БЧА НИВЦ МГУ. DE61E_P. Один шаг интегрирования системы с правой частью, зависящей от производной, методом рядов Чебышёва

Текст подпрограммы и версий
de61e_p.zip

Тексты тестовых примеров
tde61e1_p.zip , tde61e2_p.zip , tde61e3_p.zip

Подпрограмма: DE61E (модуль DE61E_p)

Назначение

Подпрограмма DE61E является комплексом программ, предназначенным для выполнения одного шага приближенного интегрирования канонической системы обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка методом рядов Чебышёва с контролем точности или без контроля точности.

Математическое описание

Решается задача Коши для канонической системы M обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка с правой частью, зависящей от производной,

(1)       Y '' = F(X, Y, Y'),
          Y  = (y₁, ... , y_M),  Y'  = (y'₁, ... , y'_M),   
          F = (f₁ (X, y₁, ... , y_M, y'₁, ... , y'_M), ... , f_M (X, y₁, ... , y_M, y'₁, ... , y'_M)),    XN ≤ X ≤ XK,

с начальными условиями, заданными в точке XN :

(2)       Y(XN) = YN ,     YN = (y₁₀, ... , y_M0),     Y'(XN) = DYN,     DYN = (y'₁₀, ... , y'_M0),

при условии, что правая часть системы (1) имеет непрерывные ограниченные частные производные по переменным X, Y, Y'. Предполагается, что на отрезке [XN, XK] задача (1),(2) имеет единственное решение. Тогда решение задачи Коши Y(XN + αΔ) и его производные Y'(XN + αΔ), Y''(XN + αΔ) = F(XN + αΔ, Y(XN + αΔ), Y'(XN + αΔ)) = Φ(α) разлагаются на промежутке интегрирования [XN, XK] в равномерно сходящиеся ряды по смещенным многочленам Чебышёва первого рода

                     _∞                                              ₁
(3)     Y(XN + αΔ) = ∑^'a_i^*[Y]T_i^*(α),     0 ≤ α ≤ 1,     a_i^*[Y] = 2/π ∫ Y(XN + αΔ)T_i^*(α) / √(α(1 - α))dα,
                    ⁱ⁼⁰                                             ⁰
 
                      _∞                                                ₁
(4)     Y'(XN + αΔ) = ∑^'a_i^*[Y']T_i^*(α),     0 ≤ α ≤ 1,     a_i^*[Y'] = 2/π ∫ Y'(XN + αΔ)T_i^*(α) / √(α(1 - α))dα,
                     ⁱ⁼⁰                                               ⁰

               _∞                                              ₁
(5)     Φ(α) = ∑^'a_i^*[Φ]T_i^*(α),     0 ≤ α ≤ 1,     a_i^*[Φ] = 2/π ∫ Φ(α)T_i^*(α) / √(α(1 - α))dα.
              ⁱ⁼⁰                                             ⁰

Здесь: штрих у знака суммы означает, что слагаемое с индексом 0 берется с дополнительным множителем 1/2; T_i^* (α) - смещенный многочлен Чебышёва первого рода на [0, 1]: T_i^* (α) = T_i (2α-1) ; T_i (t) - многочлен Чебышёва первого рода i-го порядка на [-1, 1]; Δ = XK - XN. Если ряд Чебышёва (3) (и ряды (4), (5)) является быстросходящимся, то его сумма на [XN, XK] (и суммы рядов (4), (5)) хорошо приближается частичной суммой некоторого порядка. Эта частичная сумма принимается в качестве приближенного аналитического решения задачи (1), (2) на промежутке [XN, XK]. В противном случае, т.е. при медленной сходимости ряда (3) на интервале [XN, XK], получение аналитического решения в виде одной частичной суммы на всем отрезке интегрирования [XN, XK] может быть затруднено. Поэтому целесообразно использовать разбиение промежутка интегрирования [XN, XK] на такие элементарные сегменты некоторой, вообще говоря, переменной длины H: [x_s, x_s+H], x₀ = XN, s = 0, 1, ... , на каждом из которых ряды Чебышёва для решения Y(X) и его производных Y'(X), Y''(X) будут сходиться значительно быстрее. На каждом подобном сегменте решение исходной задачи Коши приближенно представляется в виде (K + 2) - й частичной суммы смещенного ряда Чебышёва

                                   _K+2                                              ₁
(6)     Y(x_s + αH) ≈ U_K+2(x_s + αH) = ∑^'a_i^*[U_K+2]T_i^*(α),   0 ≤ α ≤ 1,   a_i^*[U_K+2] = 2/π ∫ U_K+2(x_s+αH)T_i^*(α) / √(α(1-α))dα,
                                   ⁱ⁼⁰                                             ⁰

а его производные - в виде частичных сумм (K + 1)-го и К-го порядков

                                     _K+1                                                ₁
(7)     Y'(x_s + αH) ≈ U'_K+2(x_s + αH) = ∑^'a_i^*[U'_K+2]T_i^*(α),   0 ≤ α ≤ 1,   a_i^*[U'_K+2] = 2/π ∫ U'_K+2(x_s + αH)T_i^*(α) / √(α(1-α))dα,
                                     ⁱ⁼⁰                                               ⁰
  
                                        _K                                                  ₁         
(8)     Y''(x_s + αH) ≈ U''_K+2(x_s + αH) = ∑^'a_i^*[U''_K+2]T_i^*(α),   0 ≤ α ≤ 1,   a_i^*[U''_K+2] = 2/π ∫ U''_K+2(x_s + αH)T_i^*(α) / √(α(1-α))dα.
                                       ⁱ⁼⁰                                                 ⁰

В этом случае аналитическое решение задачи (1), (2) состоит из совокупности частичных сумм рядов Чебышёва, построенных на этих элементарных сегментах. Порядок этих частичных сумм задается пользователем при обращении к подпрограмме.

При обращении к комплексу программ (подпрограмме) DE61D задаются начало элементарного сегмента и его длина. По заданным значениям решения и первой производной в начале X = x_s элементарного сегмента [x_s, x_s + H] подпрограмма DE61D вычисляет значения решения и первой производной в конце элементарного сегмента, т.е. в узле X + H = x_s + H. Одновременно вычисляются коэффициенты Чебышёва a_i^*[U_K+2] (i = 0, 1, ... , K + 2) на элементарном сегменте [X, X + H] = [x_s, x_s + H] для решения задачи Коши Y(X + αH) ≈ U_K+2(X + αH), 0 ≤ α ≤ 1, коэффициенты Чебышёва a_i^*[U'_K+2] (i = 0, 1, ... , K + 1) его первой производной U'_K+2(X + αH) и коэффициерты Чебышёва a_i^*[U''_K+2] (i = 0, 1, ... , K) второй производной U''_K+2(X + αH) = Φ(α). Значение H может изменяться от сегмента к сегменту, в общем случае H = H_s.

Приводимое здесь описание метода заостряет внимание на наиболее принципиальных вопросах вычислительного алгоритма и преследует следующие цели. Прежде всего дать пользователю общее представление об используемом подходе к интегрировнию обыкновенных дифференциальных уравнений. Затем на основе данного знания помочь пользователю яснее усвоить смысл и назначение формальных параметров. С более подробным изложением различных аспектов математического метода можно ознакомиться по приводимому в конце данного раздела списку литературы.

При разбиении промежутка интегрирования на элементарные сегменты решение задачи сводится к определению нескольких наборов коэффициентов a_i^*[U_K+2], i = 0, 1, ... , K + 2. Коэффициенты a_i^*[U_K+2] ряда Чебышёва для решения и коэффициенты ряда Чебышёва для U'_K+2(x_s + αH) на сегменте [x_s, x_s + H] выражаются через коэффициенты a_i^*[Φ] ряда Чебышёва второй производной Φ(α) = F(x_s + αH, U_K+2(x_s + αH), U'_K+2(x_s + αH)), 0 ≤ α ≤ 1, на [x_s, x_s + H], которые, в свою очередь, вычисляются приближенно итерационным способом, исходя из некоторого начального приближения. Вычисления выполняются с помощью квадратурной формулы Маркова на [x_s, x_s + H] с K + 1 узлом. При этом один из узлов квадратурной формулы совпадает с x_s, а остальные K узлов лежат внутри интервала (x_s, x_s + H). Количество итераций, которое предписывается выполнить в этом итерационном процессе, задается при обращении к подпрограмме и может меняться от сегмента к сегменту. Если при выбранном H ряды Чебышёва для U_K+2(x_s + αH), 0 ≤ α ≤ 1 , и его производных U'_K+2(X + αH), U''_K+2(X + αH) на элементарном сегменте [X, X + H] = [x_s, x_s + H] быстро сходятся, то для того, чтобы приближенное решение в конце одного такого сегмента имело максимальный порядок точности относительно H, необходимо выполнить не менее K итераций; при этом погрешность приближенного решения в конце элементарного сегмента является величиной порядка O(H^K + 3) при H --> 0, а погрешность приближенного значения производной Y' - величиной порядка O(H^K + 2) при H --> 0. Если H подобрано достаточно малым (или, вернее сказать, выбрано довольно удачным), то хорошая точность приближенного решения может быть получена и при меньшем числе итераций.

Начальное приближение коэффициентов a_i^*[Φ] ряда Чебышёва для второй производной на сегменте [x_s, x_s + H] может вычисляться двумя способами. В первом способе начальное приближение определяется только с использованием значения решения U_K+2(X) и его первой производной U'_K+2(X) в узле X = x_s. При этом погрешность начального приближения для всех коэффициентов a₀^*[Φ], a₁^*[Φ], ..., a_K^*[Φ] является величиной O(H²) при H --> 0. Во втором способе начальное приближение определяется через коэффициенты ряда Чебышёва производной Φ(α) на предыдущем элементарном сегменте [x_s - 1, x_s] = [X - H', X], где H' - длина предыдущего элементарного сегмента. В этом случае погрешности начального приближения для коэффициентов a₀^*[Φ], a₁^*[Φ], ... , a_K^*[Φ] имеют, соответственно, порядки O(H), O(H²), ..., O(H^K + 1). Заметим, что длина H текущего элементарного сегмента [X, X + H] может быть больше или меньше длины H' предыдущего элементарного сегмента [X - H', X] или равна ей. Второй способ определения начального приближения в некоторых случаях может привести к более быстрой сходимости итерационного процесса и, тем самым, к меньшему числу выполняемых итераций. Второй способ может быть применен только начиная со второго элементарного сегмента [x₀ + H₀, x₁ + H], H₀ - длина начального (первого) элементарного сегмента, x₁ = x₀ + H₀. На начальном элементарном сегменте [x₀, x₀ + H] всегда применяется исключительно первый способ. Способ выбора начального приближения задается пользователем при обращении к подпрограмме и может меняться от сегмента к сегменту.

Если шаг интегрирования нужно выполнять с контролем точности, то на заданном при обращении к комплексу программ (подпрограмме) DE61D частичном сегменте [X, X + H]=[x_s, x_s + H] для оценки погрешности решения U_K+2(x_s + αH) и его производной U'_K+2(x_s + αH), полученных при некотором заданном значении K = K₁, вычисляются на этом же сегменте специальным образом второе приближенное решение вместе с его производной при K = K₂ > K₁, которые также представляются указанными выше частичными суммами при K = K₂. Второе решение U_K₂+2, как имеющее более высокий порядок точности O(H^K₂ + 3), используется для оценки погрешности первого решения U_K₁+2 на элементарном сегменте [X, X + H]. Производная второго решения U'_K₂+2, имеющая порядок точности O(H^K₂ + 2), используется для оценки погрешности производной первого решения U'_K₁+2. Значения K₁ и K₂ задаются при обращении к подпрограмме и могут изменяться от сегмента к сегменту. Второе приближенное решение на сегменте [X, X + H] вычисляется аналогично первому решению итерационным способом. Единственным отличием при этом является то, что начальным приближением в этом дополнителном итерационном процессе служит уже вычисленное на отрезке [X, X + H] первое решение U_K₁+2(x_s + αH). Количество итераций, которое потребуется выполнить в этом дополнительном итерационном процессе, задается при обращении к подпрограмме и может меняться от сегмента к сегменту.

