БЧА НИВЦ МГУ. DE99E_P. Вычисление решения задачи Коши для системы уравнений второго порядка с правой частью, зависящей от производной, в конце интервала интегрирования методом рядов Чебышёва

Текст подпрограммы и версий ( Паскаль )
de99e_p.zip

Тексты тестовых примеров ( Паскаль )
tde99e1_p.zip , tde99e2_p.zip , tde99e3_p.zip , tde99e4_p.zip

Подпрограмма: DE99E (модуль DE99E_p)

Назначение

Вычисление решения задачи Коши для канонической системы обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка с правой частью, зависящей от производной, в конце интервала интегрирования методом рядов Чебышёва с контролем точности.

Математическое описание

Решается задача Коши для канонической системы M обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка

          Y'' = F (X,Y,Y') ,
          Y = ( y₁, ... , y_M ) ,   Y' = ( y'₁, ... , y'_M ) ,
          F = ( f₁ (X, y₁, ... , y_M, y'₁, ... , y'_M), ... , f_M (X, y₁, ... , y_M, y'₁, ... , y'_M ) )

 с начальными условиями, заданными в точке XN :

          Y(XN) = YN ,       YN = ( y₁₀, ... , y_M0 ) , 
          Y'(XN) = DYN ,    DYN = ( y'₁₀, ... , y'_M0 ) ,

методом рядов Чебышёва. Решение Y и его производная Y' вычисляются в одной точке XK, которая является концом интервала интегрирования. Предполагается, что правая часть системы имеет непрерывные ограниченные частные производные по переменным X, Y, Y'. Тогда решение системы и его производные Y', Y'' разлагаются на промежутке интегрирования в равномерно сходящиеся ряды по смещенным многочленам Чебышёва первого рода.

Приводимое здесь описание метода решения преследует следующие цели. Во-первых, дать пользователю общее представление об используемом подходе к интегрированию обыкновенных дифференциальных уравнений. Во-вторых, на основе данного знания помочь пользователю яснее усвоить смысл и назначение формальных параметров. С более подробным изложением различных аспектов математического метода решения можно ознакомиться по приводимому в конце данного раздела списку литературы.

Интервал интегрирования [XN, XK] автоматически разбивается на элементарные сегменты переменной длины H: [x_s, x_s + H], x₀ = XN, s = 0, 1, ... . На каждом элементарном сегменте решение исходной задачи Коши приближенно представляется в виде (K + 2) - й частичной суммы смещенного ряда Чебышёва

                                                             _K+2
           Y(x_s + αH) ≈ U_K+2(x_s + αH) = ∑ a_i^*[U_K+2] T_i^*(α) ,     0 ≤ α ≤ 1 ,
                                                             ⁱ⁼⁰

а его производные Y'и Y'' приближенно представляются соответственно в виде (K + 1) - й и К - й частичных сумм рядов Чебышёва

                                                            _K+1
           Y'(x_s + αH) ≈ U'_K+2(x_s+αH) = ∑ a_i^*[U'_K+2] T_i^*(α) ,     0 ≤ α ≤ 1 ,
                                                            ⁱ⁼⁰

                                                               _K
           Y''(x_s + αH) ≈ U''_K+2(x_s+αH) = ∑ a_i^*[U''_K+2] T_i^*(α) ,     0 ≤ α ≤ 1 .
                                                              ⁱ⁼⁰

Здесь a_i^*[U_K+2] , a_i^*[U'_K+2] , a_i^*[U''_K+2] - коэффициенты рядов, T_i^*(α) - смещенные многочлены Чебышёва первого рода на [0,1]. Значение K задается пользователем при обращении к подпрограмме. Решение Y и его производная Y' в конце каждого сегмента вычисляются по формулам

                                                                   _K+2                                                                                    _K+1
        Y(x_s + H) = Y(x_s+1) ≈ U_K+2(x_s+1) = ∑ a_i^*[U_K+2] ,       Y'(x_s + H) = Y'(x_s+1) ≈ U'_K+2(x_s+1) = ∑ a_i^*[U'_K+2].                                         
                                                                   ⁱ⁼⁰                                                                                      ⁱ⁼⁰

