Текст подпрограммы и версий (Паскаль)
de75e_p.zip 		Тексты тестовых примеров (Паскаль)
tde75e1_p.zip , tde75e2_p.zip

Подпрограмма:  DE75E (модуль DE75E_p)

Назначение

Выполнение одного шага приближенного интегрирования системы обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка методом рядов Чебышёва с контролем точности.

Математическое описание

Решается задача Коши для системы M обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка 

(1)     Y ' = F (x, Y) ,
        Y  = ( y1, ... , yM ) ,    F = ( f1 (x, y1, ... , yM), ... , fM (x, y1, ... , yM) ) ,    XN ≤ x ≤ XK
с начальными условиями, заданными в точке XN : 
(2)       Y(XN) = YN ,     YN = ( y10, ... , yM0 ) ,

при условии, что правая часть системы (1) имеет непрерывные ограниченные частные производные по переменным x, Y. Предполагается, что на отрезке [XN, XK] задача (1), (2) имеет единственное решение. Тогда решение задачи Коши и его производная Y'(XN + αΔ) = F(XN + αΔ, Y(XN + αΔ)) = Φ(α) разлагаются на промежутке интегрирования [XN, XK] в равномерно сходящиеся ряды по смещенным многочленам Чебышёва первого рода 

                                    ∞                                                               1
(3)       Y(XN + αΔ) = ∑'ai*[Y]Ti*(α),   0 ≤ α ≤ 1,   ai*[Y] = 2/π ∫ Y(XN + αΔ)Ti*(α)/√(α(1 - α))dα,       
                                   i=0                                                              0
                        ∞                                                               1
(4)       Φ(α) = ∑'ai*[Φ]Ti*(α),   0 ≤ α ≤ 1,   ai*[Φ] = 2/π ∫ Φ(α)Ti*(α)/√(α(1 - α))dα.                                                                                                          
                       i=0                                                             0

Здесь: штрих у знака суммы означает, что слагаемое с индексом 0 берется с дополнительным множителем 1/2; Ti* (α) - смещенный многочлен Чебышёва первого рода на [0, 1]: Ti* (α) = Ti (2α-1) ;  Ti (t) - многочлен Чебышёва первого рода i-го порядка на [-1, 1]; Δ = XK - XN. Если ряд Чебышёва (3) (и ряд (4)) является быстросходящимся, то его сумма на [XN, XK] (и сумма ряда (4)) хорошо приближается частичной суммой некоторого порядка. Эта частичная сумма принимается в качестве приближенного аналитического решения задачи (1), (2) на промежутке [XN, XK]. В противном случае, т.е. при медленной сходимости ряда (3) на интервале [XN, XK], получение аналитического решения в виде одной частичной суммы на всем отрезке интегрирования [XN, XK] может быть затруднительным. Поэтому целесообразно использовать разбиение промежутка интегрирования [XN, XK] на такие элементарные сегменты, вообще говоря, переменной длины H: [xs, xs+H], x0 = XN, s = 0, 1, ... , на каждом из которых ряды Чебышёва для решения Y(x) и его производной Y'(x) будут сходиться значительно быстрее. На каждом подобном сегменте решение исходной задачи Коши приближенно представляется в виде (K + 1) - й частичной суммы смещенного ряда Чебышёва 

                                                        K+1                                                                         1
(5)    Y(xs + αH) ≈ UK+1(xs+αH) = ∑'ai*[UK+1]Ti*(α),   0 ≤ α ≤ 1,   ai*[UK+1] = 2/π ∫ UK+1(xs + αH)Ti*(α)/√(α(1 - α))dα,                   
                                                         i=0                                                                         0
а его производная - в виде частичной суммы K-го порядка
                                                          K                                                                            1
(6)  Y'(xs + αH) ≈ U'K+1(xs+αH) =  ∑'ai*[U'K+1]Ti*(α),   0 ≤ α ≤ 1,   ai*[U'K+1] = 2/π ∫ U'K+1(xs + αH)Ti*(α)/√(α(1 - α))dα.
                                                         i=0                                                                           0

В этом случае аналитическое решение задачи (1), (2) будет состоять из совокупности частичных сумм UK+1(xs+αH) рядов Чебышёва, построенных на этих элементарных сегментах. Порядок частичных сумм задается пользователем при обращении к подпрограмме.

При обращении к подпрограмме DE75E задаются начало элементарного сегмента и его длина. По заданному значению решения в начале X = xs элементарного сегмента [X, X + H] подпрограмма DE75E вычисляет значение решения в конце элементарного сегмента, т.е. в узле X + H = xs + H. Одновременно вычисляются коэффициенты Чебышёва ai*[UK+1] (i = 0, 1, ... , K + 1) на элементарном сегменте [X, X + H] = [xs, xs + H] для решения задачи Коши Y(X + αH) ≈ UK+1(X + αH), 0 ≤ α ≤ 1, и коэффициенты Чебышёва ai*[U'K+1] (i = 0, 1, ... , K) его производной U'K+1(X + αH). Причем длина сегмента H здесь может быть меньше или равна заданной при обращении длине. При многократном обращении к подпрограмме задаваемое значение H может изменяться от сегмента к сегменту, в общем случае H = Hs.

Приводимое здесь описание метода решения преследует две цели. Во первых, дать пользователю общее представление об используемом подходе к интегрированию обыкновенных дифференциальных уравнений. Во-вторых, на основе данного знания помочь пользователю яснее усвоить смысл и назначение формальных параметров. С более подробным изложением различных аспектов математического метода решения можно ознакомиться по приводимому в конце данного раздела списку литературы.

При разбиении промежутка интегрирования на элементарные сегменты решение задачи на [XN, XK] сводится к определению нескольких наборов коэффициентов ai*[UK+1], i = 0, 1, ... , K + 1. Коэффициенты ai*[UK+1] ряда Чебышёва для решения на сегменте [X, X + H] = [xs, xs + H] выражаются через коэффициенты ai*[Φ] ряда Чебышёва его производной Φ(α) = F(xs + αH, UK+1(xs + αH)),  0 ≤ α ≤ 1, на [X, X + H] = [xs, xs + H], которые, в свою очередь, вычисляются приближенно итерационным способом, исходя из некоторого начального приближения. Вычисления выполняются с помощью квадратурной формулы Маркова на [X, X + H] с (K + 1) узлом. При этом один из узлов квадратурной формулы совпадает с X, а остальные K узлов лежат внутри интервала (X, X + H). Количество итераций, которое предписывается выполнить в этом итерационном процессе, задается при обращении к подпрограмме и может меняться от сегмента к сегменту. Если при выбранном H ряды Чебышёва для решения UK+1(X + αH),  0 ≤ α ≤ 1 , и его производной U'K+1(X + αH) на элементарном сегменте [X, X + H] = [xs, xs + H] быстро сходятся, то для того, чтобы приближенное решение в конце такого сегмента имело максимальный порядок точности относительно H, необходимо выполнить не менее K итераций; при этом погрешность приближенного решения в конце элементарного сегмента является величиной порядка O(HK + 2)  при  H --> 0. Если H подобрано достаточно малым, то хорошая точность приближенного решения может быть получена и при меньшем числе итераций.

Начальное приближение коэффициентов ai*[Φ] ряда Чебышёва для производной на сегменте [X, X + H] = [xs, xs + H] может вычисляться двумя способами. В первом способе начальное приближение определяется только с использованием значения решения в точке X = xs. При этом погрешность начального приближения для всех коэффициентов a0*[Φ], a1*[Φ], ..., aK*[Φ] является величиной O(H2) при H --> 0. Во втором способе начальное приближение определяется через коэффициенты ряда Чебышёва производной решения Φ(α) на предыдущем элементарном сегменте [X - H', X] = [xs - 1, xs], где H' - длина предыдущего элементарного сегмента. В этом случае погрешности начального приближения для коэффициентов a0*[Φ], a1*[Φ], ... , aK*[Φ] имеют, соответственно, порядки O(H), O(H2), ..., O(HK + 1). Заметим, что длина H текущего элементарного сегмента [X, X + H] может быть больше или меньше длины H' предыдущего элементарного сегмента [X - H', X] или равна ей. Второй способ определения начального приближения в некоторых случаях может привести к более быстрой сходимости итерационного процесса и, тем самым, к меньшему числу выполняемых итераций. Второй способ может быть применен только начиная со второго элементарного сегмента [x0 + H0, x1 + H], H0 -длина начального (первого) элементарного сегмента, x1 = x0 + H0. На начальном элементарном сегменте [x0, x0 + H0] всегда применяется исключительно первый способ. Способ выбора начального приближения задается пользователем при обращении к подпрограмме и может меняться от сегмента к сегменту..

На заданном при обращении к подпрограмме DE75E частичном сегменте [X, X + H] = [xs, xs + H] для оценки погрешности решения UK+1(X + αH), полученного при некотором заданном значении K = K1, вычисляется на этом же сегменте специальным образом второе приближенное решение при K = K2 > K1, которое вместе со своей производной также представляется указанными выше частичными суммами (5), (6) при K = K2. Второе решение UK2+1, как имеющее более высокий порядок точности O(HK2+2), используется для оценки погрешности первого решения UK1+1 на элементарном сегменте [X, X + H]. Значения K1 и K2 задаются пользователем при обращении к подпрограмме и могут изменяться от сегмента к сегменту. Второе приближенное решение на сегменте [X, X + H] вычисляется аналогично первому решению итерационным способом. Единственным отличием при этом является то, что начальным приближением в этом дополнительном итерационном процессе служит уже вычисленное на отрезке [X, X + H] первое приближенное решение UK+1(X + αH). Количество итераций, которое потребуется выполнить в этом дополнительном итерационном процессе, задается при обращении к подпрограмме и может меняться от сегмента к сегменту.

