H шаг, подпрограмма рекомендовала использовать для интегрирования вдвое большее его значение, и 1 в противном случае, т.е. в том случае, когда рекомендованное значение шага равно только что выполненному шагу; рекомендованное значение шага на выходе из подпрограммы запоминается в переменной H; | |
A - | вещественный двумерный массив размера M*M, содержащий элементы матрицы A; |
HMIN - | минимальное значение абсолютной величины шага, которое разрешается использовать при интегрировании данной системы уравнений (тип: вещественный); |
EPS - | допустимая мера погрешности, с которой требуется вычислить все компоненты решения (тип: вещественный); |
P - | граница перехода, используемая при оценке меры погрешности решения (тип: вещественный); |
YX, X - | заданные вещественные значения решения и соответствующее ему значение аргумента; в результате работы подпрограммы в X получается новое значение аргумента, в YX - соответствующее значение решения; в случае системы уравнений т.е. когда M ≠ 1, YX задается одномерным массивом длиной M; |
H - | вещественная переменная, содержащая значение шага интегрирования; если для этого значения шага точность приближенного решения достигается, то именно он и реализуется подпрограммой, иначе этот шаг уменьшается подпрограммой до тех пор, пока не будет достигнута заданная точность EPS; на выходе из подпрограммы H содержит рекомендуемое подпрограммой значение следующего шага интегрирования, определяемое ею с целью достижения более экономного способа интегрирования; |
BUL - | логическая переменная, значение которой при обращении к подпрограмме полагается равным TRUE, если заданный в H шаг выводит в конец интервала интегрирования, и FALSE в противном случае; в результате работы подпрограммы BUL равно FALSE, если вместо исходного шага интегрирования был реализован меньший шаг; в противном случае, т.е. когда был выполнен именно заданный при обращении в H шаг, значение параметра BUL не меняется; |
XP, YP - | вещественная рабочая переменная и одномерный рабочий массив длины M соответственно; значения параметров XP, YP на выходе из подпрограммы равны тем значениям, которые имели параметры X, YX при входе в нее (т.е. предыдущий узел и решение в нем); |
E1, E2 - E3, E4 | вещественные двумерные рабочие массивы размера M*M; |
R, R0, R1 - R2, R3, YD | вещественные одномерные рабочие массивы длины M; |
IERR - | целая переменная, значение которой в результате работы подпрограммы полагается равным 65, если какая - нибудь компонента решения не может быть вычислена с требуемой точностью EPS; в этом случае последний шаг интегрирования системы можно повторить обращением к подпрограмме с новыми значениями параметров H, HMIN и значением JSTART = - 1 . |
Версии
DE02E - | выполнение одного шага численного интегрирования квазилинейной системы обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка с большой константой Липшица методом Лоусона с удвоенным числом значащих цифр. При этом параметры HMIN, EPS, P, A, YX, X, H, XP, YP, E1, E2, E3, E4, R, R0, R1, R2, R3, YD и параметры X, Y, DY в подпрограмме FU должны иметь тип Extended. |
Вызываемые подпрограммы
AME2R - | подпрограмма вычисления матричной экспоненты; вызывается при работе подпрограммы DE02R. |
AME2E - | подпрограмма вычисления матричной экспоненты; вызывается при работе подпрограммы DE02E. |
UTDE20 - | подпрограмма выдачи диагностических сообщений при работе подпрограммы DE02R; |
UTDE21 - | подпрограмма выдачи диагностических сообщений при работе подпрограммы DE02E. |
Кроме того, при работе подпрограмм DE02R и DE02E вызываются рабочие подпрограммы DE02RS, DE04RQ и DE02ES, DE04EQ соответственно. |
Замечания по использованию
Данная подпрограмма предназначена для интегрирования квазилинейных систем, имеющих малый нелинейный член U (x, y). В общем случае заданная точность не гарантируется. При работе подпрограммы значения параметров M, HMIN, EPS, P, A сохраняются. Между последовательными обращениями к подпрограмме со значениями параметра JSTART = 1, 2 пользователь не должен изменять содержимое массивов A, E1, E2. При работе подпрограммы FU значения параметров X, Y и M не должны изменяться. При обращении к подпрограмме со значением JSTART = - 1 в качестве исходных значений аргумента и решения принимаются значения параметров XP и YP соответственно, т.е. те значения, которые эти параметры получили после самого последнего обращения к подпрограмме с неотрицательным значением JSTART. После работы подпрограммы в массиве R1 содержится значение оценки абсолютной погрешности на шаге, вычисленной по правилу Рунге. Подпрограммы DE02R и DE02E предназначены также для интегрирования жестких дифференциальных уравнений (1). |
y1' = - 500 y1 + y2 + sin ( y1 + y2 ) ( 1 + e - x/2 ) , y1(0) = 50 y2' = - 1000 y1 + y2 + sin ( y1 - y2 ) ( 1 + e - x/2 ) , y2(0) = 50 x ≥ 0
Приводятся подпрограмма вычисления функций
U1 (x, y) = sin ( y1 + y2 ) ( 1 + e - x/2 ) , U2 (x, y) = sin ( y1 - y2 ) ( 1 + e - x/2 )
из правой части системы, фрагмент вызывающей программы, выполняющей несколько шагов из одной точки и результаты счета.