Коэффициенты a_i^*[U_K+2] ряда Чебышёва для решения U_K+2(x_s + αH) и коэффициенты a_i^*[U'_K+2] ряда Чебышёва для его производной U'_K+2(x_s + αH) на сегменте [x_s, x_s + H] выражаются через коэффициенты a_i^*[Φ] ряда Чебышёва второй производной решения Φ(α) = F(x_s + αH, U_K+2(x_s + αH), U'_K+2(x_s + αH)), 0 ≤ α ≤ 1, на [x_s, x_s + H], которые, в свою очередь, вычисляются приближенно итерационным способом, исходя из некоторого начального приближения, с помощью квадратурной формулы Маркова на [x_s, x_s + H] с K + 1 узлом. При этом один из узлов квадратурной формулы совпадает с x_s, а остальные K узлов лежат внутри интервала (x_s, x_s + H). Количество итераций, которое предписывается выполнить в этом итерационном процессе, одинаково для всех сегментов и задается при обращении к подпрограмме. Если при выбранном H ряды Чебышёва для Y(X) = Y(x_s + αH), 0 ≤ α ≤ 1, и его первой и второй производных на элементарном сегменте [x_s, x_s + H] быстро сходятся, то для того, чтобы приближенное решение в конце одного такого сегмента имело максимальный порядок точности относительно H, необходимо выполнить не менее K итераций; при этом погрешность приближенного решения в конце элементарного сегмента является величиной порядка O(H^K + 3) , а погрешность приближенного значения производной Y' - величиной порядка O(H^K + 2) при H --> 0. Если H подобрано достаточно малым (или, вернее сказать, выбрано довольно удачным), то хорошая точность приближенного решения может быть получена и при меньшем числе итераций.

Начальное приближение коэффициентов a_i^*[Φ] ряда Чебышёва для второй производной на сегменте [x_s, x_s + H] может вычисляться двумя способами. В первом способе начальное приближение определяется только с использованием значения решения U_K+2(X) и его первой производной U'_K+2(X) в узле x_s. При этом погрешность начального приближения для всех коэффициентов a₀^*[Φ], a₁^*[Φ], ... , a_K^*[Φ] является величиной O(H²) при H --> 0. Во втором способе начальное приближение определяется через коэффициенты ряда Чебышёва производной Φ(α) на предыдущем элементарном сегменте [x_s - 1, x_s]. В этом случае погрешности начального приближения для коэффициентов a₀^*[Φ], a₁^*[Φ], ... , a_K^*[Φ] имеют, соответственно, порядки O(H), O(H²), ... , O(H^K + 1). Второй способ определения начального приближения в некоторых случаях может привести к более быстрой сходимости итерационного процесса и, тем самым, к меньшему числу выполняемых итераций. Второй способ может быть применен только начиная со второго элементарного сегмента [x₁, x₂]. На начальном элементарном сегменте [x₀, x₀ + H] всегда применяется исключительно первый способ. Способ выбора начального приближения задается пользователем при обращении к подпрограмме.

На каждом частичном сегменте [x_s, x_s + H] = [x_s, x_s+1] для оценки погрешности решения U_K+2(x_s + αH) и его производной U'_K+2(x_s + αH), полученных при некотором заданном значении K = K₁, вычисляются на этом же сегменте специальным образом второе приближенное решение вместе с его производной при K = K₂ > K₁, которые также представляются указанными выше частичными суммами при K = K₂. Значение K₂ задается пользователем при обращении к подпрограмме. Второе решение U_K₂+2, как имеющее более высокий порядок точности O(H^K₂ + 3), используется для оценки погрешности первого решения U_K₁+2 на каждом элементарном сегменте. Производная второго решения U'_K₂+2, имеющая порядок точности O(H^K₂ + 2), используется для оценки погрешности производной первого решения U'_K₁+2. Заданные значения K₁ и K₂ используются для всех сегментов, на которые автоматически разбивается интервал интегрирования [XN, XK]. Второе приближенное решение на сегменте [x_s, x_s+1] вычисляется аналогично первому решению итерационным способом. Единственным отличием при этом является то, что начальным приближением в этом дополнителном итерационном процессе служит уже вычисленное на отрезке [x_s, x_s+1] первое решение U_K₁+2(x_s + αH). Количество итераций, которое потребуется выполнить в этом дополнительном итерационном процессе, одинаково для всех сегментов и задается при обращении к подпрограмме.