Для системы уравнений (M > 1) с проверкой на точность могут вычисляться либо все компоненты решения, либо некоторые из них (в частности, одна компонента). В последнем случае номера проверяемых на точность компонент задаются при обращении к подпрограмме. Совершенно аналогично вычисляются с проверкой на точность компоненты производной решения.

Если шаг интегрирования необходимо выполнять с контролем точности, то для оценки уклонения приближенного решения от точного (т.е. для оценки абсолютной погрешности приближенного решения) в комплексе программ (подпрограмме) DE61D используются два способа, или две формулы. Первый способ опирается на первую формулу для абсолютной погрешности приближенного решения. Она является асимптотической (т.е. справедливой при H --> 0) и представляет собою разность двух частичных сумм смещенного ряда Чебышёва на сегменте [X, X + H] с приближенными коэффициентами, а именно разность приближенных частичных сумм (K₂+2)-го и (K₁+2)-го порядков в точке X + H. Второй способ опирается на несколько завышенную оценку абсолютной погрешности, которая представляет сумму абсолютных величин (модулей) разностей приближенных коэффициентов этих частичных сумм и поэтому несколько завышена по сравнению с первой. Назовем эту формулу второй. Более того, при использовании этой, второй, формулы в том случае, когда точность решения оценивается по относительной погрешности или по мере погрешности, то дополнительно используется также завышенная оценка сверху для относительной погрешности и завышенная оценка сверху для меры погрешности. Второй способ оценки погрешности, хотя и является более точным, накладывает более сильное ограничение на размер элементарного сегмента и приводит к меньшей длине сегментов. Используемый способ оценки абсолютной погрешности задается при обращении к подпрограмме. Совершенно аналогичный прием применяется также для оценки уклонения производной приближенного решения от производной точного решения.

Когда интегрирование на шаге требуется вести с контролем точности, то используется следующий алгоритм достижения заданной точности. Если для заданной при обращении к подпрограмме DE61D длины H сегмента [X, X + H] точность приближенного решения U_K₁+2 или его производной U'_K₁+2 не достигается, то данный сегмент исключается из рассмотрения и программа сокращает его длину H до тех пор, пока на новом, сокращенном, сегменте не будет достигнута заданная точность вновь вычисленного приближенного решения U_K₁+2 и его производной. При выполнении условия достижения на сегменте заданной точности приближенного решения U_K₁+2 и его производной этот сегмент (заданной, первоначальной, длины или сокращенной длины) принимается в качестве элементарного (частичного) сегмента, на который продлено решение дифференциального уравнения. В качестве такого решения на сегменте [X, X + H] принимается частичная сумма порядка K₁ + 2 с коэффициентами, равными коэффициентам Чебышёва a_i^*[U_K₂+2], i = 0, 1, ... , K₁ + 2, второго приближенного решения U_K₂+2, поскольку эти коэффициенты имеют более высокий порядок точности по сравнению с коэффициентами Чебышёва a_i^*[U_K₁+2] первого приближенного решения. В качестве значения решения в конце X + H сегмента [X, X + H] принимается значение второго приближенного решения в точке X + H, т.е. U_K₂+2(X + H), как имеющее более высокий порядок точности O(H^K₂+3) по сравнению с первым приближенным решением U_K₁+2(X + H). В качестве значения производной решения в конце X + H сегмента [X, X + H] принимается значение производной второго приближенного решения в точке X + H, т.е. U'_K₂+2(X + H), поскольку оно имеет более высокий порядок точности O(H^K₂+2) по сравнению с производной первого приближенного решения U'_K₁+2(X + H). В качестве коэффициентов Чебышёва производной решения на сегменте [X, X + H] принимаются по той же причине коэффициенты Чебышёва производной второго приближенного решения a_i^*[U'_K₂+2], i = 0, 1, ... , K₁ + 1, а в качестве коэффициентов Чебышёва второй производной решения принимаются коэффициенты Чебышёва второй производной второго приближенного решения a_i^*[U''_K₂+2], i = 0, 1, ... , K₁.

Таким образом, один шаг приближенного интегрирования по методу рядов Чебышёва, выполняемый комплексом программ (подпрограммой) DE61D, заключается в следующем. По заданным значениям решения YX и его производной DYX в начале X сегмента [X, X + H] вычисляются (при необходимости, то с контролем точности) значения этого решения и его производной в конце X + H сегмента, а также определяются значения коэффициентов Чебышёва решения, значения коэффициентов Чебышёва его производной и значения коэффициентов Чебышёва его второй производной на сегменте [X, X + H]; другими словами, находятся ортогональное разложение решения и ортогональные разложения его первой и второй производных на сегменте [X, X + H].

В дальнейшем при описании параметров подпрограммы коэффициенты ряда Чебышёва будем называть коэффициентами Чебышёва.

Залеткин С.Ф. Численное интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений с использованием ортогональных разложений // Математическое моделирование. 2010. 22. № 1. 69 - 85.

Арушанян О.Б., Волченскова Н.И., Залеткин С.Ф. О применении ортогональных разложений для приближенного интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений // Вестник Московского университета. Серия 1. Математика. Механика. 2010. № 4. 40 - 43.

Арушанян О.Б., Волченскова Н.И., Залеткин С.Ф. Вычисление коэффициентов разложения решения задачи Коши в ряд по многочленам Чебышёва // Вестник Московского университета. Серия 1. Математика. Механика. 2012. № 5. 24 - 30.

Арушанян О.Б., Залеткин С.Ф. Обоснование одного подхода к применению ортогональных разложений для приближенного интегрирования канонических систем обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка // Вестник Московского университета. Серия 1. Математика. Механика. 2018. № 3. 29 - 33.

Арушанян О.Б., Залеткин С.Ф. К теории вычисления ортогонального разложения решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка // Вычислительные методы и программирование. 2018. 19. 178 - 184.

Арушанян О.Б., Залеткин С.Ф. Приближенное интегрирование канонических систем обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка методом рядов Чебышёва с оценкой погрешности решения и его производной // Вестник Московского университета. Серия 1. Математика. Механика. 2022. № 4. 27 - 34.

Залеткин С.Ф. Приближенное интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений методом рядов Чебышёва с контролем точности // Математическое моделирование. 2022. 34. № 6. 53 - 74.

Использование

procedure DE61E(F :Proc_F80E; var M :Integer; var K :Integer;
                var INIAPR :Integer; var IMAX :Integer;
                var JSTART :Integer; var YX :Array of Extended;
                var DYX :Array of Extended; var X :Extended;
                var AU :Array of Extended; var ADU :Array of Extended;
                var AJK :Array of Extended; var H :Extended;
                var XP :Extended; var MEXACT :Array of Integer;
                var IU :Array of Integer; var EPS :Array of Extended;
                var THRESH :Array of Extended;
                var NUMBES :Array of Integer; var MESTER :Integer;
                var K2 :Integer; var IMAX2 :Integer; NATTEM :Integer;
                var HMIN :Extended; var HMAX :Extended; var BUL :Boolean;
                var RAB :Array of Extended; var IERR :Integer);

   Параметры

F -	имя подпрограммы вычисления значений правой части дифференциального уравнения. Первый оператор подпрограммы должен соответствовать процедурному типу:

 
       Procedure (X :Extended; var Y :Array of Extended; var DY :Array of Extended;
                         var Z :Array of Extended; M :Integer);

Здесь: X, Y, DY - значения независимой, зависимой переменных и производной решения соответственно. Вычисленное значение правой части должно быть помещено в Z. B случае системы уравнений, т.е. когда M ≠ 1 , параметры Y, DY, Z представляют одномерные массивы длины M (тип параметров X, Y, DY и Z: с расширенной (Extended) точностью);

M -	количество уравнений в системе (тип: целый);
K -	порядок частичной суммы смещенного ряда Чебышёва, с помощью которой аппроксимируется вторая производная первого приближенного решения задачи Коши на каждом элементарном сегменте разбиения интервала интегрирования; при этом само первое приближенное решение задачи Коши приближается на каждом элементарном сегменте частичной суммой (K + 2) - го порядка, а его производная - частичной суммой (K + 1) - го порядка; K≥2. Этот параметр относится только к первому приближенному решению, имеющему меньший порядок точности O(H^K+3), и его производной (см. "Математическое описание" и "Замечания по использованию"; тип: целый);
INIAPR -	целый указатель способа выбора начального приближения коэффициентов Чебышёва для второй производной первого приближенного решения на каждом элементарном сегменте:

INIAPR=1 -

для первого способа, когда начальное приближение определяется только с использованием значения решения и его первой производной в начале каждого элементарного сегмента;

INIAPR=2 -

для второго способа, когда начальное приближение коэффициентов Чебышёва на текущем элементарном сегменте (начиная со второго) определяется через коэффициенты Чебышёва, вычисленные на предыдущем элементарном сегменте, т.е. путем экстраполяции коэффициентов с предыдущего сегмента на следующий (см. "Математическое описание");

IMAX -

целая переменная, задающая количество итераций, которое предполагается выполнить в итерационном процессе вычисления коэффициентов Чебышёва для второй производной первого приближенного решения задачи Коши на элементарном сегменте [X, X + H], исходя из некоторого начального приближения, способ определения которого задается параметром INIAPR; IMAX ≥ 1. Для получения максимального порядка точности первого приближенного решения необходимо выполнить не менее K итераций. Этот параметр относится только к первому приближенному решению, имеющему меньший порядок точности O(H^K + 3), и его производной. Если правая часть дифференциального уравнения не зависит от переменных Y и Y', т.е. дифференциальное уравнение имеет вид Y'' = F(X), то число итераций при вычислении первого приближенного решения можно положить равным 1. В этом случае параметр IMAX = 1 (см. "Математическое описание" и "Замечания по использованию");

JSTART -

целый указатель режима использования подпрограммы, имеющий следующие значения:

0 -

первое обращение к подпрограмме должно быть исполнено с нулевым значением JSTART: выполнить первый (начальный) шаг интегрирования для значений независимой переменной X, зависимой переменной YX, производной DYX и длины элементарного сегмента H. При данном значении параметра JSTART будет применен исключительно первый способ определения начального приближения для коэффициентов Чебышёва второй производной первого приближенного решения независимо от значения параметра INIAPR. Нулевое значение параметра JSTART также может означать, что необходимо выполнить очередной шаг интегрирования с измененным значением параметра K или с измененным значением параметра K2;

1 -

выполнить следующий (очередной) шаг интегрирования системы дифференциальных уравнений для значений независимой перемннной X, зависимой переменной YX, производной DYX и длины элементарного сегмента H. При данном значении параметра JSTART способ определения начального приближения для коэффициентов Чебышёва второй производной решения определяется параметром INIAPR. При обращении к подпрограмме DE61E со значением JSTART = 1 значения параметра K (см. выше) и параметра K2 (см. ниже) должны совпадать с их значениями при предыдущем обращении к подпрограмме.