Для системы уравнений (M > 1) с проверкой на точность могут вычисляться либо все компоненты решения, либо некоторые из них (в частности, одна компонента). В последнем случае номера проверяемых на точность компонент задаются при обращении к подпрограмме.

Для оценки уклонения приближенного решения от точного (т.е. для оценки абсолютной погрешности приближенного решения) в подпрограмме используются два способа, или две формулы. Первый способ опирается на первую формулу для абсолютной погрешности приближенного решения. Она является асимптотической (т.е. справедливой при H --> 0) и представляет собою разность двух частичных сумм смещенного ряда Чебышёва на сегменте [X, X + H] с приближенными коэффициентами, а именно разность приближенных частичных сумм (K2 + 1) - го и (K1 + 1) - го порядков в точке X + H. Второй способ опирается на несколько завышенную оценку абсолютной погрешности, которая представляет сумму абсолютных величин (модулей) разностей приближенных коэффициентов этих частичных сумм и поэтому несколько завышена по сравнению с первой. Назовем эту формулу второй. Более того, при использовании этой, второй, формулы в том случае, когда точность решения оценивается по относительной погрешности или по мере погрешности, то дополнительно используется также завышенная оценка сверху для относительной погрешности и завышенная оценка сверху для меры погрешности. Второй способ оценки погрешности, хотя и является более точным, накладывает более сильное ограничение на размер элементарного сегмента и приводит к меньшей длине сегментов. Используемый способ оценки абсолютной погрешности задается при обращении к подпрограмме и может меняться от сегмента к сегменту.

Если для заданной при обращении к подпрограмме DE75E длины H сегмента [X, X + H] точность приближенного решения UK1+1 не достигается, то данный сегмент исключается из рассмотрения и программа сокращает его длину H до тех пор, пока на новом, сокращенном, сегменте не будет достигнута заданная точность вновь вычисленного приближенного решения UK1+1. При выполнении условия достижения на сегменте заданной точности приближенного решения UK1+1 этот сегмент (заданной, первоначальной, длины или сокращенной длины) принимается в качестве элементарного (частичного) сегмента, на который продлено решение дифференциального уравнения. В качестве такого решения на сегменте [X, X + H] принимается частичная сумма порядка K1 + 1 с коэффициентами, равными коэффициентам Чебышёва ai*[UK2+1],  i = 0, 1, ... , K1+1, второго приближенного решения UK2+1, поскольку эти коэффициенты имеют более высокий порядок точности по сравнению с коэффициентами Чебышёва ai*[UK1+1] первого приближенного решения. В качестве значения решения в конце X + H сегмента [X, X + H] принимается значение второго приближенного решения в точке X + H, т.е. UK2+1(X + H), как имеющее более высокий порядок точности O(HK2+2) по сравнению с первым приближенным решением UK1+1(X + H). В качестве коэффициентов Чебышёва производной решения на сегменте [X, X + H] принимаются по той же причине коэффициенты Чебышёва производной второго приближенного решения ai*[U'K2+1],  i = 0, 1, ... , K1.

Таким образом, один шаг приближенного интегрирования по методу рядов Чебышёва, выполняемый подпрограммой DE75E, заключается в следующем. По заданному значению решения YX в начале X сегмента [X, X + H] вычисляется с контролем точности значение этого решения в конце X + H сегмента, а также определяются значения коэффициентов Чебышёва решения и значения коэффициентов Чебышёва его производной на сегменте [X, X + H]; другими словами, находится ортогональное разложение решения и ортогональное разложение его производной на сегменте [X, X + H].

В дальнейшем при описании параметров подпрограммы коэффициенты ряда Чебышёва будем называть коэффициентами Чебышёва.

О.Б.Арушанян, С.Ф.Залеткин. Приближенное решение задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений методом рядов Чебышёва. Вычислительные методы и программирование: Новые вычислительные технологии (Электронный научный журнал) (17), 121 - 131, 2016.

О.Б.Арушанян, Н.И.Волченскова, С.Ф.Залеткин. Вычисление коэффициентов разложения решения задачи Коши в ряд по многочленам Чебышёва. Вестник Московского университета. Серия 1: Математика. Механика. 5, 24 - 30, 2012.

О.Б.Арушанян, С.Ф.Залеткин. Об оценке погрешности приближенного решения обыкновенных дифференциальных уравнений, определенного с помощью рядов Чебышёва // Вычислительные методы и программирование. 21, 241 - 250, 2020.

О.Б.Арушанян, С.Ф.Залеткин. О вычислении приближенного решения обыкновенных дифференциальных уравнений методом рядов Чебышёва и оценка его погрешности // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1, Математика. Механика. 2020, № 5, 22 - 26.

О.Б.Арушанян, С.Ф.Залеткин. Использование рядов Чебышёва для приближенного аналитического решения обыкновенных дифференциальных уравнений. Вестник Московского университета. Серия 1: Математика. Механика. 5, 52 - 56, 2016.

Использование 

procedure DE75E(F :Proc_F70E; var M :Integer; var K :Integer;
                INIAPR :Integer; IMAX :Integer; var JSTART :Integer;
                var YX :Array of Extended; var X :Extended;
                var IU :Integer; EPS :Extended; var THRESH :Extended;
                var H :Extended; HMIN :Extended; var BUL :Boolean;
                var XP :Extended; var YP :Array of Extended;
                var MEXACT :Integer; var NUMBES :Array of Integer;
                var DELTY :Array of Extended; var RO :Array of Extended;
                MESTER :Integer; var K2 :Integer; IMAX2 :Integer;
                var YX2 :Array of Extended; NATTEM :Integer;
                var AU :Array of Extended; var AJK :Array of Extended;
                var AU2 :Array of Extended; var AJK2 :Array of Extended;
                var XJ0 :Array of Extended; var XJ02 :Array of Extended;
                var AJKP :Array of Extended; var U :Array of Extended;
                var U2 :Array of Extended; var ZFI :Array of Extended;
                var ZFI2 :Array of Extended; var HD4I :Array of Extended;
                var RABC :Array of Extended; var ALP :Array of Extended;
                var ALPN :Array of Extended; var CMAR :Array of Extended;
                var P :Array of Extended; var S :Array of Extended;
                var ALP2 :Array of Extended; var ALPN2 :Array of Extended;
                var CMAR2 :Array of Extended; var IERR :Integer);


 Параметры
F - имя подпрограммы вычисления значений правой части дифференциального уравнения. Первый оператор подпрограммы должен соответствовать процедурному типу:
  
 
       Procedure (X :Extended; var Y :Array of Extended; var Z :Array of Extended; M :Integer);

Здесь: X, Y - значения независимой и зависимой переменных, соответственно. Вычисленное значение правой части должно быть помещено в Z. Для скалярного случая при M = 1  параметры Y и Z представляют собой массивы длины 1, в случае системы уравнений, т.е. когда M ≠ 1 , параметры Y и Z представляют массивы длины M (тип параметров X, Y и Z: Extended);

