Подпрограмма:  DE32R (модуль DE32R_p)

Назначение

Построение начальных значений при интегрировании системы обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка методом Адамса с контролем точности.

Математическое описание

Для системы M обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка

          Y ' = F (X, Y) ,

          Y = ( y1, ..., yM ) ,
          F = ( f1 (X, y1,..., yM), ... , fM (X, y1,..., yM) )
 с начальными условиями, заданными в точке XN:
          Y(XN) = YN ,     YN = ( y10,..., yM0 ) , 

с помощью модифицированного приема А.Н.Крылова отыскиваются необходимые при численном интегрировании этой системы многошаговым методом Адамса значения решения Y в нескольких первых узлах и конечные разности правой части F(X,Y) системы до некоторого порядка в точке XN. Количество таких узлов и максимальный порядок получаемых разностей определяются в подпрограмме автоматически и соответствуют порядку точности используемого метода Адамса, который задается пользователем при обращении к подпрограмме.

Указанная процедура вычисления необходимых для счета начальных значений, или "фронта Адамса", называется разгоном. Используемый в подпрограмме метод разгона является итерационным способом, опирающимся на экстраполяционную формулу Адамса, записанную в разностной форме.

B качестве критерия точности при разгоне принята оценка первого отброшенного члена экстраполяционной формулы, при этом все компоненты решения проверяются на точность по меpе погрешности, который заключается в следующем: если некоторая компонента приближенного решения по абсолютной величине не меньше некоторой наперед заданной константы P, называемой границей перехода, то контроль точности для этой компоненты ведется по относительной погрешности, иначе - по абсолютной.

Беленький В.З. Стандартная программа для интегрирования системы дифференциальных уравнений методом Адамса. Сб. "Вычислительные методы и программирование", вып.3., Изд-во МГУ, 1965.

Использование

procedure DE32R(F :Proc_F_DE; M :Integer; IORDER :Integer; XN :Real;
                var YN :Array of Real; HMIN :Real; EPS :Real; P :Real;
                var H :Real; var DF :Array of Real;
                var X :Array of Real; var Y :Array of Real;
                var BUL :Boolean; var RS :Array of Real;
                var RF :Array of Real; var R :Array of Real;
                var IERR :Integer);

   Параметры 

   Версии 

   Вызываемые подпрограммы 

   Замечания по использованию  

Пример использования

           y1'  =   y2
           y2'  =  -y1

          y1 (3/4 π)  =   √2 /2
          y2 (3/4 π)  =  -√2 /2

Unit TDE32R_p;
interface
uses
SysUtils, Math, { Delphi }
Lstruct, Lfunc, UtRes_p, FDE32R_p, DE32R_p;

function TDE32R: String;

implementation

function TDE32R: String;
var
IORDER,M,J,I,IERR :Integer;
P,EPS,HMIN,H,XN :Real;
BUL :Вoolean;
YN :Array [0..1] of Real;
DF :Array [0..9] of Real;
Y :Array [0..9] of Real;
X :Array [0..4] of Real;
RS :Array [0..1] of Real;
RF :Array [0..1] of Real;
R :Array [0..1] of Real;
begin
Result := '';  { результат функции }
BUL := False;
IORDER := 5;
P := 100.0;
EPS := 0.0001;
HMIN := 1.E-10;
M := 2;
Н := 0.01;
XN := 0.75*3.14159265359;
YN[0] := Sqrt(2.0)/2.0;
YN[1] := -YN[0];
DE32R(FDE32R,M,IORDER,XN,YN,HMIN,EPS,P,H,DF,X,Y,BUL,RS,RF,R,IERR);
Result := Result + Format(' %20.16f %20.16f %20.16f ',
 [X[4],Y[8],Y[9]]) + #$0D#$0A;
Result := Result + #$0D#$0A;
for J:=1 to 5 do
 begin
  for I:=1 to 2 do
   begin
    Result := Result + Format('%20.16f ',[DF[(I-1)+(J-1)*2]]) + #$0D#$0A;
   end;
 end;
Result := Result + #$0D#$0A;
UtRes('TDE32R',Result);  { вывод результатов в файл TDE32R.res }
exit;
end;

end.

Unit fde32r_p;
interface
uses
SysUtils, Math, { Delphi }
Lstruct, Lfunc;

procedure fde32r(X :Real; var Y :Array of Real; var DY :Array of Real;
                M :Integer);

implementation

procedure fde32r(X :Real; var Y :Array of Real; var DY :Array of Real;
                M :Integer);
begin
DY[0] := Y[1];
DY[1] := -Y[0];
end;

end.

Результаты:

          IERR  =  0
          X(5)  =  2.396194490 + 00
          
          Y(1, 5)  =   6.782644418-01
          Y(2, 5)  =  -7.348179005-01

          DF(1, 1)  =  -7.07106781186-03
          DF(1, 2)  =  -7.10630480683-05
          DF(1, 3)  =   6.99988802921-07
          DF(1, 4)  =   7.18290493751-09
          DF(1, 5)  =  -7.27808924239-11

          DF(2, 1)  =  -7.07106781186-03
          DF(2, 2)  =   7.03559472512-05
          DF(2, 3)  =   7.14142103675-07
          DF(2, 4)  =  -6.97064450605-09
          DF(2, 5)  =  -6.86739554112-11