	На выходе из подпрограммы DE61E параметр JSTART всегда принимает значение, равное 1 (см. "Примеры использования");
X, YX, DYX -	начальные значения аргумента, решения и первой производной (начало элементарного сегмента X, решение YX и производная DYX в нем); в результате работы подпрограммы в X получается новое значение аргумента, отстоящее от начального значения на величину выбранного подпрограммой элементарного сегмента, т.е. такого сегмента, на который продлено решение дифференциального уравнения (конец элементарного сегмента), а в YX и DYX - соответствующие значения решения и производной; если шаг интегрирования выполняется с контролем точности, то в качестве такого решения принимается второе приближенное, оценивающее, решение, поскольку оно имеет более высокий порядок точности по сравнению с первым приближенным решением. По этой же причине в качестве производной принимается производная второго приближенного (оценивающего) решения. В случае системы уравнений, т.е. когда M ≠ 1, YX и DYX задаются одномерными массивами длины M (тип параметров X, YX, DYX: с расширенной (Extended) точностью);
AU -	двумерный массив размера M * (K + 3). На выходе из подпрограммы содержит коэффициенты Чебышёва a_i*[Y] для решения Y (X + αH), 0 ≤ α ≤ 1, на элементарном сегменте [X, X + H]. При этом переменная с индексом AU (N, I + 1) представляет I-й коэффициент Чебышёва N-й компоненты решения y_N(x)(I = 0, 1, ... , K + 2) (тип: с расширенной (Extended) точностью);
ADU -	двумерный массив размера M * (K + 2). На выходе из подпрограммы содержит коэффициенты Чебышёва a_i*[Y'] для первой производной решения Y' (X + αH), 0 ≤ α ≤ 1, на элементарном сегменте [X, X + H]. При этом переменная с индексом ADU (N, I + 1) представляет I-й коэффициент Чебышёва N-й компоненты первой производной решения y'_N(x) (I = 0, 1, ... , K + 1) (тип: с расширенной (Extended) точностью);
AJK -	двумерный массив размера M * (K + 1). На выходе из подпрограммы содержит коэффициенты Чебышёва a_i*[Y''] второй производной решения Y''(X + αH), 0 ≤ α ≤ 1, на элементарном сегменте [X, X + H]. При этом переменная с индексом AJK(N, I + 1) представляет I-й коэффициент Чебышёва N-й компоненты второй производной решения y''_N(x) (I = 0, 1, ... , K). Если при JSTART = 1 (т.е. при повторных обращениях к подпрограмме) параметр INIAPR = 2, то содержащиеся в массиве AJK при входе в подпрограмму коэффициенты Чебышёва второй производной решения, вычисленные на предыдущем элементарном сегменте [X - H', X] во время предыдущего обращения к подпрограмме DE61E, используются в подпрограмме при вычислении коэффициентов Чебышёва второй производной решения на текущем элементарном сегменте [X, X + H]. Заметим, что длина H текущего элементарного сегмента может быть больше или меньше длины H' предыдущего сегмента [X - H', X] или равна ей;
H -	переменная с расширенной (Extended) точностью, содержащая начальное значение длины первого элементарного сегмента (аналог шага интегрирования для разностных методов);
XP -	переменная XP. На выходе из подпрограммы содержит начальное значение аргумента, т.е. то значение, которое имел параметр X на входе в подпрограмму. Таким образом, на выходе из подпрограммы DE61E границы элементарного сегмента, к которому относятся вычисленные подпрограммой коэффициенты Чебышёва решения и коэффициенты Чебышёва его производных и содержащиеся в массивах AU, ADU и AJK, показываются параметрами XP и X, а именно: параметр XP содержит начало сегмента, а параметр X содержит конец этого сегмента (тип: с расширенной (Extended) точностью);
MEXACT -	количество компонент численного решения и его производной, проверяемых на точность; задается одномерным массивом длины 2. Переменная с индексом MEXACT(1) показывает, сколько компонент производной надо проверять на точность; переменная с индексом MEXACT(2) показывает, сколько компонент решения надо проверять на точность. Нулевое значение переменной с индексом MEXACT(1) или MEXACT(2) сообщает о том, что соответственно производная или решение на точность не проверяется. Например, элементы массива MEXACT/O, M/ сообщают о том, что производная на точность вообще не проверяется, а проверяются на точность все компоненты решения (здесь M - количество уравнений в системе). Элементы массива MEXACT/M, O/ указывают, что на точность надо проверять все компоненты производной, а решение на точность проверять не надо. Элементы массива MEXACT/M, M/ сообщают, что все компоненты производной и все компоненты решения надо проверять на точность. Элементы массива MEXACT/1, 1/ уведомляют, что на точность проверяется какая-то одна компонента производной и какая-то одна компонента решения. Элементы массива MEXACT/0, 0/ сообщают, что на данном шаге решение и его производная вычисляются без контроля точности. Если решение и его производная вычисляются без контроля точности, то значения нижеследующих параметров IU, EPS, THRESH, NUMBES, MESTER, K2, IMAX2, NATTEM, HMIN, HMAX, BUL, IERR в комплексе (подпрограмме) DE61E не используются. В этом случае конкретные значения соответствующих им фактических параметров при обращении к DE61E можно не задавать, но их типы, количество и порядок записи должны соответствовать указанным формальным параметрам (тип: целый);
IU -	целый указатель типа погрешности численного решения и его производной; задается одномерным массивом длины 2. Переменная с индексом IU(1) задает тип погрешности производной решения, а переменная с индексом IU(2) задает тип погрешности решения:

IU(1)=1 -	компоненты производной решения проверяются на точность по абсолютной погрешности;
IU(1)=2 -	компоненты производной решения проверяются на точность по относительной погрешности;
IU(1)=3 -	компоненты производной решения проверяются на точность по мере погрешности;
IU(2)=1 -	компоненты решения проверяются на точность по абсолютной погрешности;
IU(2)=2 -	компоненты решения проверяются на точность по относительной погрешности;
IU(2)=3 -	компоненты решения проверяются на точность по мере погрешности.

	Контроль точности по мере погрешности заключается в следующем. Если некоторая компонента приближенного решения по абсолютной величине не меньше определенной наперед заданной положительной константы THRESH (называемой границей перехода), то контроль точности для этой компоненты ведется по относительной погрешности, иначе - по абсолютной. Таким образом, контроль точности по мере погрешности состоит в том, что на тех участках интервала интегрирования, где абсолютная величина компоненты решения меньше значения THRESH, контроль точности ведется для нее по абсолютной погрешности, а там, где абсолютная величина этой компоненты решения равна значению THRESH или превосходит значение THRESH, контроль точности для нее ведется по относительной погрешности; аналогично выполняется контроль точности по мере погрешности и для производной решения (см. "Замечания по использованию");
EPS -	допустимая погрешность, с которой требуется вычислить проверяемые на точность компоненты решения и его производной; тип погрешности специфицируется с помощью параметра IU; задается одномерным массивом длины 2. Переменная с индексом EPS(1) задает точность для производной решения, а переменная с индексом EPS(2) задает точность для решения (см. "Замечания по использованию"; тип: с расширенной (Extended) точностью);
THRESH -	граница перехода, используемая при оценке меры погрешности решения и его производной; задается одномерным массивом длины 2. Переменная с индексом THRESH(1) задает границу перехода для производной решения, а переменная THRESH(2) задает границу перехода для решения (см. "Замечания по использованию"; тип: с расширенной (Extended) точностью);
NUMBES -	одномерный массив, содержащий номера проверяемых на точность компонент производной и номера проверяемых на точность компонент решения. Первые MEXACT(1) элементов массива NUMBES содержат номера проверяемых на точность компонент производной, а следующие MEXACT(2) элементов этого массива NUMBES содержат номера проверяемых на точность компонент решения. Следовательно, NUMBES представляет одномерный массив длины MEXACT(1) + MEXACT(2). Если MEXACT(1) = 0, то массив NUMBES содержит только номера проверяемых на точность компонент решения; если MEXACT(2) = 0, то массив NUMBES содержит только номера проверяемых на точность компонент производной. В том случае, если все компоненты производной и все компоненты решения проверяются на точность (этому случаю соответствуют значения MEXACT(1) = MEXACT(2) = M), этот массив в подпрограмме не используется. Таким образом, массив NUMBES используется в подпрограмме только в том случае, когда число проверяемых на точность компонент производной или число проверяемых на точность компонент решения меньше числа уравнений M (тип: целый);
MESTER -	целый указатель способа оценки абсолютной погрешности компоненты приближенного решения и его производной:

MESTER=1 -	для оценки абсолютной погрешности используется первая формула (асимптотическая);
MESTER=2 -	для оценки абсолютной погрешности используется вторая формула (завышенная оценка).

	(См. "Математическое описание");
K2 -	порядок частичной суммы смещенного ряда Чебышёва второй производной решения, с помощью которой вычисляется частичная сумма порядка (K2 + 2) для оценивающего решения более высокого порядка точности на элементарном сегменте [X, X + H] разбиения области интегрирования. Этот параметр относится только ко второму приближенному решению более высокого порядка точности O(H^K2+3), K2 > K (т.е. к оценивающему решению) и его второй производной. Если обращение к подпрограмме DE61E осуществляется со значением параметра JSTART = 1 (см. выше), то значение параметра K2 должно совпадать с его значением при предыдущем обращении к подпрограмме. Если же при очередном обращении к подпрограмме DE61E значение параметра K2 необходимо изменить, то это обращение должно выполняться при нулевом значении параметра JSTART (JSTART = 0) (см. "Математическое описание", "Замечания по использованию" и "Примеры" (тип: целый);
IMAX2 -	целая переменная, задающая количество итераций, которое предполагается выполнить в дополнительном итерационном процессе для вычисления второго, оценивающего, приближенного решения более высокого порядка точности. Для получения максимального порядка точности оценивающего решения необходимо выполнить не менее (K2 - K) итераций. Значение IMAX2 может изменяться от сегмента к сегменту. Если правая часть дифференциального уравнения не зависит от переменных Y и DY, т.е. дифференциальное уравнение имеет вид Y'' = F(X), то число итераций при вычислении второго приближенного решения можно положить равным 1. В этом случае параметр IMAX2 = 1 (см. "Математическое описание" и "Замечания по использованию");
NATTEM -	целая переменная, значение которой ограничивает число последовательных сокращений длины элементарного сегмента [X, X + H], если приближенное решение или его производная на этом элементарном сегменте не достигает требуемой точности;
HMIN, HMAX -	соответственно минимальное и максимальное значение длины элементарного сегмента, которое разрешается использовать при разбиении интервала интегрирования на элементарные (частичные) сегменты (тип: с расширенной (Extended) точностью);
BUL -	логическая переменная, значение которой при обращении к подпрограмме полагается равным TRUE, если заданная в H длина сегмента выводит в конец интервала интегрирования, и FALSE в противном случае; в результате работы подпрограммы BUL равно FALSE, если вместо исходного сегмента был выбран меньший сегмент, в противном случае, т.е. когда был выбран именно заданный при обращении в H сегмент, значение параметра BUL не меняется.
RAB -	одномерный рабочий массив. Длина массива равна 2 * K * K + 5 * K + 4 * K * M + K2 * K2 + 8 * K2 + 6 * K2 * M + 20 * M + 4, если шаг интегрирования выполняется с контролем точности, и 2 * K * K + 10 * K + 4 * K * M + 6 * M + 4, если шаг интегрирования выполняется без контроля точности (тип: с расширенной (Extended) точностью);
IERR -	целая переменная, служащая для сообщения об ошибках, обнаруженных в процессе работы подпрограммы в том случае, когда интегрирование выполняется с контролем точности; при этом:

IERR=0 -

нулевое значение параметра IERR свидетельствует об успешном окончании работы подпрограммы DE61E;

IERR=65 -
IERR=66

когда какая-нибудь компонента решения или производной не может быть вычислена с требуемой точностью EPS; при этом IERR=65 указывает, что требуемая точность не может быть достигнута на сегменте [X, X + H] при минимальной длине частичного сегмента H, равной HMIN, а IERR=66 показывает, что требуемая точность не может быть достигнута на сегменте [X, X + H], т.к. исчерпано заданное число сокращений NATTEM длины H элементарного сегмента. В обоих случаях интегрирование системы уравнений прекращается.