M - количество уравнений в системе (тип: целый);
K - порядок частичной суммы смещенного ряда Чебышёва, с помощью которой аппроксимируется производная первого приближенного решения задачи Коши на элементарном сегменте [X, X + H] разбиения интервала интегрирования; при этом само решение задачи Коши приближается на элементарном сегменте [X, X + H] частичной суммой (K + 1) - го порядка; K ≥ 2. Этот параметр относится только к первому приближенному решению, имеющему меньший порядок точности O(HK+2), и его производной. Если обращение к подпрограмме DE75E осуществляется со значением параметра JSTART = 1 (см. ниже), то значение параметра K должно совпадать с его значением при предыдущем обращении к подпрограмме. Если же при очередном обращении к подпрограмме DE75E значение параметра K необходимо изменить, то это обращение должно выполняться при нулевом значении параметра JSTART (JSTART = 0) (см. "Математическое описание", "Замечания по использованию" и "Примеры"; тип: целый);
INIAPR - целый указатель способа выбора начального приближения коэффициентов Чебышёва для производной первого приближенного решения на элементарном сегменте [X, X + H]:
INIAPR=1 - для первого способа, когда начальное приближение определяется только с использованием значения решения в начале X элементарного сегмента;
INIAPR=2 - для второго способа, когда начальное приближение коэффициентов Чебышёва на текущем элементарном сегменте [X, X + H] (начиная со второго) определяется через коэффициенты Чебышёва, вычисленные на предыдущем элементарном сегменте, т.е. путем экстраполяции коэффициентов с предыдущего сегмента на следующий (см. "Математическое описание").
Значение этого параметра может меняться от сегмента к сегменту.
IMAX - целая переменная, задающая количество итераций, которое предполагается выполнить в итерационном процессе вычисления коэффициентов Чебышёва для производной первого приближенного решения задачи Коши на элементарном сегменте [X, X + H], исходя из некоторого начального приближения, способ определения которого задается параметром INIAPR; IMAX ≥ 1. Для получения максимального порядка точности первого приближенного решения необходимо выполнить не менее K итераций. Значение IMAX может изменяться от сегмента к сегменту. Этот параметр относится только к первому приближенному решению, имеющему меньший порядок точности O(HK+2), и его производной. Если правая часть дифференциального уравнения не зависит от переменной Y, т.е. дифференциальное уравнение имеет вид Y' = F(X), то число итераций при вычислении первого приближенного решения можно положить равным 1. В этом случае параметр IMAX = 1 (см. "Математическое описание", "Замечания по использованию" и "Примеры");
JSTART - целый указатель режима использования подпрограммы, имеющий следующие значения:
0 - первое обращение к подпрограмме должно быть исполнено с нулевым значением JSTART: выполнить первый (начальный) шаг интегрирования для значений независимой и зависимой переменных и длины элементарного сегмента, заданных параметрами X, YX, H, соответственно. При данном значении параметра JSTART будет применен исключительно первый способ определения начального приближения для коэффициентов Чебышёва производной первого приближенного решения независимо от значения параметра INIAPR. Нулевое значение параметра JSTART также может означать, что необходимо выполнить очередной шаг интегрирования с измененным значением параметра K (см. выше) или с измененным значением параметра K2 (см. ниже);
1 - выполнить следующий (очередной) шаг интегрирования системы дифференциальных уравнений для значений независимой и зависимой переменных и длины элементарного сегмента, заданных параметрами X, YX, H, соответственно. При данном значении параметра JSTART способ определения начального приближения для коэффициентов Чебышёва производной первого приближенного решения определяется параметром INIAPR. При обращении к подпрограмме DE75E со значением JSTART = 1 значения параметра K (см. выше) и параметра K2 (см. ниже) должны совпадать с их значениями при предыдущем обращении к подпрограмме.
На выходе из подпрограммы параметр JSTART всегда принимает значение, равное 1 (см. "Примеры");
X, YX - начальное значение аргумента и решения (начало элементарного сегмента X и решение в нем YX); в результате работы подпрограммы в X получается новое значение аргумента, отстоящее от начального значения на величину выбранного подпрограммой элементарного сегмента, т.е. такого сегмента, на который продлено решение дифференциального уравнения (конец элементарного сегмента), а в YX - соответствующее значение решения; в качестве такого решения принимается второе приближенное, оценивающее, решение, поскольку оно имеет более высокий порядок точности по сравнению с первым приближенным решением. В случае системы уравнений, т.е. когда M ≠ 1, YX задается одномерным массивом длины M (тип параметров X, YX: с расширенной (Extended) точностью);
IU - целый указатель типа погрешности численного решения:
IU=1 - компоненты решения проверяются на точность по абсолютной погрешности;
IU=2 - компоненты решения проверяются на точность по относительной погрешности;
IU=3 - компоненты решения проверяются на точность по мере погрешности.
Контроль точности по мере погрешности заключается в следующем. Если некоторая компонента приближенного решения по абсолютной величине не меньше определенной наперед заданной положительной константы THRESH (называемой границей перехода), то контроль точности для этой компоненты ведется по относительной погрешности, иначе - по абсолютной. Таким образом, контроль точности по мере погрешности состоит в том, что на тех участках интервала интегрирования, где абсолютная величина компоненты решения меньше значения THRESH, контроль точности ведется для нее по абсолютной погрешности, а там, где абсолютная величина этой компоненты решения равна значению THRESH или првосходит значение THRESH, контроль точности для нее ведется по относительной погрешности;
EPS - допустимая погрешность, с которой требуется вычислить проверяемые на точность компоненты решения; тип погрешности специфицируется с помощью параметра IU (тип: с расширенной (Extended) точностью);
THRESH - граница перехода, используемая при оценке меры погрешности решения (тип: с расширенной (Extended) точностью);
H - переменная, содержащая задаваемое при обращении к подпрограмме значение длины текущего элементарного сегмента; если для этого значения точность приближенного решения достигается, то именно на этот сегмент из точки X продлевается решение задачи Коши, иначе длина этого сегмента уменьшается подпрограммой до тех пор, пока не будет достигнута заданная точность EPS; на выходе из подпрограммы H содержит рекомендуемое подпрограммой значение следующего элементарного сегмента, определяемое ею с целью достижения более экономного способа интегрирования (тип: с расширенной (Extended) точностью);
HMIN - минимальное значение длины элементарного сегмента, которое разрешается использовать при разбиении интервала интегрирования на элементарные (частичные) сегменты (тип: с расширенной (Extended) точностью);
BUL - логическая переменная, значение которой при обращении к подпрограмме полагается равным TRUE, если заданная в H длина сегмента выводит в конец интервала интегрирования, и FALSE в противном случае; в результате работы подпрограммы BUL равно FALSE, если вместо исходного сегмента был выбран меньший сегмент, в противном случае, т.е. когда был выбран именно заданный при обращении в H сегмент, значение параметра BUL не меняется;
XP, YP - переменная и одномерный массив длины M, соответственно. На выходе из подпрограммы содержат начальные значения аргумента и решения, т.е. те значения, которые имели параметры X, YX на входе в подпрограмму. Таким образом, на выходе из подпрограммы DE75E границы элементарного сегмента, к которому относятся вычисленные подпрограммой коэффициенты Чебышёва решения и коэффициенты Чебышёва его производной и содержащиеся в массивах AU и AJK соответственно, показываются параметрами XP и X, а именно: параметр XP содержит начало сегмента, а параметр X содержит конец этого сегмента (тип: с расширенной (Extended) точностью);
MEXACT - количество компонент численного решения, проверяемых на точность: 1 ≤ MEXACT ≤ M. Для скалярного дифференциального уравнения значение этого параметра в подпрограмме не используется, т.к. в этом случае численное решение обязательно проверяется на точность (тип: целый);
NUMBES - массив, содержащий номера проверяемых на точность компонент решения. Для скалярного дифференциального уравнения, а также для системы уравнений в том случае, если все компоненты решения проверяются на точность, значение этого массива в подпрограмме не используется. Таким образом, массив NUMBES используется в подпрограмме только в том случае, когда число проверяемых на точность компонент решения меньше числа уравнений; NUMBES представляет массив длины MEXACT (тип: целый);
DELTY, RO - одномерные рабочие массивы длины M (тип: с расширенной (Extended) точностью);
MESTER - целый указатель способа оценки абсолютной погрешности компоненты приближенного решения:
MESTER=1 - для оценки абсолютной погрешности используется первая формула (асимптотическая);
MESTER=2 - для оценки абсолютной погрешности используется вторая формула (завышенная оценка).
(См. "Математическое описание");
K2 - порядок частичной суммы смещенного ряда Чебышёва производной решения, с помощью которой вычисляется частичная сумма порядка (K2 + 1) для оценивающего решения более высокого порядка точности на элементарном сегменте [X, X + H] разбиения области интегрирования. Этот параметр относится только ко второму приближенному решению более высокого порядка точности O(HK2+2), K2 > K (т.е. к оценивающему решению) и его производной. Если обращение к подпрограмме DE75E осуществляется со значением параметра JSTART = 1 (см. выше), то значение параметра K2 должно совпадать с его значением при предыдущем обращении к подпрограмме. Если же при очередном обращении к подпрограмме DE75E значение параметра K2 необходимо изменить, то это обращение должно выполняться при нулевом значении параметра JSTART (JSTART = 0) (см. "Математическое описание", "Замечания по использованию" и "Примеры"; тип: целый);
IMAX2 - целая переменная, задающая количество итераций, которое предполагается выполнить в дополнительном итерационном процессе для вычисления второго, оценивающего, приближенного решения более высокого порядка точности. Для получения максимального порядка точности оценивающего решения необходимо выполнить не менее (K2 - K) итераций. Значение IMAX2 может изменяться от сегмента к сегменту. Если правая часть дифференциального уравнения не зависит от переменной Y, т.е. дифференциальное уравнение имеет вид Y' = F(X), то число итераций при вычислении второго приближенного решения можно положить равным 1. В этом случае параметр IMAX2 = 1 (см. "Математическое описание" и "Замечания по использованию");
YX2 - одномерный рабочий массив длины M (тип: с расширенной (Extended) точностью);
NATTEM - целая переменная, значение которой ограничивает число последовательных сокращений длины элементарного сегмента [X, X + H], если приближенное решение на этом элементарном сегменте не достигает требуемой точности;
AU - двумерный массив размера M * (K + 2). На выходе из подпрограммы содержит коэффициенты Чебышёва ai*[Y] для решения Y (X + αH), 0 ≤ α ≤ 1, на элементарном сегменте [X, X + H]. При этом переменная с индексом AU (N, I + 1) представляет I-й коэффициент Чебышёва N-й компоненты решения yN(x)(I = 0, 1, ... , K + 1), (N = 1, ... , M) (тип: с расширенной (Extended) точностью);
AJK - двумерный массив размера M * (K + 1). На выходе из подпрограммы содержит коэффициенты Чебышёва ai*[Y'] производной решения Y'(X + αH), 0 ≤ α ≤ 1, на элементарном сегменте [X, X + H]. При этом переменная с индексом AJK(N, I + 1) представляет I-й коэффициент Чебышёва N-й компоненты производной решения y'N(x) (I = 0, 1, ... , K). Если при JSTART = 1 (т.е. при повторных обращениях к подпрограмме) параметр INIAPR = 2, то содержащиеся в массиве AJK при входе в подпрограмму коэффициенты Чебышёва производной решения, вычисленные на предыдущем элементарном сегменте [X - H', X] во время предыдущего обращения к подпрограмме DE75E, используются в подпрограмме при вычислении коэффициентов Чебышёва производной решения на текущем элементарном сегменте [X, X + H]. Заметим, что длина H текущего элементарного сегмента может быть больше или меньше длины H' предыдущего сегмента [X - H', X] или равна ей. Независимо от значения параметра INIAPR при повторных обращениях к подпрограмме значения массива AJK при входе в подпрограмму обязательно запоминаются в массиве AJKP и могут быть снова доступны на выходе из подпрограммы (тип: с расширенной (Extended) точностью);
AU2 - двумерный рабочий массив размера M * (K2 + 2) (тип: с расширенной (Extended) точностью);
AJK2 - двумерный рабочий массив размера M * (K2 + 1) (тип: с расширенной (Extended) точностью);
XJ0 - одномерный рабочий массив длины K (тип: с расширенной (Extended) точностью);
XJ02 - одномерный рабочий массив длины K2 (тип: с расширенной (Extended) точностью);
AJKP - двумерный массив размера M * (K + 1). Если обращение к подпрограмме было выполнено со значением JSTART = 1 (т.е. при повторных обращениях к подпрограмме), то на выходе из подпрограммы содержит коэффициенты Чебышёва производной решения, относящиеся к предыдущему элементарному сегменту [X - H', X]; тем самым значение этого параметра определено только при повторных обращениях к подпрограмме (тип: с расширенной (Extended) точностью);
U - двумерный рабочий массив размера M * K (тип: с расширенной (Extended) точностью);
U2 - двумерный рабочий массив размера M * K2 (тип: с расширенной (Extended) точностью);
ZFI - двумерный рабочий массив размера M *(K + 4) (тип: с расширенной (Extended) точностью);
ZFI2 - двумерный рабочий массив размера M *(K2 + 3) (тип: с расширенной (Extended) точностью);
HD4I - одномерный рабочий массив длины K2 + 1 (тип: с расширенной (Extended) точностью);
RABC - одномерный рабочий массив длины K2 (тип: с расширенной (Extended) точностью);
ALP, ALPN - одномерные рабочие массивы длины K (тип: с расширенной (Extended) точностью);
CMAR - двумерный рабочий массив размера K * K (тип: с расширенной (Extended) точностью);
P - одномерный рабочий массив размера (K + 2) * (K - 1) / 2 (тип: с расширенной (Extended) точностью);
S - одномерный рабочий массив размера (K + 3) * K / 2 (тип: с расширенной (Extended) точностью);
ALP2, ALPN2 - одномерные рабочие массивы длины K2 (тип: с расширенной (Extended) точностью);
CMAR2 - двумерный рабочий массив размера K2 * K2 (тип: с расширенной (Extended) точностью);
IEER - целая переменная, служащая для сообщения об ошибках, обнаруженных в процессе работы подпрограммы; при этом:
IERR=65 -
IERR=66    		когда какая-нибудь компонента решения не может быть вычислена с требуемой точностью EPS; при этом IERR=65 указывает, что требуемая точность не может быть достигнута на сегменте [X, X + H] при минимальной длине частичного сегмента H, равной HMIN, а IERR=66 показывает, что требуемая точность не может быть достигнута на сегменте [X, X + H], т.к. исчерпано заданное число сокращений NATTEM длины H элементарного сегмента. 
   Версии:  нет 
   Вызываемые подпрограммы:  нет
 