Unit TDE02R_p; interface uses SysUtils, Math, { Delphi } Lstruct, Lfunc, UtRes_p, FUDE02R_p, DE02R_p; function TDE02R: String; implementation function TDE02R: String; var M,JSTART,IH,IERR :Integer; X,HMIN,EPS,P,H,ХР :Real; BUL :Boolean; A :Array [0..3] of Real; E1 :Array [0..3] of Real; E2 :Array [0..3] of Real; E3 :Array [0..3] of Real; E4 :Array [0..3] of Real; R :Array [0..1] of Real; R0 :Array [0..1] of Real; R1 :Array [0..1] of Real; R2 :Array [0..1] of Real; R3 :Array [0..1] of Real; YD :Array [0..1] of Real; YP :Array [0..1] of Real; YX :Array [0..1] of Real; label _100,_101,_102,_103,_104,_105,_106; begin Result := ''; { результат функции } M := 2; X := 0.0; YX[0] := 5.E1; YX[1] := 5.E1; HMIN := 1.E-10; EPS := 1.E-8; P := 1.E2; JSTART := 0; H := 0.01; A[0] := -5.E2; A[2] := 1.0; A[1] := -1.E3; A[3] := 1.0; IH := 0; _100: IH := IH + 1; DE02R (FUDE02R,M,JSTART,A,HMIN,EPS,P,YX,X,H,BUL,XP,YP,E1,E2, E3,E4,R,R0,R1,R2,R3,YD,IERR); Result := Result + Format(' %20.16f %20.16f %20.16f ',[ X,YX[0],YX[1]]) + #$0D#$0A; Result := Result + Format('%s',['-']) + #$0D#$0A; Result := Result + Format(' %20.16f %20.16f %20.16f ',[ H,R1[0],R1[1]]) + #$0D#$0A; Result := Result + Format('%s',['**']) + #$0D#$0A; case IH of 1: goto _101; 2: goto _102; 3: goto _103; 4: goto _104; 5: goto _105; 6: goto _106; end; _101: H := 1.0; goto _100; _102: EPS := 0.1; goto _100; _103: JSTART := -1; EPS := 1.E-10; goto _100; _104: EPS := 1.E-4; H := -1.E-5; JSTART := -1; goto _100; _105: H := -1.E-4; EPS := 1.E-8; goto _100; _106: UtRes('TDE02R',Result); { вывод результатов в файл TDE02R.res } exit; end; end. Unit FUDE02R_p; interface uses SysUtils, Math, { Delphi } Lstruct, Lfunc; procedure FUDE02R(X :Real; var Y :Array of Real; var U :Array of Real; M :Integer); implementation procedure FUDE02R(X :Real; var Y :Array of Real; var U :Array of Real; M :Integer); var T :Real; begin T := 1.0 + Exp(-X/2.0); U[0] := T*Sin(Y[0] + Y[1]); U[1] := T*Sin(Y[0] - Y[1]); end; end. Результаты: После первого обращения к подпрограмме X YX(1) YX(2) 1.953125000001 - 05 4.951502369251 + 01 4.902915763238 + 01 H R1(1) R1(2) 1.953125000001 - 05 3.523503740624 - 09 -1.435788969199 - 10 После второго обращения к подпрограмме X YX(1) YX(2) 5.004882812498 - 05 4.876668035128 + 01 4.753104564862 + 01 H R1(1) R1(2) 3.051757812500 - 05 5.044663945828 - 10 1.331015179553 - 09 После третьего обращения к подпрограмме X YX(1) YX(2) 8.056640624998 - 05 4.802966483223 + 01 4.605556652445 + 01 H R1(1) R1(2) 6.103515625000 - 05 -2.398155629634 - 08 -9.972912569839 - 10 После четвертого обращения к подпрограмме X YX(1) YX(2) 5.767822265623 - 05 4.858137986262 + 01 4.716006872657 + 01 H R1(1) R1(2) 7.629394531250 - 06 -4.268561800317 - 11 -3.880510727560 - 12 После пятого обращения к подпрограмме X YX(1) YX(2) 4.004882812492 - 05 4.901063239173 + 01 4.801943553990 + 01 H R1(1) R1(2) -2.000000000005 - 05 8.537123600634 - 11 7.761021455121 - 12 После шестого обращения к подпрограмме X YX(1) YX(2) -5.995117187529 - 05 4.950228966336 + 01 4.900345166435 + 01 H R1(1) R1(2) -1.000000000002 - 04 -7.190586378176 - 09 -8.769954244295 - 10