   Версии:  нет

   Вызываемые подпрограммы:   DE78E, DE98E

DE61E использует рабочие подпрограммы DE70EH, DE80EH, DE80EI, DE70EF, DE70EQ, DE71EE, DE70EP, DE71ET, DE71EP, DE71EI, DE71EF, DE71ES, DE70EA, DE70EC, DE75EK, DE75EE, DE75EN, DE98EK, DE98E1, DE98E0.

UTDE75 - подпрограмма выдачи диагностических сообщений.

   Замечания по использованию

В ообщем случае заданная точность не гарантируется.

Разбиение промежутка интегрирования на элементарные сегменты выполняется для того, чтобы на каждом таком сегменте ряды Чебышёва для решения и его первой и второй производных были быстросходящимися рядами; другими словами, чтобы убывание коэффициентов этих рядов Чебышёва на элементарном сегменте происходило достаточно быстро, вследствие чего можно было бы считать частичные суммы этих рядов близкими к многочленам наилучшего равномерного приближения на элементарном сегменте для решения и его производных.

Если при вычислении первого приближенного решения начальное приближение для коэффициентов Чебышёва правой части системы (т.е. функции Φ(α)) определяетс первым способом (т.е. при INIAPR = 1), то для получения максимального порядка точности первого приближенного решения в конце элементарного сегмента необходимо выполнить в итерационном процессе не менее K итераций; тогда IMAX ≥ K. Если начальное приближение коэффициентов Чебышёва функции Φ(α) определяется вторым способом (т.е. при INIAPR = 2), то для получения максимального порядка точности первого приближенного решения необходимо выполнить в итерационном процессе не менее K + 1 итераций; в этом случае IMAX ≥ K + 1. Однако в некоторых случаях при втором способе определения начального приближения итерационный процесс может сойтись за значительно меньшее число итераций.

Если длина сегмента оказалась достаточно малой (или, вернее сказать, сегмент выбран довольно удачно), то хорошая точность первого приближенного решения может быть получена и с существенно меньшим числом итераций при любом способе выбора начального приближения.

Для получения максимального порядка точности второго приближенного (оценивающего) решения необходимо выполнить в дополнительном итерационном процессе не менее (K2 - K) итераций. Указанное в данном разделе число итераций IMAX и IMAX2 носит асимптотический характер (когда все наши оценки справедливы при H --> 0). На практике же количество итераций в каждом из двух итерационных процессов зависит от длины сегмента, от заданной точности, от используемых порядков частичных сумм и от конкретной системы дифференциальных уравнений. Поэтому числа итераций в обоих итерационных процессах, т.е. значения параметров IMAX и IMAX2, могут быть как меньше, так и больше рекомендуемых здесь значений.

При работе подпрограммы значения параметров M, K, INIAPR, IMAX, IU, EPS, THRESH, MEXACT, NUMBES, MESTER, HMIN, HMAX, K2, IMAX2, NATTEM сохраняются. При многократном использовании подпрограммы DE61E со значением параметра JSTART = 1 для вычисления коэффициентов Чебышёва решения задачи Коши (1), (2) и его производных на последовательности элементарных сегментов, образующей промежуток интегрирования [XN, XK], значения параметров M, K, YX, DYX, X, AU, ADU, AJK, RAB не должны изменяться в вызывающей программе между последовательными обращениями к подпрограмме.

Подпрограмма DE61E использует глобальные записи (структуры данных) с именами _COM70D, _COM80D, _COM75D, _COM98D. Поэтому, если вызывающая (главная) программа содержит хотя бы одно обращение к DE61E со значением параметра JSTART = 1 (и, следовательно, число обращений к DE61E более одного), то данные глобальные записи (структуры данных) должны быть описаны в модуля Lstruct таким способом:

type
COM70D = record
elm1: Extended; // WC1
elm2: Integer; // WC2
elm3: Extended; // WC3
elm4: Integer; // LASN
elm5: Extended; // HD2
elm6: Extended; // HD4
elm7: Extended; // HOLD
end;

var
_COM70D : COM70D;

type
COM75D = record
elm1: Integer; // LASN0
elm2: Integer; // JLAS2
elm3: Extended; // WC30
elm4: Extended; // WC12
elm5: Extended; // WC22
elm6: Extended; // WC32
end;

var
_COM75D : COM75D;

type
COM80D = record
elm1: Integer; //JLAS
elm2: Integer; //JLAS1
elm3: Integer; //JLAS2
elm4: Integer; //JLAS3
elm5: Extended; //H2D4
elm6: Extended; //H2D8
elm7: Extended; //H2D16
elm8: Extended; //H2D32
elm9: Extended; //H2D96
end;
var
_COM80D : COM80D;

type
COM98D = record
elm1: Integer; //JLASA2
elm2: Integer; //JLAS12
elm3 Integer; //JLAS22
elm4: Integer; //JLAS32
elm5: Integer; //JLAS0
elm6: Integer; //JLAS10
elm7: Integer; //JLAS20
elm8: Integer; //JLAS30
end;

var
_COM98D : COM98D;

Глобальная запись (структуры данных) с именем _COM61D состоящая из 30 элементов целого типа (elm1...elm30), также должна быть описана в модуле Lstruct.

Пользователю не рекомендуется применять для своих целей глобальные записи (структуры данных) с указанными именами или изменять содержимое указанных структур. Если вызывающая программа содержит одно обращение к подпрограмме DE61E со значением параметра JSTART = 0 и при этом других обращений к DE61E нет (см. пример 1) или если вызывающая программа содержит несколько обращений к DE61E и при этом все обращения осуществляются с нулевым значением параметра JSTART, то указанные глобальные записи (структуры данных) описывать в вызывающей программе вовсе не обязательно.

При работе подпрограммы DE61E используется также глобальная запись (структура данных) _STAT76 с элементами целого типа elm1 /NACCEZ/ и elm2 /NREJEC/ для сбора полезной статистической информации, если шаг интегрирования выполняется с контролем точности. Такая структура также должна быть описана в модуле Lstruct. Если подпрограмма DE61E заканчивает свою работу со значением IERR = 0, то на выходе из подпрограммы переменная NACCEZ содержит значение, увеличенное на 1 по сравнению со значением этой переменной на входе в подпрограмму. Если же подпрограмма DE61E заканчивает свою работу со значением IERR = 65 или IERR = 66, то значение переменной NACCEZ остается без изменения.

Переменная NREJEC учитывает, сколько раз сокращалась длина сегмента [X, X + H] при вычислении решения и его производной с требуемой точностью. Если заданная точность была достигнута при первоначальной длине сегмента (задаваемой параметром H при входе в подпрограмму DE61E), то значение переменной NREJEC на выходе из подпрограммы равно значению этой переменной на входе в подпрограмму; если же первоначально заданная длина H подвергалась сокращению, то значение переменной NREJEC (которое эта переменная имела на входе в подпрограмму) увеличивается на столько, сколько раз сокращалась длина сегмента.

Таким образом, переменная NACCEZ подсчитывает число выбранных (или принятых) подпрограммой DE61E сегментов, а переменная NREJEC подсчитывает число отклоненных сегментов при решении дифференциальных уравнений на всем промежутке интегрирования. Если шаг интегрирования выполняется без контроля точности, то значения переменных NACCER, NREJEC из глобальной структуры _STAT76 при работе DE61E не используются и описывать глобальную запись (структуру данных) _STAT76 в вызывающей программе не обязательно (см. примеры 1 и 2).

Пример использования

Использование комплекса (подпрограммы) DE61E иллюстрируется на трех примерах. В первых двух примерах решается задача Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка:


(9)    y''₁ = -2qy'₂ - ((1 -e^{3-y₁ + y'₂/(2q)}) / (x+1))² , 

       y''₂ = 2qy'₁ - (y'₂ - 2q (y₁ - 3))² ,       q = 1/2 ,      0 ≤ x ≤ x_f ,     x_f = 1 .

Частное решение системы (9) имеет вид


      y₁(x) = 3 + cos q(2x - 1) ,                    y₂(x) = 2 + sin q(2x - 1) .

Функции y₁(x), y₂(x) разлагаются на отрезке [0, 1] в смещенные ряды Чебышёва, коэффициенты которых выражаются через цилиндрические функции:

 
                                                 _∞
(10)       y₁(x) = 3 + J₀ (q) + 2 ∑ (-1)ⁱ J_2i (q) T_2i^* (x) ,
                                                ⁱ⁼¹

                                    _∞
(11)       y₂(x) = 2 + 2 ∑ (-1)ⁱ J_2i+1 (q) T_2i+1^* (x) .
                                   ⁱ⁼⁰

Вычисления в первых двух примерах на Паскале проводились с 19-20 значащими цифрами без контроля точности.

1) Начальное условие задачи Коши для системы (9)

 
XN = 0 ,        y₁(0) = 3 + cos q ,         y₂(0) = 2 - sin q ,         y'₁(0) = 2q sin q ,       y'₂(0) = 2q cos q.

Рассматривается один элементарный сегмент [0, 1]. Выполняется одно обращение к комплексу (подпрограмме) DE61E из начальной точки X = 0 с шагом H = 1. Вычисляются решение YX и производная DYX в конце данного сегмента, т.е. при X = 1, коэффициенты Чебышёва AU решения на данном сегменте, коэффициенты Чебышёва первой производной решения ADU на этом же сегменте и коэффициенты Чебышёва AJK его второй производной. Приводятся подпрограмма вычисления правой части системы (9), вызывающая программа, результаты счета, включая точные значения решения YT и производной DYT в точке X = 1, абсолютную погрешность DELY приближенного решения YX и абсолютную погрешность DELDY приближенного значения производной DYX, вычисленных в точке X = 1. Кроме вышеперечисленного приводятся: значения параметров XP, X на выходе из подпрограммы, которые представляют элементарный сегмент [0, 1]; значения параметров H, K, INIAPR, IMAX, при которых были вычислены приближенное решение YX и коэффициенты Чебышёва.