DE75E использует рабочие подпрограммы DE70EK, DE70EH, DE70E0, DE70EI, DE70EF, DE70EQ, DE71EE, DE70EP, DE71ET, DE71EP, DE71EI, DE71EF, DE71ES, DE70EA, DE70EC, DE75E0, DE75E1, DE75EE, DE75EK, DE75EN.

UTDE75 - подпрограмма выдачи диагностических сообщений.

   Замечания по использованию
 

В ообщем случае заданная точность не гарантируется.

Разбиение промежутка интегрирования на элементарные сегменты [X, X + H] выполняется для того, чтобы на каждом таком сегменте ряды Чебышёва для решения и его производной были быстросходящимися рядами; другими словами, чтобы убывание коэффициентов этих рядов Чебышёва на элементарном сегменте [X, X + H] происходило достаточно быстро, вследствие чего можно было бы считать частичные суммы этих рядов близкими к многочленам наилучшего равномерного приближения на элементарном сегменте [X, X + H] для решения и его производной. Порядок этих частичных сумм задается параметром K и параметром K2.

Если при вычислении первого приближенного решения начальное приближение для коэффициентов Чебышёва правой части системы (т.е. функции Φ(α)) определяется первым способом (т.е. при INIAPR = 1), то для получения максимального порядка точности первого приближенного решения в конце элементарного сегмента [X, X + H] необходимо выполнить в итерационном процессе не менее K итераций; тогда IMAX≥K. Если начальное приближение коэффициентов Чебышёва функции Φ(α) определяется вторым способом (т.е. при INIAPR = 2), то для получения максимального порядка точности первого приближенного решения необходимо выполнить в итерационном процессе не менее K + 1 итераций; в этом случае IMAX ≥ K + 1. Однако в некоторых случаях при втором способе определения начального приближения итерационный процесс может сойтись за значительно меньшее число итераций.

Если длина H элементарного сегмента [X, X + H] подобрана достаточно малой, то хорошая точность первого приближенного решения может быть получена и с существенно меньшим числом итераций при любом способе выбора начального приближения.

Для получения максимального порядка точности второго приближенного (оценивающего) решения необходимо выполнить в дополнительном итерационном процессе не менее (K2 - K) итераций. Указанное в данном разделе число итераций IMAX и IMAX2 носит асимптотический характер (когда все наши оценки справедливы при H --> 0). На практике же количество итераций в каждом из двух итерационных процессов зависит от длины сегмента, от требуемой точности, от заданных порядков частичных сумм и от конкретной системы дифференциальных уравнений. Поэтому число итераций в обоих итерационных процессах, т.е. значения параметров IMAX и IMAX2, может быть как меньше, так и больше рекомендуемых здесь значений.

Если правая часть дифференциального уравнения не зависит от переменной Y, т.е. дифференциальное уравнение имеет вид Y'= F(X), то число итераций в обоих итерационных процессах можно положить равным 1. В этом случае параметры IMAX = 1 и IMAX2 = 1.

При работе подпрограммы значения параметров M, K, INIAPR, IMAX, IU, EPS, THRESH, MEXACT, NUMBES, MESTER, HMIN, K2, IMAX2, NATTEM сохраняются. При многократном использовании подпрограммы DE75E со значением параметра JSTART = 1 для вычисления коэффициентов Чебышёва решения задачи Коши (1), (2) и его производной на последовательности элементарных сегментов, образующей промежуток интегрирования [XN, XK] системы дифференциальных уравнений, значения параметров M, K, YX, X, AU, AJK, HD4I, RABC, ALP, ALPN, CMAR, P, S, K2, ALP2, ALPN2, CMAR2 не должны изменяться в вызывающей программе между последовательными обращениями к подпрограмме.

При интегрировании системы уравнений с помощью подпрограммы DE75E используются глобальные записи (структуры данных) с именами _COM70D и _COM75D из модуля Lstruct для хранения промежуточных значений типа: 

type                                        type     
 COM70D = record                             COM75D = record
  elm1: Extended;   // WC1                     elm1: Integer;   // LASN0
  elm2: Extended;   // WC2                     elm2: Integer;   // LASN2
  elm3: Extended;   // WC3                     elm3: Extended;  // WC30
  elm4: Integer;    // LASN                    elm4: Extended;  // WC12
  elm5: Extended;   // HD2                     elm5: Extended;  // WC22
  elm6: Extended;   // HD4                     elm6: Extended;  // WC32
  elm7: Extended;   // HOLD                   end;
 end;                                        var
var                                          _COM75D : COM75D;
_COM70D : COM70D;

Пользователь не должен изменять содержимое указанных структур. Если вызывающая программа содержит одно обращение к подпрограмме DE75E со значением параметра JSTART = 0 и при этом других обращений к DE75E нет или если вызывающая программа содержит несколько обращений к DE75E и при этом все обращения осуществляются с нулевым значением параметра JSTART, то указанные глобальные записи (структуры данных) описывать в вызывающей программе вовсе не обязательно (см. "Примеры использования").

При работе подпрограммы DE75E используется глобальная запись (структура данных) _STAT76 с элементами elm1 (NACCEP) и elm2 (NREJEC) целого типа для хранения промежуточных значений и пользователь не должен портить значения элементов этой записи. Эта структура используется для сбора полезной статистической информации. Такой же блок должен содержаться в вызывающей (главной) программе. Если подпрограмма DE75E заканчивает свою работу со значением IERR = 0, то на выходе из подпрограммы переменная NACCEZ содержит значение, увеличенное на 1 по сравнению со значением этой переменной на входе в подпрограмму. Если же подпрограмма DE75E заканчивает свою работу со значением IERR = 65 или IERR = 66, то значение переменной NACCEZ остается без изменения.

Переменная NREJEC учитывает, сколько раз сокращалась длина сегмента [X, X + H] при вычислении решения с требуемой точностью. Если заданная точность была достигнута при первоначальной длине сегмента (задаваемой параметром H при входе в подпрограмму DE75E), то значение переменной NREJEC на выходе из подпрограммы равно значению этой переменной на входе в подпрограмму; если же первоначально заданная длина H подвергалась сокращению, то значение переменной NREJEC (которое эта переменная имела на входе в подпрограмму) увеличивается на столько, сколько раз сокращалась длина сегмента.

Таким образом, переменная NACCEZ подсчитывает число выбранных (или принятых) подпрограммой DE75E сегментов, а переменная NREJEC подсчитывает число отклоненных сегментов при решении дифференциальных уравнений на всем промежутке интегрирования.

Пример использования

Данные примеры не только иллюстрируют правила использования подпрогрвммы DE75E; они также показывают, как можно применять подпрограмму DE75E для решения обыкновенных дифференциальных уравнений на заданном промежутке интегрирования. Вычисления во всех примерах проводились на Паскале с 19-20 значащими цифрами.

1) В первом примере решается задача Коши

y' = qy, y(0) = eq, q = 4, 0 ≤ x ≤ 7.

