Подпрограмма:  DE28R (модуль DE28R_p)

Назначение

Выполнение одного шага численного интегрирования системы обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка методом Адамса с контролем точности.

Математическое описание

Выполняется один шаг численного интегрирования системы М обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка

          Y ' = F (X, Y) ,

          Y = ( y1, ..., yM ) ,
          F = ( f1 (X, y1,..., yM), ... , fM (X, y1,..., yM) ) 

многошаговым предсказывающе - исправляющим методом пятого порядка точности. Суть метода состоит в том, что сначала по явной формуле Адамса строятся предсказанные значения приближенного решения, которые затем исправляются по неявной формуле Адамса.

По заданному значению YX решения в узле X_n вычисляется значение этого решения в узле X_n + H. Все компоненты решения вычисляются с контролем точности по меpе погрешности, который заключается в следующем. Если некоторая компонента приближенного решения по абсолютной величине не меньше некоторой заданной константы P (называемой границей перехода), то контроль точности для этой компоненты ведется по относительной погрешности, иначе - по абсолютной. Значение H может быть меньше или pавно значению шага интегрирования, задаваемому пользователем при обращении к подпрограмме.

Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений, т.2, Физматгиз, М., 1960.

Беленький В.З. Стандартная программа для интегрирования системы дифференциальных уравнений методом Адамса. Сб. "Вычислительные методы и программирование", вып. 3, Изд-во МГУ, 1965.

Использование

procedure DE28R(F :Proc_F_DE; M :Integer; var JSTART :Integer;
                HMIN :Real; HMAX :Real; EPS :Real;
                P :Real; var YX :Array of Real; var X :Real;
                var H :Real; var BUL :Boolean;
                var DELTY :Array of Real; var DF :Array of Real;
                var RF :Array of Real; var YP :Array of Real;
                var RY :Array of Real; var RFN :Array of Real;
                var IERR :Integer);

   Параметры 

   Версии 

   Вызываемые подпрограммы 

   Замечания по использованию  

Пример использования

           y1'  =   y2
           y2'  =  -y1

          y1 (3/4 π)  =   √2 /2 ,     y2 (3/4 π)  =  -√2 /2 

Приводятся подпрограмма вычисления значений правой части и фрагмент вызывающей программы, выполняющей несколько шагов из одной и той же точки, а также результаты счета.

Unit TDE28R_p;
interface
uses
SysUtils, Math, { Delphi }
Lstruct, Lfunc, UtRes_p, FDE28R_p, DE28R_p;

function TDE28R: String;

implementation

function TDE28R: String;
var
M,JSTART,IH,IERR :Integer;
XN,H,P,HMAX,HMIN,X,EPS,Y1,Y2 :Real;
BUL :Boolean;
RFN :Array [0..1] of Real;
YN :Array [0..1] of Real;
Y :Array [0..1] of Real;
DELTY :Array [0..1] of Real;
DF :Array [0..9] of Real;
RF :Array [0..1] of Real;
YP :Array [0..1] of Real;
RY :Array [0..9] of Real;
label
_6,_7,_20;
begin
Result := '';  { результат функции }
M := 2;
X := 0.75e0*3.14159265358979323846264e0;
H := 0.01e0;
Y[0] := Sqrt(2.e0)/2.e0;
Y[1] := -Y[0];
HMIN := 1.e-18;
JSTART := 0;
EPS := 1.e-8;
P := 100.e0;
BUL := False;
IH := 0;
НМАХ := 1.e0;
_6:
DE28R(FDE28R,M,JSTART,HMIN,HMAX,EPS,P,Y,X,H,BUL,DELTY,
     DF,RF,YP,RY,RFN,IERR);
IH := IH+1;
if ( IH = 1 ) 
 then goto _6;
Y1 := Sin(X);
Y2 := Cos(X);
Result := Result + Format(' %20.16f %20.16f %20.16f  %20.16f  %20.16f  %20.16f ',
 [X,Y[0],Y[1],H,Y1,Y2]) + #$0D#$0A;
if ( IH = 4 ) 
 then goto _20;
JSTART := -1;
if ( IH = 3 ) 
 then goto _7;
H := 0.005e0;
goto _6;
_7:
H := 0.02e0;
goto _6;
_20:
UtRes('TDE28R',Result);  { вывод результатов в файл TDE28R.res }
exit;
end;

end.

Unit fde28r_p;
interface
uses
SysUtils, Math, { Delphi }
Lstruct, Lfunc;

procedure fde28r(X :Real; var Y :Array of Real;
                var DY :Array of Real; M :Integer);

implementation

procedure fde28r(X :Real; var Y :Array of Real;
                var DY :Array of Real; M :Integer);
begin
DY[0] := Y[1];
DY[1] := -Y[0];
end;

end.

Результаты:

    после второго обращения к подпрограмме -
          X                                Y(1)                         Y(2)
          2.376194490+00        6.928241717-01     -7.211065574-01
          H                                Y1                            Y2
          1.000000000-02         6.928241717-01     -7.211065574-01
 
    после третьего обращения к подпрограмме -
          X                                Y(1)                         Y(2)
          2.371194490+00        6.964210292-01     -7.176334371-01
          H                                Y1                            Y2
          5.000000000-03         6.964210292-01     -7.176334371-01

    после четвертого обращения к подпрограмме -
          X                                Y(1)                         Y(2)
          2.386194490+00        6.855785854-01     -7.279986286-01
          H                                Y1                            Y2
          2.000000000-02         6.855785854-01     -7.279986286-01