Unit fde61e1_p;
interface
uses
SysUtils, Math, { Delphi }
Lstruct, Lfunc;
procedure fde61e1(X :Extended; var Y :Array of Extended;
                var DY :Array of Extended; var Z :Array of Extended;
                M :Integer);
implementation
procedure fde61e1(X :Extended; var Y :Array of Extended;
                var DY :Array of Extended; var Z :Array of Extended;
                M :Integer);
var
Q :Extended;
begin
Q := 0.5e0;
Z[0] := -2.e0*Q*DY[1]-IntPower((1.e0-Exp(3.e0-Y[0]+0.5e0*DY[1]/Q))/(X+1.e0),2);
Z[1] := 2.e0*Q*DY[0]-IntPower(DY[1]-2.e0*Q*(Y[0]-3.e0),2);
end;
end.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
function tde61e1: String;
var
M0,K0,IMAX,JSTART,INIAPR,_i,NX,KP3,KP2,KP1,L,J,KP,IERR :Integer;
H,XK,Q,X1,X,ХР :Extended;
BUL :Boolean;
DELY :Array [0..1] of Extended;
DELDY :Array [0..1] of Extended;
YT :Array [0..1] of Extended;
DYT :Array [0..1] of Extended;
YX :Array [0..1] of Extended;
DYX :Array [0..1] of Extended;
AU :Array [0..27] of Extended;
ADU :Array [0..25] of Extended;
AJK :Array [0..23] of Extended;
RАВ :Array [0..455] of Extended;
//=============================
CON1,CON2,CON3,CON4 : Integer;
CON5,CON6 : Extended;
aIU :Array [0..1] of Integer;
aNUMBES  :Array [0..1] of Integer;
МЕХАСТ :Array [0..1] of Integer;
//=============================
const
K :Integer = 11;
M :Integer = 2;
label
_20;
begin
MEXACT[0] := 0;
MEXACT[1] := 0;
//=============================
{      (  The long of working array  RАВ  is equal to }
{  }
{             2*K*K+5*K+4*K*M+K2*K2+8*K2+6*K2*M+20*M+4,  if control preci }
{          or }
{             2*K*K+10*K+4*K*M+6*M+4,  if without control precision ) }
{ __________________________________________________________________ }
{  }
M0 := M;
K0 := K;
Q := 0.5e0;
{  }
{    +++++++++++++++++++++++ }
{  }
X := 0.e0;
X1 := (2)*X-1.e0;
YX[0] := Cos(Q*X1)+3.e0;
YX[1] := Sin(Q*X1)+2.e0;
DYX[0] := -2.e0*Q*Sin(Q*X1);
DYX[1] := 2.e0*Q*Cos(Q*X1);
H := 1.e0;
ХК := X+H;
X1 := (2)*XK-1.e0;
YT[0] := Cos(Q*X1)+3.e0;
YT[1] := Sin(Q*X1)+2.e0;
DYT[0] := -2.e0*Q*Sin(Q*X1);
DYT[1] := 2.e0*Q*Cos(Q*X1);
IМАХ := 16;
JSTART := 0;
INIAPR := 1;
{  }
//=============================
aIU[0] := M0;
aNUMBES[0] := M0;
CON1 := 1;
CON2 := 1;
CON3 := 1;
CON4 := 1;
CON5 := 1.e0;
CON6 := 2.e0;
//=============================
DE61E(fde61e1,M0,K0,INIAPR,IMAX,JSTART,YX,DYX,X,AU,ADU,AJK,
     H,XP,MEXACT,aIU[0],XK,XK,aNUMBES[0],CON1,CON2,CON3,CON4,CON5,CON6,BUL,RAB,
     IERR);
{  }
DELY[0] := YT[0]-YX[0];
DELY[1] := YT[1]-YX[1];
DELDY[0] := DYT[0]-DYX[0];
DELDY[1] := DYT[1]-DYX[1];
{  }
// Операторы вывода на печать: H, K, INIAPR, IMAX, YX, YT, DELY, DYX, DYT, DELDY, AU, ADU, AJK 
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
end;

Результаты:
------------------------------------------------------------------------
XP=  0,0000000000000000      X=  1,0000000000000000 
 H=  1,0000000000000000    K=11    INIAPR=1    IMAX=16    JSTART=1 
 YX = 3,87758256189037272E+000       2,47942553860420300E+000 
 YT = 3,87758256189037272E+000       2,47942553860420300E+000 
 DELY = 4,33680868994201774E-019      -4,33680868994201774E-019 

 DYX= -4,79425538604203010E-001       8,77582561890372720E-001 
 DYT= -4,79425538604203000E-001       8,77582561890372716E-001 
 DELDY= 9,26992857475106291E-018      -3,68628738645071508E-018 

  
COEFFICIENTS AU,ADU AND AJK ON   1   SEGMENT  
 -------------------------------------------------------------------------------------
   Number of                         Chebyshev coefficients for 1  component
              ------------------------------------------------------------------------
 coefficient           for Y                  for Y'                    for Y''
 -------------------------------------------------------------------------------------
      0            7,87693961448162581E+000      -1,62969139051727385E-018      -1,87693961448162585E+000 
      1           -1,43995601033231058E-020      -4,84536915349747775E-001      -3,57041327926632679E-017 
      2           -6,12080469173652827E-002      -1,57971644662927013E-018       6,12080469173652526E-002 
      3           -6,29274893731007294E-020       5,12745998917448695E-003      -2,30664012196291068E-017 
      4            3,21472952728575153E-004      -8,24586574152061380E-019      -3,21472952728590798E-004 
      5           -2,66744792306166748E-020      -1,61072544827154893E-005      -9,87301603319612475E-018 
      6           -6,72136925723786440E-007      -2,91096989539727883E-019       6,72136925718989410E-007 
      7           -7,68127794727337242E-021       2,40317346553852059E-008      -2,88668828424265556E-018 
      8            7,51644630955338995E-010      -7,60212070160734554E-020      -7,51644631796354479E-010 
      9            1,69977160255607756E-019      -2,08935351856419877E-011      -4,54009659728304982E-019 
     10           -5,22635331281252579E-013      -6,19519897621795268E-018       5,22634886757078476E-013 
     11           -2,57918323980800914E-019       1,18780656081154199E-014       2,47353949388989802E-016 
     12            2,47459700169071248E-016       5,15320727893728755E-018  
     13            9,91001399795632220E-020 
 -------------------------------------------------------------------------------------
   Number of                         Chebyshev coefficients for 2  component
              ------------------------------------------------------------------------
 coefficient           for Y                  for Y'                    for Y''
 -------------------------------------------------------------------------------------
      0            4,00000000000000000E+000       1,87693961448162581E+000       1,76216734346784643E-017 
      1            4,84536915349747773E-001       9,29195143137967472E-019      -4,84536915349747756E-001 
      2            4,61280025858904393E-020      -6,12080469173652819E-002       1,39048928621265944E-017 
      3           -5,12745998917448812E-003       5,60171122450843958E-019       5,12745998917449884E-003 
      4            1,95735196894681237E-020       3,21472952728575581E-004       7,18283939271646688E-018 
      5            1,61072544827149609E-005       2,46994807419353979E-019      -1,61072544827104512E-005 
      6            7,57388627003220220E-021      -6,72136925723637221E-007       2,24294324432938730E-018 
      7           -2,40317346555225512E-008       6,52215369385811261E-020       2,40317346568421025E-008 
      8           -3,58518459271872262E-021       7,51644630994214278E-010       4,16740210049115767E-019 
      9            2,08935351719506413E-011       1,79947443905580250E-019      -2,08935349727543736E-011 
     10            7,94264505818028649E-021      -5,22635196008807519E-013      -6,06136777055177323E-018 
     11           -1,18836942594794924E-014      -1,37758358421631210E-019       1,18728675979271059E-014 
     12           -2,86996580045065020E-021       2,47351408290148039E-016  
     13            4,75675785173361614E-018 
-----------------------------------------------------------------------

2) Начальное условие задачи Коши для системы (9)


   XN = - 0,5 ,     y₁(XN) = 3 + cos q (2 * XN - 1) ,        y₂(XN) = 2 + sin q (2 * XN - 1) ,  


                            y'₁(XN) = - 2q sin q (2 * XN - 1) ,       y'₂(XN) = 2q cos q (2*XN-1) .

Рассматриваются два элементарных сегмента: [- 0,5, 0] и [0, 1]. Выполняются два обращения к комплексу (подпрограмме) DE61E. Первое обращение осуществляется из начальной точки X = - 0,5 с шагом H = 0,5. Второе обращение осуществляется из точки X = 0 с шагом H = 1. Приводятся вызывающая программа и результаты счета. В качестве выходных данных, полученных после каждого обращения к подпрограмме DE61E, приводятся: значения параметров XP, X (которые последовательно представляют границы каждого из двух элементарных сегментов); значения параметров H, K, INIAPR, IMAX, при которых было вычислено приближенное значение решения YX в конце каждого элементарного сегмента; приближенные значения решения YX и производной DYX в конце каждого элементарного сегмента; точные значения решения YT и производной DYT в конце каждого элементарного сегмента; абсолютные погрешности DELY и DELDY приближенных значений YX и DYX. После этого для каждого элементарного сегмента приводятся приближенные значения коэффициентов Чебышёва AU для компонент решения y₁(x), y₂(x), приближенные значения коэффициентов Чебышёва ADU их первых производных y'₁(x), y'₂(x) и приближенные значения коэффициентов Чебышёва AJK их вторых производных y''₁(x), y''₂(x).

Unit fde61e2_p;
interface
uses
SysUtils, Math, { Delphi }
Lstruct, Lfunc;
procedure fde61e2(X :Extended; var Y :Array of Extended;
                var DY :Array of Extended; var Z :Array of Extended;
                M :Integer);
implementation
procedure fde61e2(X :Extended; var Y :Array of Extended;
                var DY :Array of Extended; var Z :Array of Extended;
                M :Integer);
var
Q :Extended;
begin
Q := 0.5e0;
Z[0] := -2.e0*Q*DY[1]-IntPower((1.e0-Exp(3.e0-Y[0]+0.5e0*DY[1]/Q))/(X+1.e0),2);
Z[1] := 2.e0*Q*DY[0]-IntPower(DY[1]-2.e0*Q*(Y[0]-3.e0),2);
end;
end.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
function tde61e2: String;
var
M0,K0,IMAX,JSTART,INIAPR,_i,NX,KP3,KP2,KP1,L,J,KP,IERR :Integer;
H,XK,Q,X1,X,XP :Extended;
BUL :Boolean;
DELY :Array [0..1] of Extended;
DELDY :Array [0..1] of Extended;
YT :Array [0..1] of Extended;
DYT :Array [0..1] of Extended;
YX :Array [0..1] of Extended;
DYX :Array [0..1] of Extended;
AU :Array [0..27] of Extended;
ADU :Array [0..25] of Extended;
AJK :Array [0..23] of Extended;
RAB :Array [0..455] of Extended;
//=============================
CON1,CON2,CON3,CON4 : Integer;
CON5,CON6 : Extended;
aIU :Array [0..1] of Integer;
aNUMBES  :Array [0..1] of Integer;
MEXACT :Array [0..1] of Integer;
//=============================
const
K :Integer = 11;
M :Integer = 2;
label
_1,_15,_20,_2;
begin
{  }
{      (  The long of working array  RAB  is equal to }
{  }
{             2*K*K+5*K+4*K*M+K2*K2+8*K2+6*K2*M+20*M+4,  if control preci }
{          or }
{             2*K*K+10*K+4*K*M+6*M+4,  if without control precision ) }
{ __________________________________________________________________ }
{  }
M0 := M;
K0 := K;
Q := 0.5e0;
{  }
X := -0.5e0;
X1 := (2)*X-1.e0;
YX[0] := Cos(Q*X1)+3.e0;
YX[1] := Sin(Q*X1)+2.e0;
DYX[0] := -2.e0*Q*Sin(Q*X1);
DYX[1] := 2.e0*Q*Cos(Q*X1);
H := 0.5e0;
XK := X+H;
X1 := (2)*XK-1.e0;
YT[0] := Cos(Q*X1)+3.e0;
YT[1] := Sin(Q*X1)+2.e0;
DYT[0] := -2.e0*Q*Sin(Q*X1);
DYT[1] := 2.e0*Q*Cos(Q*X1);
IMAX := 14;
JSTART := 0;
INIAPR := 1;
//=============================
aIU[0] := M0;
aNUMBES[0] := M0;
CON1 := 1;
CON2 := 1;
CON3 := 1;
CON4 := 1;
CON5 := 1.e0;
CON6 := 2.e0;
//=============================
DE61E(fde61e2,M0,K0,INIAPR,IMAX,JSTART,YX,DYX,X,AU,ADU,AJK,
     H,XP,MEXACT,aIU[0],XK,XK,aNUMBES[0],CON1,CON2,CON3,CON4,CON5,CON6,BUL,RAB,
     IERR);
{  }
DELY[0] := YT[0]-YX[0];
DELY[1] := YT[1]-YX[1];
DELDY[0] := DYT[0]-DYX[0];
DELDY[1] := DYT[1]-DYX[1];
{  }
// Операторы вывода на печать: H, K, INIAPR, IMAX, YX, YT, DELY, DYX, DYT, DELDY, AU, ADU, AJK 
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
NX := 1;
. . . . . .
H := 1.e0;
XK := X+H;
X1 := (2)*XK-1.e0;
YT[0] := Cos(Q*X1)+3.e0;
YT[1] := Sin(Q*X1)+2.e0;
DYT[0] := -2.e0*Q*Sin(Q*X1);
DYT[1] := 2.e0*Q*Cos(Q*X1);
IMAX := 16;
INIAPR := 2;
{  }
//=============================
aIU[0] := M0;
aNUMBES[0] := M0;
CON1 := 1;
CON2 := 1;
CON3 := 1;
CON4 := 1;
CON5 := 1.e0;
CON6 := 2.e0;
//=============================
DE61E(fde61e2,M0,K0,INIAPR,IMAX,JSTART,YX,DYX,X,AU,ADU,AJK,
     H,XP,MEXACT,aIU[0],XK,XK,aNUMBES[0],CON1,CON2,CON3,CON4,CON5,CON6,BUL,RAB,
     IERR);
{  }
DELY[0] := YT[0]-YX[0];
DELY[1] := YT[1]-YX[1];
DELDY[0] := DYT[0]-DYX[0];
DELDY[1] := DYT[1]-DYX[1];
{  }
// Операторы вывода на печать: H, K, INIAPR, IMAX, YX, YT, DELY, DYX, DYT, DELDY, AU, ADU, AJK 
end;