Точное решение задачи Коши y(x) = eq(1+x). Используется пять сегментов разбиения промежутка интегрирования и на всех пяти сегментах решение приближается частичными суммами ряда Чебышёва одного и того же порядка K + 1 при K = 18; погрешность этого решения вычисляется с помощью оценивающего решения, которое представляется частичной суммой тоже одного и того же порядка K2 + 1 при K2 = 25. Пример содержит пять обращений к подпрограмме. Приводятся вызывающая программа, подпрограмма вычисления правой части дифференциального уравнения, а также результаты счета на произвольном элементарном сегменте после каждого обращения к подпрогрмме. Результаты включают границы элементарного сегмента [XP, X], приближенное значение Y решения в конце X сегмента, точное значение YT решения в X, относительную погрешность (YT - Y) / Y приближенного решения, рекомендуемую длину следующего элементарного сегмента H, значения параметров K, IMAX, K2, IMAX2, значения параметра JSTART на входе в подпрограмму и на выходе из нее, значения переменных NACCEP, NREJEC из общего блока и число обращений к правой части N. Приводятся также вычисленные на каждом элементарном сегменте коэффициенты Чебышёва для решения и его производной. 

Unit ftde75e1_p;
interface
uses
SysUtils, Math, { Delphi }
Lstruct, Lfunc;
procedure ftde75e1(X :Extended; var Y :Array of Extended; var Z :Array of Extended; M :Integer);
implementation
procedure ftde75e1(X :Extended; var Y :Array of Extended; var Z :Array of Extended; M :Integer);
begin
Z[0] := _BLOCK.elm2*Y[0];
_BLOCK.elm1 := _BLOCK.elm1+1;
end;
end.

function tde75e1: String;
var
M0,K0,INIAPR,IMAX,IU,MEXACT,MESTER,K20,IMAX2,NATTEM,JSTART,NX,L,J,
   NUMBES,IERR :Integer;
X,EPS,THRESH,H,HMIN,XP,YX2,Y,YT,ХК :Extended;
BUL :Boolean;
sBUL : String;  //текстовое представление переменной BUL
XJ0 :Array [0..17] of Extended;
AU :Array [0..19] of Extended;
AJK :Array [0..18] of Extended;
XJ02 :Array [0..24] of Extended;
AU2 :Array [0..26] of Extended;
AJK2 :Array [0..25] of Extended;
AJКР :Array [0..18] of Extended;
YP :Array [0..0] of Extended;
RАВС :Array [0..24] of Extended;
HD4I :Array [0..25] of Extended;
ALP :Array [0..17] of Extended;
ALPN :Array [0..17] of Extended;
CMAR :Array [0..323] of Extended;
P :Array [0..169] of Extended;
ALP2 :Array [0..24] of Extended;
ALPN2 :Array [0..24] of Extended;
CMAR2 :Array [0..624] of Extended;
S :Array [0..188] of Extended;
U :Array [0..17] of Extended;
U2 :Array [0..24] of Extended;
DELTY :Array [0..0] of Extended;
RO :Array [0..0] of Extended;
ZFI :Array [0..21] of Extended;
ZFI2 :Array [0..27] of Extended;
const
K :Integer = 18;
K2 :Integer = 25;
M :Integer = 1;
label
_10,_20;
begin
Result := '';  { результат функции }
{      PROGRАМ AVSONE }
M0 := M;
_BLOCK.elm2 := 4.0e0;
_BLOCK.elm1 := 0;
_STAT76.elm2 := 0;
_STAT76.elm1 := 0;
{  }
X := 0.0;
Y := Exp(_BLOCK.elm2);
ХК := 7.e0;
K0 := K;
INIAPR := 1;
IМАХ := 28;
IU := 2;
EPS := 0.5e-11;
THRESH := 1.e0;
МЕХАСТ := 1;
MESTER := 1;
H := 1.e0;
HMIN := 1.e-3;
K20 := K2;
IMAX2 := 3;
NАТТЕМ := 3;
{  }
JSTART := 0;
BUL := False;
for NX:=1 to 5 do
 begin
  Result := Result + Format(' JSTART (input) =%1d ',[JSTART]) + #$0D#$0A;
  DE75E(ftde75e1,M0,K0,INIAPR,IMAX,JSTART,Y,X,IU,EPS,THRESH,
       H,HMIN,BUL,XP,YP,MEXACT,NUMBES,DELTY,RO,MESTER,
       K20,IMAX2,YX2,NATTEM,AU,AJK,AU2,AJK2,XJ0,XJ02,
       AJKP,U,U2,ZFI,ZFI2,HD4I,RABC,
       ALP,ALPN,CMAR,P,S,ALP2,ALPN2,CMAR2,IERR);
// Операторы вывода на печать: N,BUL,H,K, INIAPR, IMAX, JSTART, Y,YT, ,AU,AJK 
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
  if ( NX <> 4 ) 
   then goto _20;
{  }
  H := XK-X;
  BUL := True;
_20:
 end;
{  }
UtRes('tde75e1',Result);  { вывод результатов в файл tde75e1.txt }
exit;
end;

Результаты:
----------------------------------------------------------
 JSTART (input) =0 

 RESULTS AFTER 1 -nd   call procedure DE75E
 IERR= 0    N=  666    NACCEP=  1    NREJEC=  0    BUL=False 
 XP=      0,00000000000000000E+000      X=      1,00000000000000000E+000 
 H =      1,71625330568164185E+000    K =18    INIAPR=1    IMAX =28    JSTART (exit) =1
                                K2=25               IMAX2= 3 
 It is advisable to take the next segment H =       1,71625330568164185E+000 
  Y =      2,98095798704172828E+003
 YT=      2,98095798704172828E+003
 (YT-Y)/Y=     -1,48975333359452051E-019 

            COEFFICIENTS AU AND AJK ON   1   SEGMENT  
 ----------------------------------------------------------------
   Number of       Chebyshev coefficients for 1  component
              ---------------------------------------------------
 coefficient           for Y                     for Y'
 ----------------------------------------------------------------
      0            1,83930069637042288E+003       7,35720278548169153E+003 
      1            1,28341741430283353E+003       5,13366965721133410E+003 
      2            5,55883282067589359E+002       2,22353312827035743E+003 
      3            1,71650850167654808E+002       6,86603400670619233E+002 
      4            4,09307315646249336E+001       1,63722926258499734E+002 
      5            7,92792390915507390E+000       3,17116956366202957E+001 
      6            1,29111201884956406E+000       5,16444807539825612E+000 
      7            1,81251796057689629E-001       7,25007184230758332E-001 
      8            2,23494464457366798E-002       8,93977857829465119E-002 
      9            2,45622449179612338E-003       9,82489796718457806E-003 
     10            2,43426019571528658E-004       9,73704078286070050E-004 
     11            2,19642960809237536E-005       8,78571843234317307E-005 
     12            1,81876268147319033E-006       7,27505072542489195E-006 
     13            1,39143903130525986E-007       5,56575612718594737E-007 
     14            9,89194048795732123E-009       3,95677626375406932E-008 
     15            6,56736301611037428E-010       2,62694539298474750E-009 
     16            4,08961615250670943E-011       1,63584540878447537E-010 
     17            2,39784449699967862E-012       9,59105538045346151E-012 
     18            1,32822488058280551E-013       5,31115082469391098E-013 
     19            6,97236721940091242E-015 
 ****************************************************************
 JSTART (input) =1 

 RESULTS AFTER 2 -nd   call procedure DE75E
 IERR= 0    N= 1997    NACCEP=  2    NREJEC=  1    BUL=False 
 XP=      1,00000000000000000E+000      X=      2,46769103771101202E+000 
 H =      1,52486582304258620E+000    K =18    INIAPR=1    IMAX =28    JSTART (exit) =1
                                K2=25               IMAX2= 3 
 It is advisable to take the next segment H =       1,52486582304258620E+000 
  Y =      1,05680857982815943E+006
 YT=      1,05680857982815932E+006
 (YT-Y)/Y=     -1,04671077822929044E-016 

            COEFFICIENTS AU AND AJK ON   2   SEGMENT  
 ----------------------------------------------------------------
   Number of       Chebyshev coefficients for 1  component
              ---------------------------------------------------
 coefficient           for Y                     for Y'
 ----------------------------------------------------------------
      0            5,20036425773305682E+005       2,08014570309322175E+006 
      1            4,18677280417744901E+005       1,67470912167097863E+006 
      2            2,34773880959577408E+005       9,39095523838308702E+005 
      3            9,87545242963651478E+004       3,95018097185459768E+005 
      4            3,29169742422456925E+004       1,31667896968982098E+005 
      5            9,04361540212670143E+003       3,61744616085062901E+004 
      6            2,10798525969046588E+003       8,43194103876149023E+003 
      7            4,26058141663780045E+002       1,70423256665486544E+003 
      8            7,59451947065899215E+001       3,03780778826195929E+002 
      9            1,21007473334855501E+001       4,84029893338432360E+001 
     10            1,74243458668170453E+000       6,96973834667054659E+000 
     11            2,28803294079903128E-001       9,15213176289579489E-001 
     12            2,76075759375096571E-002       1,10430303734881247E-001 
     13            3,08077977250150777E-003       1,23231190830109805E-002 
     14            3,19723100771996872E-004       1,27889239975129132E-003 
     15            3,10075126770805896E-005       1,24030049153150967E-004 
     16            2,82214562245788414E-006       1,12885834015197251E-005 
     17            2,41956658447925380E-007       9,67827475356619615E-007 
     18            1,96060062965164206E-008       7,84224400418587209E-008 
     19            1,50596651208794305E-009 
 ****************************************************************
 JSTART (input) =1 

