Текст подпрограммы и версий
de37r_p.zip , de37e_p.zip
Тексты тестовых примеров
tde37r_p.zip , tde37e_p.zip

Подпрограмма:  DE37R (модуль DE37R_p)

Назначение

Вычисление решения задачи Коши для жесткой линейной системы обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка в конце интервала интегрирования неявным методом Рунге - Кутта.

Математическое описание

Решается задача Коши для жесткой линейной системы  M обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка с переменными коэффициентами

        Y ' (X) = A(X) * Y(X) + φ(X)   ,
        Y = ( y1, ..., yM )   ,
        A(X) = ( ai j(X) ),        i, j = 1, ..., M   ,
        φ(X) = ( φ1(X), ..., φM(X) )   .

с начальными условиями, заданными в точке  XN:

        Y (XN) = YN,     YN = ( y10, ..., yM0 )   ,  

трехстадийным  А - устойчивым неявным методом Рунге - Кутта шестого порядка точности. Решение вычисляется в одной точке  ХК, которая является концом интервала интегрирования.

Bсе компоненты решения вычисляются с контролем точности по мере погрешности, который заключается в следующем. Если некоторая компонента приближенного решения по абсолютной величине не меньше некоторой наперед заданной константы  P, то контроль точности для этой компоненты ведется по относительной погрешности, иначе - по абсолютной. Абсолютная погрешность приближенного решения оценивается по правилу Рунге.

Современные численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений. Ред. Дж.Холл и Дж.Уатт. "Мир", M., 1979.

Butcher J.C. Implicit Runge - Kutta processes. Math. Comp., 18, 50 - 64, 1964.

Использование

procedure DE37R(FA :Proc_F3_DE; FI :Proc_F3_DE; M :Integer; XN :Real;
                var YN :Array of Real; XK :Real; HMIN :Real;
                EPS :Real; P :Real; var H :Real;
                var Y :Array of Real; var RAB :Array of Real;
                var IR :Array of Integer; var IERR :Integer);

Параметры

FA - подпрограмма вычисления матрицы системы  A (X) в любой точке  X. Первый оператор подпрограммы должен иметь вид:

procedure FA (var A :Array of Real; X :Real; M :Integer);

Здесь:  A - двумерный массив размера  M * M, в который помещается матрица системы, вычисленная при значении аргумента  X (тип параметров  A, X: вещественный);
FI - подпрограмма вычисления неоднородности правой части системы  φ (X) в любой точке  X. Первый оператор подпрограммы должен иметь вид:

procedure FI (var G :Array of Real; X :Real; M :Integer);

Здесь  G - одномерный массив длины  M, в который помещается неоднородность правой части системы, вычисленная при значении аргумента  X (тип параметров  G, X: вещественный);
M - количество уравнений в системе (тип: целый);
XN, YN - начальные значения аргумента и решения; в случае системы уравнений (т.е.  M ≠ 1)  YN представляет одномерный массив длины  M (тип: вещественный);
XK - значение аргумента, при котоpом требуется вычислить решение задачи Коши (конец интервала интегрирования);  XK может быть больше, меньше или pавно  XN (тип: вещественный);
HMIN - минимальное значение абсолютной величины шага, котоpое разрешается использовать при интегрировании данной системы уравнений (тип: вещественный);
EPS - допустимая меpа погрешности, с которой требуется вычислить все компоненты решения (тип: вещественный);
P - граница перехода, используемая при оценке погрешности решения (тип: вещественный);
H - вещественная переменная, содержащая начальное значение шага интегрирования; может задаваться с учетом направления интегрирования, т.е. положительным, если  XN < XK, отрицательным, если   XN > XK, или без всякого учета в виде абсолютной величины;
Y - искомое решение задачи Коши, вычисленное подпрограммой при значении аргумента  XK; для системы уравнений (когда  M ≠ 1) задается одномерным массивом длины  M. В случае совпадения значений параметров  XN и  XK значение  Y полагается равным начальному значению  YN (тип: вещественный);
RAB - одномерный рабочий массив вещественного типа длины (10*M*M + 9*M + 1);
IR - целый одномерный рабочий массив длины 3*M;
IERR - целая переменная, значение которой в результате работы подпрограммы полагается равным 65, если какая-нибудь компонента решения не может быть вычислена с требуемой точностью  EPS; в этом случае интегрирование системы прекращается; при желании интегрирование системы можно повторить обращением к подпрограмме с новыми значениями параметров  HMIN и  H.

Версии

DE37E - вычисление решения задачи Коши для жесткой линейной системы обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка в конце интервала интегрирования неявным методом Рунге - Кутта с удвоенным числом значащих цифр. При этом параметры  XN, YN, XK, HMIN, EPS, P, H, Y, RAB и параметры  A, G, X в подпрограммах  FA и  FI должны иметь тип Extended.