Результаты:
------------------------------------------------------------------------
RESULTS AFTER THE FIRST CALL procedure DE61E

 XP= -0,5000000000000000      X=  0,0000000000000000 
 H=  0,5000000000000000    K=11    INIAPR=1    IMAX=14    JSTART=1 
 YX = 3,87758256189037272E+000       1,52057446139579700E+000 
 YT = 3,87758256189037272E+000       1,52057446139579700E+000 
 DELY = 2,16840434497100887E-019      -1,08420217248550443E-019 

 DYX= 4,79425538604203000E-001       8,77582561890372716E-001 
 DYT= 4,79425538604203000E-001       8,77582561890372716E-001 
 DELDY= 0,00000000000000000E+000       0,00000000000000000E+000 

  
COEFFICIENTS AU,ADU AND AJK ON   1   SEGMENT  
 -------------------------------------------------------------------------------------
   Number of                         Chebyshev coefficients for 1  component
              ------------------------------------------------------------------------
 coefficient           for Y                  for Y'                    for Y''
 -------------------------------------------------------------------------------------
      0            7,44060162317046236E+000       1,34205937233528741E+000      -1,44060162317046236E+000 
      1            1,69081826785891485E-001      -1,81496854116472444E-001      -1,69081826785891485E-001 
      2           -1,13732097613171971E-002      -1,05952419518444701E-002       1,13732097613171973E-002 
      3           -4,42044443620037666E-004       4,74502064602709420E-004       4,42044443620037675E-004 
      4            1,48397891478288816E-005       1,38246950364338549E-005      -1,48397891478287704E-005 
      5            3,45797545845524160E-007      -3,71188127814792164E-007      -3,45797545845681110E-007 
      6           -7,73596476262452226E-009      -7,20679738711152472E-009       7,73596476291618217E-009 
      7           -1,28728735897756867E-010       1,38180791184904005E-010       1,28728735672076471E-010 
      8            2,15954359454761674E-012       2,01182316285981712E-012      -2,15954343844209154E-012 
      9            2,79468409224580209E-014      -2,99988661434666751E-014      -2,79467509518242091E-014 
     10           -3,75039083027354612E-016      -3,49383557160390726E-016       3,74923887509065468E-016 
     11           -3,97073332249106992E-018       4,26049872169392577E-018       3,93362100704897077E-018 
     12            4,43801950176450601E-020       4,09752188234267789E-020  
     13            3,93992488686795951E-022 
 -------------------------------------------------------------------------------------
   Number of                         Chebyshev coefficients for 2  component
              ------------------------------------------------------------------------
 coefficient           for Y                  for Y'                    for Y''
 -------------------------------------------------------------------------------------
      0            2,65794062766471259E+000       1,44060162317046236E+000       1,34205937233528741E+000 
      1            1,81496854116472444E-001       1,69081826785891485E-001      -1,81496854116472444E-001 
      2            1,05952419518444701E-002      -1,13732097613171971E-002      -1,05952419518444704E-002 
      3           -4,74502064602709416E-004      -4,42044443620037672E-004       4,74502064602709417E-004 
      4           -1,38246950364338500E-005       1,48397891478288750E-005       1,38246950364337022E-005 
      5            3,71188127814787548E-007       3,45797545845528644E-007      -3,71188127814582863E-007 
      6            7,20679738711310283E-009      -7,73596476262692042E-009      -7,20679738744356164E-009 
      7           -1,38180791182638948E-010      -1,28728735900291348E-010       1,38180791509317624E-010 
      8           -2,01182316774769301E-012       2,15954360086065918E-012       2,01182297275386002E-012 
      9            2,99988700133484528E-014       2,79468355610041626E-014      -2,99989457645637170E-014 
     10            3,49385045029375852E-016      -3,75040100429428758E-016      -3,49187638439690806E-016 
     11           -4,26232385310318944E-018      -3,96804134590557734E-018       4,26226979058363931E-018 
     12           -4,13337640198497640E-020       4,43986436519129094E-020  
     13            4,26910035114547206E-022 
 -------------------------------------------------------------------------------------
 
 RESULTS AFTER THE SECOND CALL procedure DE61E

 XP=  0,0000000000000000      X=  1,0000000000000000 
 H=  1,0000000000000000    K=11    INIAPR=2    IMAX=16    JSTART=1 
 YX = 3,87758256189037272E+000       2,47942553860420300E+000 
 YT = 3,87758256189037272E+000       2,47942553860420300E+000 
 DELY = -2,16840434497100887E-019      -4,33680868994201774E-019 

 DYX= -4,79425538604203002E-001       8,77582561890372716E-001 
 DYT= -4,79425538604203000E-001       8,77582561890372716E-001 
 DELDY= 1,78893358460108232E-018      -2,16840434497100887E-019 

 -------------------------------------------------------------------------------------
  
COEFFICIENTS AU,ADU AND AJK ON   2   SEGMENT  
 -------------------------------------------------------------------------------------
   Number of                         Chebyshev coefficients for 1  component
              ------------------------------------------------------------------------
 coefficient           for Y                  for Y'                    for Y''
 -------------------------------------------------------------------------------------
      0            7,87693961448162581E+000       3,08319992800565323E-019      -1,87693961448162581E+000 
      1            9,06325253562101363E-020      -4,84536915349747773E-001      -2,57498015965307303E-019 
      2           -6,12080469173652826E-002      -2,45639554703747098E-020       6,12080469173652828E-002 
      3           -3,35283874954827218E-021       5,12745998917448816E-003      -6,09863722023096244E-020 
      4            3,21472952728575195E-004       1,56701095242045563E-020      -3,21472952728575097E-004 
      5            5,57630023609081057E-022      -1,61072544827149645E-005      -3,11708124589582525E-019 
      6           -6,72136925723770743E-007       4,51750905202293514E-021       6,72136925724193580E-007 
      7            5,92418876799882678E-022       2,40317346555333156E-008      -4,20128341838132968E-019 
      8            7,51644630959149803E-010      -1,20702194983737798E-020      -7,51644630739257361E-010 
      9            1,71461820782600710E-019      -2,08935351594780811E-011      -3,38813178901720136E-020 
     10           -5,22635330692607460E-013      -6,18469576767199936E-018       5,22635001953559303E-013 
     11           -2,57679614695665611E-019       1,18780682262172569E-014       2,47353949388989802E-016 
     12            2,47459754712859518E-016       5,15320727893728755E-018  
     13            9,91001399795632220E-020 
 -------------------------------------------------------------------------------------
   Number of                         Chebyshev coefficients for 2  component
              ------------------------------------------------------------------------
 coefficient           for Y                  for Y'                    for Y''
 -------------------------------------------------------------------------------------
      0            4,00000000000000000E+000       1,87693961448162581E+000       2,20228566286118088E-019 
      1            4,84536915349747773E-001       7,96210970419042319E-020      -4,84536915349747773E-001 
      2            1,03055675249273208E-020      -6,12080469173652826E-002      -9,82558218814988393E-020 
      3           -5,12745998917448815E-003      -2,82344315751433446E-021       5,12745998917448819E-003 
      4           -3,56459698636184726E-022       3,21472952728575189E-004      -6,43745039913268258E-020 
      5            1,61072544827149481E-005       2,87991202066462115E-021      -1,61072544827148287E-005 
      6            2,15791727038595563E-022      -6,72136925723772464E-007      -1,21972744404619249E-019 
      7           -2,40317346555262999E-008      -2,29908942826167235E-021       2,40317346557104665E-008 
      8           -5,33345051212603596E-021       7,51644630963932851E-010      -5,75982404132924231E-020 
      9            2,08935351712224282E-011       1,68371326959771478E-019      -2,08935351353846995E-011 
     10            7,68596840749716517E-021      -5,22635200074565666E-013      -6,11896601096506565E-018 
     11           -1,18836943518830867E-014      -1,39067409340115128E-019       1,18728675979271059E-014 
     12           -2,89723769458573184E-021       2,47351408290148039E-016  
     13            4,75675785173361614E-018 
-----------------------------------------------------------------------

3) В данном примере решается задача Коши

       y'' = qy',   y(0) = e^q,   y'(0) = qe^q,   q = 4,   0 ≤ x ≤ x_f,   x_f = 7.

с контролем точности для решения и его производной. Точное решение задачи Коши y(x) = e^q(1+x). Используется шесть сегментов разбиения промежутка интегрирования [0, x_f], и на всех шести сегментах решение приближается частичными суммами ряда Чебышёва одного и того же порядка K + 2 при K = 18; погрешность этого решения вычисляется с помощью оценивающего решения, которое представляется частичной суммой тоже одного и того же порядка K2 + 2 при K2 = 25. Производная приближается соответственно частичной суммой ряда Чебышёва порядка K + 1, а ее погрешность вычисляется с помощью производной оценивающего решения, которая представляется частичной суммой порядка K2 + 1. Пример содержит шесть обращений к комплексу (подпрограмме) DE61E. Приводятся вызывающая программа, подпрограмма вычисления правой части дифференциального уравнения, а также результаты счета на произвольном элементарном сегменте после каждого обращения к подпрогрмме. Результаты включают границы элементарного сегмента [XP, X]; приближенное значение YX решения в конце X сегмента, точное значение YT решения в X, относительную погрешность (YT - YX) / YX приближенного решения; приближенное значение DYX производной в конце сегмента X, точное значение производной DYT в X, относительную погрешность (DYT - DYX) / DYX производной; рекомендуемую длину следующего элементарного сегмента H, значения параметров K, IMAX, K2, IMAX2, значения параметра JSTART на входе в подпрограмму и на выходе из нее, значения переменных NACCEP, NREJEC из глобальной структуры _STAT76 и число обращений к правой части N; значение логической переменной BUL. Приводятся также вычисленные на каждом элементарном сегменте [XP, X] коэффициенты Чебышёва AU для решения Y, коэффициенты Чебышёва ADU для его первой производной Y' и коэффициенты Чебышёва AJK для второй производной Y''.