 RESULTS AFTER 3 -nd   call procedure DE75E
 IERR= 0    N= 2663    NACCEP=  3    NREJEC=  1    BUL=False 
 XP=      2,46769103771101202E+000      X=      3,99255686075359822E+000 
 H =      1,50967364617117309E+000    K =18    INIAPR=1    IMAX =28    JSTART (exit) =1
                                K2=25               IMAX2= 3 
 It is advisable to take the next segment H =       1,50967364617117309E+000 
  Y =      4,70933495272515706E+008
 YT=      4,70933495272515603E+008
 (YT-Y)/Y=     -2,18896656348680404E-016 

            COEFFICIENTS AU AND AJK ON   3   SEGMENT  
 ----------------------------------------------------------------
   Number of       Chebyshev coefficients for 1  component
              ---------------------------------------------------
 coefficient           for Y                     for Y'
 ----------------------------------------------------------------
      0            2,26741876525843324E+008       9,06967506103371995E+008 
      1            1,84476206426362720E+008       7,37904825705449592E+008 
      2            1,05763228018740722E+008       4,23052912074961670E+008 
      3            4,57581285200589266E+007       1,83032514080234635E+008 
      4            1,57393167435365860E+007       6,29572669741454695E+007 
      5            4,47104212676107062E+006       1,78841685070436119E+007 
      6            1,07887233197528837E+006       4,31548932790066819E+006 
      7            2,25925019384550833E+005       9,03700077537872180E+005 
      8            4,17482048593562062E+004       1,66992819437211976E+005 
      9            6,89877207282303933E+003       2,75950882911634770E+004 
     10            1,03055762953393718E+003       4,12223051806261124E+003 
     11            1,40422492391962274E+002       5,61689969528828229E+002 
     12            1,75849515510654189E+001       7,03398061846879017E+001 
     13            2,03692729146787488E+000       8,14770915673852869E+000 
     14            2,19453292316756476E-001       8,77813164878858743E-001 
     15            2,20968396736731168E-002       8,83873567278357086E-002 
     16            2,08820220368025779E-003       8,35280949166872233E-003 
     17            1,85904427332539106E-004       7,43618494610132075E-004 
     18            1,56431837133272036E-005       6,25711850688048798E-005 
     19            1,24782403349707538E-006 
 ****************************************************************
 JSTART (input) =1 

 RESULTS AFTER 4 -nd   call procedure DE75E
 IERR= 0    N= 3329    NACCEP=  4    NREJEC=  1    BUL=False 
 XP=      3,99255686075359822E+000      X=      5,50223050692477131E+000 
 H =      1,51357623862537361E+000    K =18    INIAPR=1    IMAX =28    JSTART (exit) =1
                                K2=25               IMAX2= 3 
 It is advisable to take the next segment H =       1,51357623862537361E+000 
  Y =      1,97483727936636883E+011
 YT=      1,97483727936636815E+011
 (YT-Y)/Y=     -3,46565431382284576E-016 

            COEFFICIENTS AU AND AJK ON   4   SEGMENT  
 ----------------------------------------------------------------
   Number of       Chebyshev coefficients for 1  component
              ---------------------------------------------------
 coefficient           for Y                     for Y'
 ----------------------------------------------------------------
      0            9,56263580720546514E+010       3,82505432288218194E+011 
      1            7,75917523183278515E+010       3,10367009273310998E+011 
      2            4,42299834217349063E+010       1,76919933686939239E+011 
      3            1,89963286863252841E+010       7,59853147453007963E+010 
      4            6,48077437677934199E+009       2,59230975071170906E+010 
      5            1,82500323273241719E+009       7,30001293092945619E+009 
      6            4,36410956377221397E+008       1,74564382550873172E+009 
      7            9,05450967609050929E+007       3,62180387043515380E+008 
      8            1,65747361889386716E+007       6,62989447556872035E+007 
      9            2,71294187906839965E+006       1,08517675162328030E+007 
     10            4,01388410392450801E+005       1,60555364154661827E+006 
     11            5,41658488215776236E+004       2,16663395273942217E+005 
     12            6,71745713385252504E+003       2,68698285292005603E+004 
     13            7,70543277064271509E+002       3,08217310537172307E+003 
     14            8,22067742412324005E+001       3,28827095570835809E+002 
     15            8,19649890534146120E+000       3,27859949955236516E+001 
     16            7,66997829641469611E-001       3,06799156331544509E+000 
     17            6,76124762509413833E-002       2,70450181218620855E-001 
     18            5,63340650155065985E-003       2,25330983521416783E-002 
     19            4,44941974740075805E-004 
 ****************************************************************
 JSTART (input) =1 

 RESULTS AFTER 5 -nd   call procedure DE75E
 IERR= 0    N= 3995    NACCEP=  5    NREJEC=  1    BUL=True 
 XP=      5,50223050692477131E+000      X=      7,00000000000000000E+000 
 H =      1,51670202582152253E+000    K =18    INIAPR=1    IMAX =28    JSTART (exit) =1
                                K2=25               IMAX2= 3 
 It is advisable to take the next segment H =       1,51670202582152253E+000 
  Y =      7,89629601826807325E+013
 YT=      7,89629601826806952E+013
 (YT-Y)/Y=     -4,72471386223377151E-016 

            COEFFICIENTS AU AND AJK ON   5   SEGMENT  
 ----------------------------------------------------------------
   Number of       Chebyshev coefficients for 1  component
              ---------------------------------------------------
 coefficient           for Y                     for Y'
 ----------------------------------------------------------------
      0            3,84086264346711842E+013       1,53634505738684606E+014 
      1            3,10977346981527276E+013       1,24390938792610780E+014 
      2            1,76459290757453539E+013       7,05837163029812922E+013 
      3            7,53479105785379520E+012       3,01391642314150720E+013 
      4            2,55390505063987970E+012       1,02156202025594300E+013 
      5            7,14235391718036521E+011       2,85694156687207796E+012 
      6            1,69574901640892590E+011       6,78299606563521060E+011 
      7            3,49256484301453788E+010       1,39702593720547878E+011 
      8            6,34581990211230437E+009       2,53832796084275982E+010 
      9            1,03087393272124352E+009       4,12349573087190444E+009 
     10            1,51365122927864485E+008       6,05460491704031853E+008 
     11            2,02703409935089007E+007       8,10813639700717796E+007 
     12            2,49458446281426271E+006       9,97833784927024506E+006 
     13            2,83945427761642635E+005       1,13578171012491547E+006 
     14            3,00593282419855196E+004       1,20237312525099143E+005 
     15            2,97389135051964512E+003       1,18955652048569173E+004 
     16            2,76126844113491098E+002       1,10450747322291136E+003 
     17            2,41519958972125918E+001       9,66080856416374445E+001 
     18            1,99665848280021361E+000       7,98646074160933495E+000 
     19            1,56472800195561163E-001 
 ****************************************************************

Из приведенных результатов наглядно видно, что на всех выбранных подпрограммой DE75E сегментах коэффициенты Чебышёва, как для решения Y, так и для его производной Y', быстро убывают.

2) Решается задача Коши из примера 1; используется разбиение отрезка интегрирования на семь сегментов, при этом порядок частичных сумм ряда Чебышёва, представляющих приближенное решение, или порядок частичных сумм для оценивающего решения изменяется от сегмента к сегменту. Поэтому каждое обращение к подпрограмме DE75E (кроме последнего, седьмого) осуществляется с нулевым значением параметра JSTART. Приводится та же информация, что и в примере 1. 

Unit ftde75e2_p;
interface
uses
SysUtils, Math, { Delphi }
Lstruct, Lfunc;
procedure ftde75e2(X :Extended; var Y :Array of Extended; var Z :Array of Extended; M :Integer);
implementation
procedure ftde75e2(X :Extended; var Y :Array of Extended; var Z :Array of Extended; M :Integer);
begin
Z[0] := _BLOCK.elm2*Y[0];
_BLOCK.elm1 := _BLOCK.elm1+1;
end;
end.

Unit tde75e2_p;
interface
uses
SysUtils, Math, { Delphi }
Lstruct, Lfunc, UtRes_p, ftde75e2_p, DE75E_p;

function tde75e2: String;