Вызываемые подпрограммы

       DE36R -
       DE36E  
выполнение одного шага численного интегрирования жесткой линейной системы обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка неявным методом Рунге - Kутта.
      UTDE16 -
      UTDE17  
подпрограммы выдачи диагностических сообщений.
  Подпрограммы DE36R, UTDE16 вызываются при работе подпрограммы DE37R, а подпрограммы DE36E, UTDE17 - при pаботе DE37E.

Замечания по использованию

 

B общем случае заданая точность не гарантируется.

При работе подпрограммы значения параметров  M, XN, YN, XK, HMIN, EPS, P сохраняются.

При работе подпрограмм  FA и  FI значения параметров  X и M не должны изменяться.

Если после работы подпрограммы нет необходимости иметь начальное значение решения  YN, то параметры  YN и  Y при обращении к ней можно совместить. При этом следует иметь в виду, что в случае аварийного выхода из подпрограммы, т.е. со значением  IERR = 65, значение параметра  YN будет испорчено.

Tак как при интегрировании уравнений с помощью подпрограмм DE37R и DE37E используются глобальные записи (структуры данных) с именами _COM36R и _COM36D, соответственно, то пользователю не рекомендуется использовать для своих целей глобальные записи (структуры данных) с указанными именами.

Пример использования

      y1' = - 20y1 + y2   ,   y1 = 2   ,
      y2' =  19y1 - 2y2   ,   y2 = 18   ,   0 ≤ x ≤ 5   .

Точное решение системы:

    y1 = e - x + e - 21x   ,
    y2 = 19e - x - e - 21x   .

Unit TDE37R_p;
interface
uses
SysUtils, Math, { Delphi }
Lstruct, Lfunc, UtRes_p, FB1DE37R_p, FB2DE37R_p, DE37R_p;

function TDE37R: String;

implementation

function TDE37R: String;
var
M,K,_i,IERR :Integer;
XN,XK,HMIN,EPS,P,H,X,Y1,Y2 :Real;
YN :Array [0..1] of Real;
Y :Array [0..1] of Real;
RАВ :Array [0..58] of Real;
IR :Array [0..5] of Integer;
label
_200;
begin
Result := '';  { результат функции }
M := 2;
XN := 0.0;
YN[0] := 2.0;
YN[1] := 18.0;
ХК := 5.0;
HMIN := 1.E-5;
EPS := 1.E-5;
P := 100.0;
for K:=1 to 2 do
 begin
  H := 0.01;
  DE37R(FB1DE37R,FB2DE37R,M,XN,YN,XK,HMIN,EPS,P,H,Y,RAB,IR,IERR);
  Result := Result + Format('%s',[' IERR=']);
  Result := Result + Format('%4d ',[IERR]) + #$0D#$0A;
  X := XK;
  Y1 := Exp(-X)+Exp(-21.0*X);
  Y2 := 19.0*Exp(-X)-Exp(-21.0*X);
  Result := Result + Format('%20.16f ',[XK]) + #$0D#$0A;
  Result := Result + #$0D#$0A;
  for _i:=0 to 1 do
   begin
    Result := Result + Format('%20.16f ',[Y[_i]]);
    if ( ((_i+1) mod 2)=0 )
     then Result := Result + #$0D#$0A;
   end;
  Result := Result + #$0D#$0A;
  Result := Result + Format('%20.16f %20.16f %20.16f ',
 [H,Y1,Y2]) + #$0D#$0A;
  EPS := 0.5E-5;
_200:
 end;
UtRes('TDE37R',Result);  { вывод результатов в файл TDE37R.res }
exit;
end;

end.
      
Unit fb1de37r_p;
interface
uses
SysUtils, Math, { Delphi }
Lstruct, Lfunc;

procedure fb1de37r(var A :Array of Real; X :Real; M :Integer);

implementation

procedure fb1de37r(var A :Array of Real; X :Real; M :Integer);
begin
A[0] := -20.0;
A[2] := 1.0;
A[1] := 19.0;
A[3] := -2.0;
end;

end.

Unit fb2de37r_p;
interface
uses
SysUtils, Math, { Delphi }
Lstruct, Lfunc;

procedure fb2de37r(var FI :Array of Real; X :Real; M :Integer);

implementation

procedure fb2de37r(var FI :Array of Real; X :Real; M :Integer);
begin
FI[0] := 0.0;
FI[1] := 0.0;
end;

end.

Результаты:

после первого обращения к подпрограмме -

                     XK                            Y(1)                               Y(2)
      5.000000000000 + 00    6.737934370626 - 03    1.280207530417 - 01

                     H                               Y1                                 Y2
      1.280000000001 + 00    6.737946999117 - 03    1.280209929830 - 01

после второго обращения к подпрограмме -

                     XK                            Y(1)                                Y(2)
      5.000000000000 + 00    6.737946721380 - 03    1.280209877059 - 01

                     H                               Y1                                  Y2
      6.400000000003 - 01    6.737946999117 - 03    1.280209929830 - 01