Unit fde61e3_p;
interface
uses
SysUtils, Math, { Delphi }
Lstruct, Lfunc;
procedure fde61e3(X :Extended; var Y :Array of Extended;
                var DY :Array of Extended; var Z :Array of Extended;
                M :Integer);
implementation
procedure fde61e3(X :Extended; var Y :Array of Extended;
                var DY :Array of Extended; var Z :Array of Extended;
                M :Integer);
begin
Z[0] := _BLOCK.elm2*DY[0];
_BLOCK.elm1 := _BLOCK.elm1+1;
end;
end.

function tde61e3: String;
var
M0,K0,INIAPR,IMAX,MESTER,K20,IMAX2,NATTEM,JSTART,KP1,KP2,KP3,NX,L,J,
   IERR,KP :Integer;
X,YX,DYX,H,HMIN,HMAX,XP,YT,DYT,XK :Extended;
BUL :Boolean;
AU :Array [0..20] of Extended;
ADU :Array [0..19] of Extended;
AJK :Array [0..18] of Extended;
RAB :Array [0..1808] of Extended;
tBUL : String;
//==================================================
IU :Array [0..1] of Integer;
EPS :Array [0..1] of Extended;
THRESH :Array [0..1] of Extended;
MEXACT :Array [0..1] of Integer;
NUMBES :Array [0..1] of Integer;
//==================================================
const
K :Integer = 18;
K2 :Integer = 25;
M :Integer = 1;
label
_10,_20;
begin
IU[0] := 2;
IU[1] := 2;
EPS[0] := 0.5e-11;
EPS[1] := 0.5e-11;
THRESH[0] := 1.e0;
THRESH[1] := 1.e0;
MEXACT[0] := 1;
MEXACT[1] := 1;
NUMBES[0] := 1;
NUMBES[1] := 1;
//==================================================
Result := '';  { результат функции }
{  }
{      (  The long of working array  RAB  is equal to }
{  }
{             2*K*K+5*K+4*K*M+K2*K2+8*K2+6*K2*M+20*M+4,  if control preci }
{          or }
{             2*K*K+10*K+4*K*M+6*M+4,  if without control precision ) }
{ __________________________________________________________________ }
{  }
_STAT76.elm2 := 0;
_STAT76.elm1 := 0;
{  }
M0 := M;
_BLOCK.elm2 := 4.0e0;
_BLOCK.elm1 := 0;
X := 0.0;
YX := Exp(_BLOCK.elm2);
DYX := _BLOCK.elm2*YX;
XK := 7.e0;
K0 := K;
INIAPR := 1;
IMAX := 28;
MESTER := 1;
H := 1.e0;
HMIN := 1.e-3;
HMAX := XK;
K20 := K2;
IMAX2 := 3;
NATTEM := 3;
{  }
JSTART := 0;
BUL := False;
{  }
KP1 := K0+1;
KP2 := K0+2;
KP3 := K0+3;
{  }
for NX:=1 to 6 do
 begin
{  }
  DE61E(fde61e3,M0,K0,INIAPR,IMAX,JSTART,YX,DYX,X,AU,ADU,AJK,
       H,XP,MEXACT,IU,EPS,THRESH,NUMBES,MESTER,K20,IMAX2,
       NATTEM,HMIN,HMAX,BUL,RAB,IERR);
{  }
// Операторы вывода на печать: H, K, INIAPR, IMAX, YX, YT, DELY, DYX, DYT, DELDY, AU, ADU, AJK 
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
{  }
{ --------------------------------------------------------- }
{  }
{               Example (described in Fortpan) }
{  }
{         Calculation value of partial sum for derivative on sixth segmen }
{                           at point XK }
{       For this map point XK onto interval  [-1, 1] }
{  }
{       T=2.e0*(XK-XP)/(X-XP)-1.e0 }
{       CALL DE70DC(M,KP1,T,ADU,DY,ZFI(1,KP2)) }
{               (ZFI - is working two-dimension  array  M*KP2) }
{  }
{         Calculation value of partial sum for solution on sixth segment }
{                           at point XK }
{  }
{       CALL DE70DC(M,KP2,T, AU, Y,ZFI(1,KP2)) }
{  }
{       YT=EXP(Q*(XK+1.e0)) }
{       DYT=Q*YT }
{       PRINT 1, XK }
{       PRINT 2, Y,DY,YT,DYT,(YT-Y)/Y,(DYT-DY)/DY }
{  }
end;

Результаты:
------------------------------------------------------------------------
 JSTART (input) =0 
  
RESULTS AFTER 1-nd CALL procedure DE61E

 IERR= 0    N=  666    NACCEP=  1    NREJEC=  0    BUL=False
 XP=      0,00000000000000000E+000      X=      1,00000000000000000E+000 
 H =    1,7162533056816419    K=18    INIAPR=1    IMAX =28    JSTART (exit) =1  
                                                  K2=25  IMAX2= 3 
 It is advisable to take the next segment   H =   1,7162533056816419 
 YX =      2,98095798704172828E+003         DYX =      1,19238319481669131E+004  
 YT =      2,98095798704172828E+003         DYT =      1,19238319481669131E+004  
 (YT-YX)/YX =     -4,46926000078356152E-019     (DYT-DYX)/DYX =     -5,21413666758082177E-019 

  
           Coefficients AU, ADU and AJK  on   1   segment  
 ----------------------------------------------------------------
   Number of               Chebyshev coefficients for 1  component
              ------------------------------------------------------------------------
 coefficient         for Y                  for Y'                  for Y''
 -------------------------------------------------------------------------------------
      0           1,83930069637042288E+003       7,35720278548169154E+003       2,94288111419267661E+004 
      1           1,28341741430283353E+003       5,13366965721133410E+003       2,05346786288453364E+004 
      2           5,55883282067589359E+002       2,22353312827035743E+003       8,89413251308142974E+003 
      3           1,71650850167654808E+002       6,86603400670619233E+002       2,74641360268247693E+003 
      4           4,09307315646249336E+001       1,63722926258499734E+002       6,54891705033998937E+002 
      5           7,92792390915507391E+000       3,17116956366202957E+001       1,26846782546481182E+002 
      6           1,29111201884956405E+000       5,16444807539825621E+000       2,06577923015930236E+001 
      7           1,81251796057689625E-001       7,25007184230758464E-001       2,90002873692303327E+000 
      8           2,23494464457366862E-002       8,93977857829467032E-002       3,57591143131786599E-001 
      9           2,45622449179612735E-003       9,82489796718450664E-003       3,92995918687387702E-002 
     10           2,43426019571520271E-004       9,73704078286118536E-004       3,89481631314436000E-003 
     11           2,19642960809140037E-005       8,78571843236958029E-005       3,51428737294028765E-004 
     12           1,81876268148271868E-006       7,27505072590237459E-006       2,91002029017446706E-005 
     13           1,39143903152865316E-007       5,56575612525306509E-007       2,22630245071478439E-006 
     14           9,89194048787709822E-009       3,95677619533781452E-008       1,58271050428732130E-007 
     15           6,56736288586542544E-010       2,62694520418900919E-009       1,05077813256082564E-008 
     16           4,08961537934832197E-011       1,63584638185592518E-010       6,54338177391577958E-010 
     17           2,39784329047044730E-012       9,59136140608313530E-012       3,83644817303352426E-011 
     18           1,32825871686546612E-013       5,31294433602101811E-013       2,12560177792475713E-012 
     19           6,97276526742657699E-015       2,78986446517792112E-014  
     20           3,48271497793810597E-016 
 ****************************************************************
 JSTART (input) =1 
  
RESULTS AFTER 2-nd CALL procedure DE61E
 IERR= 0    N= 1997    NACCEP=  2    NREJEC=  1    BUL=False
 XP=      1,00000000000000000E+000      X=      2,46769109280040626E+000 
 H =    1,5248616667386368    K=18    INIAPR=1    IMAX =28    JSTART (exit) =1  
                                                  K2=25  IMAX2= 3 
 It is advisable to take the next segment   H =   1,5248616667386368 
 YX =      1,05680881270396326E+006         DYX =      4,22723525081585232E+006  
 YT =      1,05680881270396296E+006         DYT =      4,22723525081585183E+006  
 (YT-YX)/YX =     -2,83676846245111924E-016     (DYT-DYX)/DYX =     -1,15428614342436536E-016 

  
           Coefficients AU, ADU and AJK  on   2   segment  
 ----------------------------------------------------------------
   Number of               Chebyshev coefficients for 1  component
              ------------------------------------------------------------------------
 coefficient         for Y                  for Y'                  for Y''
 -------------------------------------------------------------------------------------
      0           5,20036529199655115E+005       2,08014611679862041E+006       8,32058446719447771E+006 
      1           4,18677368129152193E+005       1,67470947251660870E+006       6,69883789006643090E+006 
      2           2,34773935331690014E+005       9,39095741326759942E+005       3,75638296530703603E+006 
      3           9,87545499239492562E+004       3,95018199695796897E+005       1,58007279878318429E+006 
      4           3,29169838075335939E+004       1,31667935230134262E+005       5,26671740920534356E+005 
      5           9,04361832804555984E+003       3,61744733121821514E+004       1,44697893248726542E+005 
      6           2,10798601362444985E+003       8,43194405449773554E+003       3,37277762179894486E+004 
      7           4,26058308917797581E+002       1,70423323567114637E+003       6,81693294268356646E+003 
      8           7,59452272120609389E+001       3,03780908848215178E+002       1,21512363539220583E+003 
      9           1,21007529465012797E+001       4,84030117859875924E+001       1,93612047143554441E+002 
     10           1,74243545789124677E+000       6,96974183155486810E+000       2,78789673259944888E+001 
     11           2,28803416801126035E-001       9,15213667199023789E-001       3,66085466867594711E+000 
     12           2,76075917543408716E-002       1,10430367014542561E-001       4,41721467997482353E-001 
     13           3,08078165077010657E-003       1,23231266017503438E-002       4,92925063791100904E-002 
     14           3,19723307568031863E-004       1,27889322970336112E-003       5,11557290525010977E-003 
     15           3,10075339662916995E-005       1,24030135444645749E-004       4,96120535588673306E-004 
     16           2,82214770992315958E-006       1,12885906183790028E-005       4,51543661013076303E-005 
     17           2,41956787839916403E-007       9,67827360144291980E-007       3,87131290124909100E-006 
     18           1,96059778600401069E-008       7,84240827755913443E-008       3,13690285635992439E-007 
     19           1,50601361474196135E-009       6,02387653150585855E-009  
     20           1,09952740753693977E-010 
 ****************************************************************
 JSTART (input) =1 
  
RESULTS AFTER 3-nd CALL procedure DE61E

 IERR= 0    N= 2663    NACCEP=  3    NREJEC=  1    BUL=False
 XP=      2,46769109280040626E+000      X=      3,99255275953904306E+000 
 H =    1,5096741285623309    K=18    INIAPR=1    IMAX =28    JSTART (exit) =1  
                                                  K2=25  IMAX2= 3 
 It is advisable to take the next segment   H =   1,5096741285623309 
 YX =      4,70925769738662985E+008         DYX =      1,88370307895465091E+009  
 YT =      4,70925769738662619E+008         DYT =      1,88370307895465048E+009  
 (YT-YX)/YX =     -7,77027896637678178E-016     (DYT-DYX)/DYX =     -2,30395291391494936E-016 