implementation

function tde75e2: String;
var
M0,K0,INIAPR,IMAX,IU,MEXACT,MESTER,K20,IMAX2,NATTEM,JSTART,NX,L,J,
   NUMBES,IERR :Integer;
X,EPS,THRESH,H,HMIN,XP,YX2,Y,YT,XK,H1 :Extended;
BUL :Boolean;
sBUL : String;  //текстовое представление переменной BUL
XJ0 :Array [0..17] of Extended;
AU :Array [0..19] of Extended;
AJK :Array [0..18] of Extended;
XJ02 :Array [0..26] of Extended;
AU2 :Array [0..28] of Extended;
AJK2 :Array [0..27] of Extended;
AJKP :Array [0..18] of Extended;
YP :Array [0..0] of Extended;
RABC :Array [0..26] of Extended;
HD4I :Array [0..27] of Extended;
ALP :Array [0..17] of Extended;
ALPN :Array [0..17] of Extended;
CMAR :Array [0..323] of Extended;
P :Array [0..169] of Extended;
ALP2 :Array [0..26] of Extended;
ALPN2 :Array [0..26] of Extended;
CMAR2 :Array [0..728] of Extended;
S :Array [0..188] of Extended;
U :Array [0..17] of Extended;
U2 :Array [0..26] of Extended;
DELTY :Array [0..0] of Extended;
RO :Array [0..0] of Extended;
ZFI :Array [0..21] of Extended;
ZFI2 :Array [0..29] of Extended;
const
K :Integer = 18;
K2 :Integer = 27;
M :Integer = 1;
label
_10,_1,_2,_3,_4,_5,_6,_20;
begin
Result := '';  { результат функции }
{      PROGRAM AVSONE }
{        take into consideraitoin: all arraies dependent on K }
{               must be described for maximal value K }
_BLOCK.elm2 := 4.0e0;
M0 := M;
{  }
_BLOCK.elm1 := 0;
_STAT76.elm2 := 0;
_STAT76.elm1 := 0;
{  }
X := 0.0;
Y := Exp(_BLOCK.elm2);
XK := 7.e0;
K0 := 12;
INIAPR := 1;
IMAX := 23;
IU := 2;
EPS := 0.5e-11;
THRESH := 1.e0;
MEXACT := 1;
MESTER := 1;
H := 1.e0;
HMIN := 1.e-3;
K20 := 25;
IMAX2 := 3;
NATTEM := 3;
{  }
{   take into consideraitoin: parameter JSTART must be equal to zero }
{  }
JSTART := 0;
BUL := False;
{  }
for NX:=1 to 7 do
 begin
  Result := Result + Format(' JSTART (input) =%1d ',[JSTART]) + #$0D#$0A;
  DE75E(ftde75e2,M0,K0,INIAPR,IMAX,JSTART,Y,X,IU,EPS,THRESH,
       H,HMIN,BUL,XP,YP,MEXACT,NUMBES,DELTY,RO,MESTER,
       K20,IMAX2,YX2,NATTEM,AU,AJK,AU2,AJK2,XJ0,XJ02,
       AJKP,U,U2,ZFI,ZFI2,HD4I,RABC,
       ALP,ALPN,CMAR,P,S,ALP2,ALPN2,CMAR2,IERR);
// Операторы вывода на печать: N,BUL,H,K, INIAPR, IMAX, JSTART, Y,YT, ,AU,AJK 
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
  case NX of
   1: goto _1;
   2: goto _2;
   3: goto _3;
   4: goto _4;
   5: goto _5;
   6: goto _6;
   7: goto _20;
  end;
{  }
{   take into consideraitoin: parameter JSTART must be equal to zero }
{  };
_1:
  JSTART := 0;
{  }
  K0 := 16;
  IMAX := 25;
  goto _20;
{  }
{   take into consideraitoin: parameter JSTART must be equal to zero }
{  };
_2:
  JSTART := 0;
{  }
  K0 := 17;
  IMAX := 24;
  goto _20;
{  }
{   take into consideraitoin: parameter JSTART must be equal to zero }
{  };
_3:
  JSTART := 0;
{  }
  K0 := 18;
  IMAX := 25;
  goto _20;
{  }
{   take into consideraitoin: parameter JSTART must be equal to zero }
{  };
_4:
  JSTART := 0;
{  }
  K20 := 26;
  IMAX2 := 3;
  goto _20;
{  }
{   take into consideraitoin: parameter JSTART must be equal to zero }
{  };
_5:
  JSTART := 0;
{  }
  K20 := 27;
  goto _20;
{  };
_6:
  H1 := XK-X;
  if ( H1 > H ) 
   then goto _20;
  H := H1;
  BUL := True;
_20:
 end;
{  }
UtRes('tde75e2',Result);  { вывод результатов в файл tde75e2.txt }
exit;
end;

Результаты:
----------------------------------------------------------
 JSTART (input) =0 

 RESULTS AFTER 1 -nd   call procedure DE75E
 IERR= 0    N=  426    NACCEP=  1    NREJEC=  0    BUL=False 
 XP=      0,00000000000000000E+000      X=      1,00000000000000000E+000 
 H =      9,34019095783715682E-001    K =12    INIAPR=1    IMAX =23    JSTART (exit) =1
                                K2=25               IMAX2= 3 
 It is advisable to take the next segment H =       9,34019095783715682E-001 
  Y=      2,98095798705117395E+003
 YT=      2,98095798704172828E+003
 (YT-Y)/Y=     -3,16867211904616548E-012 

            COEFFICIENTS AU AND AJK ON   1   SEGMENT  
 ----------------------------------------------------------------
   Number of       Chebyshev coefficients for 1  component
              ---------------------------------------------------
 coefficient           for Y                     for Y'
 ----------------------------------------------------------------
      0            1,83930069637505472E+003       7,35720278550800585E+003 
      1            1,28341741430667285E+003       5,13366965723247201E+003 
      2            5,55883282069767968E+002       2,22353312828131445E+003 
      3            1,71650850168494676E+002       6,86603400674328273E+002 
      4            4,09307315648462582E+001       1,63722926259378341E+002 
      5            7,92792390919775589E+000       3,17116956367881416E+001 
      6            1,29111201885609132E+000       5,16444807542322315E+000 
      7            1,81251796060602344E-001       7,25007184241949878E-001 
      8            2,23494464481556566E-002       8,93977857263575214E-002 
      9            2,45622448627679825E-003       9,82489790096886806E-003 
     10            2,43426014456556996E-004       9,73704220392784467E-004 
     11            2,19643023702000661E-005       8,78573227065882270E-005 
     12            1,81876823023096881E-006       7,27491610398155880E-006 
     13            1,39140227018410284E-007 
 ****************************************************************
 JSTART (input) =0 

 RESULTS AFTER 2 -nd   call procedure DE75E
 IERR= 0    N=  984    NACCEP=  2    NREJEC=  0    BUL=False 
 XP=      1,00000000000000000E+000      X=      1,93401909578371568E+000 
 H =      1,35317498864081248E+000    K =16    INIAPR=1    IMAX =25    JSTART (exit) =1
                                K2=25               IMAX2= 3 
 It is advisable to take the next segment H =       1,35317498864081248E+000 
  Y=      1,25000920860091070E+005
 YT=      1,25000920859694983E+005
 (YT-Y)/Y=     -3,16867683187364068E-012 

            COEFFICIENTS AU AND AJK ON   2   SEGMENT  
 ----------------------------------------------------------------
   Number of       Chebyshev coefficients for 1  component
              ---------------------------------------------------
 coefficient           for Y                     for Y'
 ----------------------------------------------------------------
      0            8,03850142856141759E+004       3,21540057142456704E+005 
      1            5,42492811536326133E+004       2,16997124614530453E+005 
      2            2,23034596380475885E+004       8,92138385521903538E+004 
      3            6,49124336034054611E+003       2,59649734413621844E+004 
      4            1,45406783339541162E+003       5,81627133358164640E+003 
      5            2,64099440224720050E+002       1,05639776089888013E+003 
      6            4,02881718397782630E+001       1,61152687359112994E+002 
      7            5,29420580299779846E+000       2,11768232119911609E+001 
      8            6,10781100899627191E-001       2,44312440359848823E+000 
      9            6,27829881386676052E-002       2,51131952554674048E-001 
     10            5,81820902867102741E-003       2,32728361146798124E-002 
     11            4,90803161562683095E-004       1,96321264624246816E-003 
     12            3,79901856553199300E-005       1,51960742599904775E-004 
     13            2,71653686115083040E-006       1,08661474535198810E-005 
     14            1,80488434960061185E-007       7,21953781229744962E-007 
     15            1,11980689028952222E-008       4,47922977320214244E-008 
     16            6,51617244087873376E-010       2,60646038086065346E-009 
     17            3,56996637710675102E-011 
 ****************************************************************
 JSTART (input) =0 

 RESULTS AFTER 3 -nd   call procedure DE75E
 IERR= 0    N= 2119    NACCEP=  3    NREJEC=  1    BUL=False 
 XP=      1,93401909578371568E+000      X=      3,03834344269038141E+000 
 H =      1,14408908378873810E+000    K =17    INIAPR=1    IMAX =24    JSTART (exit) =1
                                K2=25               IMAX2= 3 
 It is advisable to take the next segment H =       1,14408908378873810E+000 
  Y=      1,03590777520914224E+007
 YT=      1,03590777520585996E+007
 (YT-Y)/Y=     -3,16849807463492284E-012 

            COEFFICIENTS AU AND AJK ON   3   SEGMENT  
 ----------------------------------------------------------------
   Number of       Chebyshev coefficients for 1  component
              ---------------------------------------------------
 coefficient           for Y                     for Y'
 ----------------------------------------------------------------
      0            6,02140897588615816E+006       2,40856359035446238E+007 
      1            4,39098130475002340E+006       1,75639252190000851E+007 
      2            2,04523900639336688E+006       8,18095602557345984E+006 
      3            6,86926400731458285E+005       2,74770560292582663E+006 
      4            1,79139424357667543E+005       7,16557697430665003E+005 
      5            3,80611471147757953E+004       1,52244588459099340E+005 
      6            6,81166928557570842E+003       2,72466771423001656E+004 
      7            1,05207833173550995E+003       4,20831332694030917E+003 
      8            1,42842013245863561E+002       5,71368052982406258E+002 
      9            1,72952907130484440E+001       6,91811628516033910E+001 
     10            1,88920635207937503E+000       7,55682540800696323E+000 
     11            1,87940346434231201E-001       7,51761385584812203E-001 
     12            1,71623129944909124E-002       6,86492519078925056E-002 
     13            1,44825600363606025E-003       5,79302398607239866E-003 
     14            1,13582594954172581E-004       4,54330370551758733E-004 
     15            8,32004545407394588E-006       3,32801795988046933E-005 
     16            5,71698680500482660E-007       2,28679418512456323E-006 
     17            3,69908001125489391E-008       1,47961102925364685E-007 
     18            2,26136527176858164E-009 
 ****************************************************************
 JSTART (input) =0 

 RESULTS AFTER 4 -nd   call procedure DE75E
 IERR= 0    N= 2731    NACCEP=  4    NREJEC=  1    BUL=False 
 XP=      3,03834344269038141E+000      X=      4,18243252647911951E+000 
 H =      1,23825674275042976E+000    K =18    INIAPR=1    IMAX =25    JSTART (exit) =1
                                K2=25               IMAX2= 3 
 It is advisable to take the next segment H =       1,23825674275042976E+000 
  Y=      1,00648520745292132E+009
 YT=      1,00648520744973234E+009
 (YT-Y)/Y=     -3,16843609574344557E-012 

            COEFFICIENTS AU AND AJK ON   4   SEGMENT  
 ----------------------------------------------------------------
   Number of       Chebyshev coefficients for 1  component
              ---------------------------------------------------
 coefficient           for Y                     for Y'
 ----------------------------------------------------------------
      0            5,72819385484066500E+008       2,29127754193626570E+009 
      1            4,23803019095100453E+008       1,69521207638040152E+009 
      2            2,02391046379873230E+008       8,09564185519492654E+008 
      3            7,00000692240294314E+007       2,80000276896117497E+008 
      4            1,88387245828181937E+007       7,53548983312725919E+007 
      5            4,13553175136225194E+006       1,65421270054488706E+007 
      6            7,65255436223731613E+005       3,06102174489483000E+006 
      7            1,22266803376557544E+005       4,89067213506166720E+005 
      8            1,71776547264653051E+004       6,87106189058221512E+004 
      9            2,15269708978720086E+003       8,61078835912642000E+003 
     10            2,43419374849898198E+002       9,73677499387522630E+002 
     11            2,50710307720967989E+001       1,00284123082268366E+002 
     12            2,37054184959125325E+000       9,48216739538827369E+000 
     13            2,07143335728764216E-001       8,28573341710466593E-001 
     14            1,68235916528404209E-002       6,72943662485749883E-002 
     15            1,27625179022849807E-003       5,10500702523586369E-003 
     16            9,08238935370188448E-005       3,63295496526916395E-004 
     17            6,08645265698982392E-006       2,43456775024242233E-005 
     18            3,85386862594734457E-007       1,54151553033443634E-006 
     19            2,31271146760176271E-008 
 ****************************************************************
 JSTART (input) =0 

 RESULTS AFTER 5 -nd   call procedure DE75E
 IERR= 0    N= 3348    NACCEP=  5    NREJEC=  1    BUL=False 
 XP=      4,18243252647911951E+000      X=      5,42068926922954926E+000 
 H =      1,22157803018316649E+000    K =18    INIAPR=1    IMAX =25    JSTART (exit) =1
                                K2=26               IMAX2= 3 
 It is advisable to take the next segment H =       1,22157803018316649E+000 
  Y=      1,42521268324946186E+011
 YT=      1,42521268324494694E+011
 (YT-Y)/Y=     -3,16789395837703225E-012 

            COEFFICIENTS AU AND AJK ON   5   SEGMENT  
 ----------------------------------------------------------------
   Number of       Chebyshev coefficients for 1  component
              ---------------------------------------------------
 coefficient           for Y                     for Y'
 ----------------------------------------------------------------
      0            7,74030891947694716E+010       3,09612356779077543E+011 
      1            5,90134720666746079E+010       2,36053888266698099E+011 
      2            2,97445786215960642E+010       1,18978314486383954E+011 
      3            1,09708043473338122E+010       4,38832173893349908E+010 
      4            3,16494298892747444E+009       1,26597719557096914E+010 
      5            7,46937584783501112E+008       2,98775033913384965E+009 
      6            1,48857717611281078E+008       5,95430870445015526E+008 
      7            2,56442739279142152E+007       1,02577095711585286E+008 
      8            3,88784884505889114E+006       1,55513953801915204E+007 
      9            5,26065654402553076E+005       2,10426261758488767E+006 
     10            6,42549762172169311E+004       2,57019904855278495E+005 
     11            7,15084457832366813E+003       2,86033783065112802E+004 
     12            7,30758945389353328E+002       2,92303577838107594E+003 
     13            6,90278245011723916E+001       2,76111296620583744E+002 
     14            6,06132143084212042E+000       2,42452851526322775E+001 
     15            4,97206032707197460E-001       1,98882394726388156E+000 
     16            3,82646623377551980E-002       1,53058611496817321E-001 
     17            2,77331098266776870E-003       1,10932351526571438E-002 
     18            1,89934683261074751E-004       7,59705857490189374E-004 
     19            1,23284797454384414E-005 
 ****************************************************************
 JSTART (input) =0 

 RESULTS AFTER 6 -nd   call procedure DE75E
 IERR= 0    N= 3970    NACCEP=  6    NREJEC=  1    BUL=False 
 XP=      5,42068926922954926E+000      X=      6,64226729941271576E+000 
 H =      1,22429649223385452E+000    K =18    INIAPR=1    IMAX =25    JSTART (exit) =1
                                K2=27               IMAX2= 3 
 It is advisable to take the next segment H =       1,22429649223385452E+000 
 Y =      1,88789601372710094E+013
 YT=      1,88789601372112098E+013
 (YT-Y)/Y=     -3,16752366034311734E-012 

            COEFFICIENTS AU AND AJK ON   6   SEGMENT  
 ----------------------------------------------------------------
   Number of       Chebyshev coefficients for 1  component
              ---------------------------------------------------
 coefficient           for Y                     for Y'
 ----------------------------------------------------------------
      0            1,03353587966393027E+013       4,13414351865571788E+013 
      1            7,84111841214781088E+012       3,13644736485912126E+013 
      2            3,91651512197687037E+012       1,56660604879074534E+013 
      3            1,42889581939273445E+012       5,71558327757091378E+012 
      4            4,07375834709687500E+011       1,62950333883873080E+012 
      5            9,49627438327384210E+010       3,79850975330939287E+011 
      6            1,86870179236651513E+010       7,47480716946504886E+010 
      7            3,17809743959610087E+009       1,27123897583777503E+010 
      8            4,75588504098051208E+008       1,90235401638811046E+009 
      9            6,35129114057606985E+007       2,54051645620689213E+008 
     10            7,65588863753779306E+006       3,06235545488885734E+007 
     11            8,40790195112278649E+005       3,36316077981990576E+006 
     12            8,47864090986914765E+004       3,39145636104531586E+005 
     13            7,90282795320972446E+003       3,16113116889484227E+004 
     14            6,84730019741383997E+002       2,73892002656869590E+003 
     15            5,54206898223262810E+001       2,21682735186070204E+002 
     16            4,20831695364351347E+000       1,68332607802003622E+001 
     17            3,00937967166763677E-001       1,20374949835240841E+000 
     18            2,03348573274968156E-002       8,13372340053319931E-002 
     19            1,30228505720483478E-003 
 ****************************************************************
 JSTART (input) =1 

 RESULTS AFTER 7 -nd   call procedure DE75E
 IERR= 0    N= 4592    NACCEP=  7    NREJEC=  1    BUL=True 
 XP=      6,64226729941271576E+000      X=      7,00000000000000000E+000 
 H =      7,55866013560916418E-001    K =18    INIAPR=1    IMAX =25    JSTART (exit) =1
                                K2=27               IMAX2= 3 
 It is advisable to take the next segment H =       7,55866013560916418E-001 
  Y=      7,89629601829308122E+013
 YT=      7,89629601826806952E+013
 (YT-Y)/Y=     -3,16752257056633371E-012 

            COEFFICIENTS AU AND AJK ON   7   SEGMENT  
 ----------------------------------------------------------------
   Number of       Chebyshev coefficients for 1  component
              ---------------------------------------------------
 coefficient           for Y                     for Y'
 ----------------------------------------------------------------
      0            8,74229304727850261E+013       3,49691721891140104E+014 
      1            2,94298540955128886E+013       1,17719416382051554E+014 
      2            5,15520921834462391E+012       2,06208368733784956E+013 
      3            6,08283074013335299E+011       2,43313229605334120E+012 
      4            5,40562651922306841E+010       2,16225060768922723E+011 
      5            3,85116042548214216E+009       1,54046417019285772E+010 
      6            2,28918416834533543E+008       9,15673667338124990E+008 
      7            1,16721741919141074E+007       4,66886967676813602E+007 
      8            5,21015061462007670E+005       2,08406024585127830E+006 
      9            2,06799761121495672E+004       8,27199044723510742E+004 
     10            7,38931538081242193E+002       2,95572614932060242E+003 
     11            2,40076502503358320E+001       9,60306282043457031E+001 
     12            7,15107129355118954E-001       2,86047816276550293E+000 
     13            1,96650974400421224E-002       7,87005424499511719E-002 
     14            5,02602505657518764E-004       1,96099281311035156E-003 
     15            1,18126819208476228E-005       2,24113464355468750E-005 
     16            2,29217203337747194E-007      -2,02655792236328125E-005 
     17            3,01023960607711773E-008      -1,85966491699218750E-005 
     18           -2,17963645551139451E-007      -2,59876251220703125E-005 
     19            2,83926327757405337E-007 
 ****************************************************************

Из приведенных результатов второго примера наглядно видно, что на всех выбранных подпрограммой DE75E сегментах коэффициенты Чебышёва, как для решения Y, так и для его производной Y', быстро убывают. Отметим, однако, что в значениях последних коэффициентов Чебышёва (как для решения, так и для его производной), вычисленных на седьмом сегменте, по мере уменьшения их абсолютных величин начинает заметнее проявлять себя вычислительная погрешность.