  
           Coefficients AU, ADU and AJK  on   3   segment  
 ----------------------------------------------------------------
   Number of               Chebyshev coefficients for 1  component
              ------------------------------------------------------------------------
 coefficient         for Y                  for Y'                  for Y''
 -------------------------------------------------------------------------------------
      0           2,26738508221026561E+008       9,06954032884106138E+008       3,62781613153641934E+009 
      1           1,84473331628841625E+008       7,37893326515366372E+008       2,95157330606146033E+009 
      2           1,05761415247477136E+008       4,23045660989908379E+008       1,69218264395962864E+009 
      3           4,57572532403293293E+007       1,83029012961317142E+008       7,32116051845264282E+008 
      4           1,57389806127447614E+007       6,29559224509788926E+007       2,51823689803912072E+008 
      5           4,47093604564979953E+006       1,78837441825990794E+007       7,15349767303936354E+007 
      6           1,07884407979547888E+006       4,31537631918182928E+006       1,72615052767253761E+007 
      7           2,25918533590859880E+005       9,03674134363380176E+005       3,61469653745219610E+006 
      8           4,17468993552439899E+004       1,66987597420937366E+005       6,67950389682898117E+005 
      9           6,89853844843540552E+003       2,75941537937179516E+004       1,10376615174357116E+005 
     10           1,03052003362391659E+003       4,12208013448199554E+003       1,64883205376354661E+004 
     11           1,40416999762590786E+002       5,61667999042938056E+002       2,24667199601567336E+003 
     12           1,75842171601105834E+001       7,03368686366411879E+001       2,81347474468300163E+002 
     13           2,03683680998310507E+000       8,14734723814851634E+000       3,25893889161686730E+001 
     14           2,19442958942795427E-001       8,77771834993071136E-001       3,51108732254141387E+000 
     15           2,20957402216450356E-002       8,83829603725830599E-002       3,53531833640772675E-001 
     16           2,08809275990916064E-003       8,35237077754345227E-003       3,34094859039737457E-002 
     17           1,85894129045056336E-004       7,43576716221534284E-004       2,97431001564518738E-003 
     18           1,56422368456372395E-005       6,25691182887573888E-005       2,50270346271008748E-004 
     19           1,24779471198418133E-006       4,99099565930286859E-006  
     20           9,46101976668618953E-008 
 ****************************************************************
 JSTART (input) =1 
  
RESULTS AFTER 4-nd CALL procedure DE61E

 IERR= 0    N= 3329    NACCEP=  4    NREJEC=  1    BUL=False
 XP=      3,99255275953904306E+000      X=      5,50222688810137400E+000 
 H =    1,5135771995747868    K=18    INIAPR=1    IMAX =28    JSTART (exit) =1  
                                                  K2=25  IMAX2= 3 
 It is advisable to take the next segment   H =   1,5135771995747868 
 YX =      1,97480869322385673E+011         DYX =      7,89923477289542372E+011  
 YT =      1,97480869322385523E+011         DYT =      7,89923477289542092E+011  
 (YT-YX)/YX =     -7,58410531983541673E-016     (DYT-DYX)/DYX =     -3,53663333340648817E-016 

  
           Coefficients AU, ADU and AJK  on   4   segment  
 ----------------------------------------------------------------
   Number of               Chebyshev coefficients for 1  component
              ------------------------------------------------------------------------
 coefficient         for Y                  for Y'                  for Y''
 -------------------------------------------------------------------------------------
      0           9,56249564632531265E+010       3,82499825853012473E+011       1,52999930341204825E+012 
      1           7,75906217694813361E+010       3,10362487077925306E+011       1,24144994831169960E+012 
      2           4,42293471052447154E+010       1,76917388420978811E+011       7,07669553683913700E+011 
      3           1,89960598458899096E+010       7,59842393835595837E+010       3,03936957534236976E+011 
      4           6,48068435778158299E+009       2,59227374311262840E+010       1,03690949724504027E+011 
      5           1,82497839150168940E+009       7,29991356600672034E+009       2,91996542640260310E+010 
      6           4,36405142241121891E+008       1,74562056896446049E+009       6,98248227585722653E+009 
      7           9,05439172616882460E+007       3,62175669046734354E+008       1,44870267618651746E+009 
      8           1,65745252619458264E+007       6,62981010477711880E+007       2,65192404190814859E+008 
      9           2,71290818038222795E+006       1,08516327215214806E+007       4,34065308859228250E+007 
     10           4,01383547783557917E+005       1,60553419112994211E+006       6,42213676442707953E+006 
     11           5,41652093677499561E+004       2,16660837468670749E+005       8,66643349825240526E+005 
     12           6,71737991737235816E+003       2,68695196682966677E+004       1,07478078648379480E+005 
     13           7,70534660102802387E+002       3,08213863985218958E+003       1,23285545478901768E+004 
     14           8,22058806852815308E+001       3,28823522498328006E+002       1,31529408444129513E+003 
     15           8,19641241829646954E+000       3,27856495086866706E+001       1,31142595522542251E+002 
     16           7,66989994982317491E-001       3,06795989481643611E+000       1,22718405650521163E+001 
     17           6,76117878583349540E-002       2,70447220882732654E-001       1,08178997953655198E+000 
     18           5,63333789996900003E-003       2,25334101318954170E-002       9,01314981165342033E-002 
     19           4,44953402142523458E-004       1,77975078173614936E-003  
     20           3,34048685806317655E-005 
 ****************************************************************
 JSTART (input) =1 
  
RESULTS AFTER 5-nd CALL procedure DE61E

 IERR= 0    N= 3995    NACCEP=  5    NREJEC=  1    BUL=False
 XP=      5,50222688810137400E+000      X=      7,01580408767616078E+000 
 H =    1,5125663481371554    K=18    INIAPR=1    IMAX =28    JSTART (exit) =1  
                                                  K2=25  IMAX2= 3 
 It is advisable to take the next segment   H =   1,5125663481371554 
 YX =      8,41158684586304648E+013         DYX =      3,36463473834521713E+014  
 YT =      8,41158684586303880E+013         DYT =      3,36463473834521552E+014  
 (YT-YX)/YX =     -9,12815001134568709E-016     (DYT-DYX)/DYX =     -4,77722238769453048E-016 

  
           Coefficients AU, ADU and AJK  on   5   segment  
 ----------------------------------------------------------------
   Number of               Chebyshev coefficients for 1  component
              ------------------------------------------------------------------------
 coefficient         for Y                  for Y'                  for Y''
 -------------------------------------------------------------------------------------
      0           4,06710841854439339E+013       1,62684336741775721E+014       6,50737346967102130E+014 
      1           3,30238180465301449E+013       1,32095272186120562E+014       5,28381088744481503E+014 
      2           1,88526939138359777E+013       7,54107756553438876E+013       3,01643102621374844E+014 
      3           8,11237789120498111E+012       3,24495115648198994E+013       1,29798046259278976E+014 
      4           2,77347860823277571E+012       1,10939144329310808E+013       4,43756577317238157E+013 
      5           7,82778557885380096E+011       3,13111423154150329E+012       1,25244569261656239E+013 
      6           1,87622537907162781E+011       7,50490151628638700E+011       3,00196060651427306E+012 
      7           3,90205072492872178E+010       1,56082028997140321E+011       6,24328115988369009E+011 
      8           7,16028542228916004E+009       2,86411416891510786E+010       1,14564566756480740E+011 
      9           1,17487678233271577E+009       4,69950712932745259E+009       1,87980285172351164E+010 
     10           1,74258515986427382E+008       6,97034063943740828E+008       2,78813625573250568E+009 
     11           2,35743179756227153E+007       9,42972719014214415E+007       3,77189087583019570E+008 
     12           2,93094987005206034E+006       1,17237994796603302E+007       4,68951979072719365E+007 
     13           3,37050361646428237E+005       1,34820144632865173E+006       5,39280578002429008E+006 
     14           3,60498261036337051E+004       1,44199304302200179E+005       5,76797214670933783E+005 
     15           3,60350101627425871E+003       1,44140039896474508E+004       5,76560148244798183E+004 
     16           3,38059774725640724E+002       1,35223906020526548E+003       5,40895669386535883E+003 
     17           2,98766002919696384E+001       1,19506432126621455E+002       4,78026230670511723E+002 
     18           2,49563584124697021E+000       9,98256980313691892E+000       3,99293413832783699E+001 
     19           1,97623268885910067E-001       7,90465329380155385E-001  
     20           1,48745151440295992E-002 
 ****************************************************************
 JSTART (input) =1 
  
RESULTS AFTER 6-nd CALL procedure DE61E

 IERR= 0    N= 4661    NACCEP=  6    NREJEC=  1    BUL=True
 XP=      7,01580408767616078E+000      X=      7,00000000000000000E+000 
 H =   -0,1422367890854470    K=18    INIAPR=1    IMAX =28    JSTART (exit) =1  
                                                  K2=25  IMAX2= 3 
 It is advisable to take the next segment   H =  -0,1422367890854470 
 YX =      7,89629601826807695E+013         DYX =      3,15851840730722932E+014  
 YT =      7,89629601826806952E+013         DYT =      3,15851840730722781E+014  
 (YT-YX)/YX =     -9,41077975831429713E-016     (DYT-DYX)/DYX =     -4,77688861654064749E-016 

  
           Coefficients AU, ADU and AJK  on   6   segment  
 ----------------------------------------------------------------
   Number of               Chebyshev coefficients for 1  component
              ------------------------------------------------------------------------
 coefficient         for Y                  for Y'                  for Y''
 -------------------------------------------------------------------------------------
      0           1,63038112676538294E+014       6,52152450706152882E+014       2,60860980282461153E+015 
      1          -2,57634689465365187E+012      -1,03053875786146075E+013      -4,12215503144584298E+013 
      2           2,03575586728129494E+010       8,14302346912517979E+010       3,25720938765007175E+011 
      3          -1,07241981928560812E+008      -4,28967927714243296E+008      -1,71587171085686111E+009 
      4           4,23710129798372514E+005       1,69484051919344679E+006       6,77936207672119141E+006 
      5          -1,33925925799862728E+003      -5,35703703202858783E+003      -2,14281480598449707E+004 
      6           3,52760747764747583E+000       1,41104298524921152E+001       5,64416236877441406E+001 
      7          -7,96433838493639205E-003      -3,18572695114706342E-002      -1,27449035644531250E-001 
      8           1,57335342342252397E-005       6,30064134781175630E-005       3,05175781250000000E-004 
      9          -2,76732022135132528E-008      -1,25599604258225564E-007       1,25885009765625000E-004 
     10           4,04215566676848047E-011      -3,01439050219741353E-008       1,90734863281250000E-005 
     11           1,39851367935070195E-011      -2,32930175169800137E-008       4,95910644531250000E-005 
     12           2,02663024501441672E-011       8,79197229807578947E-009      -4,57763671875000000E-005 
     13           1,90864149787316643E-012       3,82595717586594794E-008       7,62939453125000000E-005 
     14          -1,36331535562369031E-011       1,50719525109870677E-008       8,01086425781250000E-005 
     15          -3,79628793926972803E-011      -1,00479683406580451E-008       1,29699707031250000E-004 
     16          -1,17493725148486392E-011      -1,29053593375326767E-007       4,19616699218750000E-005 
     17           6,05469734771392610E-011      -5,76280537184799646E-008      -3,92913818359375000E-004 
     18          -1,81701094835710895E-011       1,31460919123609423E-007      -2,05993652343750000E-004 
     19          -9,00209088224950988E-012      -1,40407136549721630E-007  
     20           4,85799488616559624E-011 
 ****************************************************************

Из приведенных результатов наглядно видно, что на всех выбранных подпрограммой DE61E элементарных сегментах коэффициенты Чебышёва, как для решения Y, так и для его производных Y', Y'', быстро убывают. Отметим, однако, что в значениях последних коэффициентов Чебышёва (как для решения, так и для производных), вычисленных на шестом элементарном сегменте, по мере уменьшения их абсолютных величин начинает заметнее проявлять себя вычислительная погрешность. Полезно сделать следующее замечание. При вычислении решения данной задачи Коши (с используемыми здесь вычислительными параметрами) на языке Паскаль, т.е. на более длинной разрядной сетке ЭВМ по сравнению с решением этой же задачи на языке Фортран, уменьшается высислительная погрешность, а вместе с ней уменьшается и полная погрешность приближенного решения на каждом элементарном сегменте. Поэтому длины элементарных сегментов несколько увеличены вычислительной подпрограммой DE61E по сравнению с размерами элементарных сегментов, выбираемых подпрограммой DE61D, и суммарная длина первых пяти сегментов превышает длину промежутка интегрирования, на котором находится решение задачи Коши. Вследствие этого последний, шестой, (нестандартный) сегмент, который выводит в конец интервала интегрирования, является отрицательным.