Длина элементарного сегмента H выбирается в подпрограмме из условия, чтобы на каждый элементарный сегмент [x_s, x_s + H] приходилась приблизительно одинаковая погрешность. Поэтому длина элементерного сегмента H - величина переменная, определяемая автоматически подпрограммой. Она изменяется от одного элементарного сегмента к другому элементарному сегменту. При обращении к подпрограмме задается только начальное значение длины первого элементерного сегмента [XN, XN + H] = [x₀, x₀ + H], которое может быть уменьшено подпрограммой, если на нем не будет достигнута заданная точность.

В качестве решения Y(x_s+1) задачи и его производной на сегменте [x_s, x_s+1] выбирается второе приближенное решение U_K₂+2(x_s+1) с его производной U'_K₂+2(x_s+1), поскольку они имеют более высокий порядок точности O(H^K₂ + 3) и O(H^K₂ + 2) соответственно. В качестве решения исходной задачи Коши и его производной в конце интервала интегрирования XK принимаются значения решения U_K₂+2(XK) и его производной U'_K₂+2(XK) в конце последнего элементарного сегмента.

Для системы уравнений (M > 1) с проверкой на точность могут вычисляться либо все компоненты решения, либо некоторые из них (в частности, одна компонента). В последнем случае номера проверяемых на точность компонент задаются при обращении к подпрограмме. Совершенно аналогично вычисляются с проверкой на точность компоненты производной решения.

Для оценки уклонения приближенного решения от точного (т.е. для оценки абсолютной погрешности приближенного решения) в подпрограмме используются два способа, или две формулы. Первый способ опирается на первую формулу для абсолютной погрешности приближенного решения. Она является асимптотической (т.е. справедливой при H --> 0) и представляет собою разность двух частичных сумм смещенного ряда Чебышёва на сегменте [x_s, x_s + H] с приближенными коэффициентами, а именно разность приближенных частичных сумм (K₂+2)-го и (K₁+2)-го порядков в точке x_s + H. Второй способ опирается на несколько завышенную оценку абсолютной погрешности, которая представляет сумму абсолютных величин (модулей) разностей приближенных коэффициентов этих частичных сумм и поэтому несколько завышена по сравнению с первой. Назовем эту формулу второй. Более того, при использовании этой, второй, формулы в том случае, когда точность решения оценивается по относительной погрешности или по мере погрешности, то дополнительно используется также завышенная оценка сверху для относительной погрешности и завышенная оценка сверху для меры погрешности. Второй способ оценки погрешности, хотя и является более точным, накладывает более сильное ограничение на размер элементарного сегмента и приводит к меньшей длине сегментов. Используемый способ оценки абсолютной погрешности задается при обращении к подпрограмме. Совершенно аналогичный прием применяется также для оценки уклонения производной приближенного решения от производной точного решения.

В дальнейшем при описании параметров подпрограммы коэффициенты ряда Чебышёва будем называть коэффициентами Чебышёва.

Залеткин С.Ф. Численное интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений с использованием ортогональных разложений // Математическое моделирование. 2010. 22. № 1. 69 - 85.

Арушанян О.Б., Волченскова Н.И., Залеткин С.Ф. О применении ортогональных разложений для приближенного интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений // Вестник Московского университета. Серия 1. Математика. Механика. 2010. № 4. 40 - 43.

Арушанян О.Б., Волченскова Н.И., Залеткин С.Ф. Вычисление коэффициентов разложения решения задачи Коши в ряд по многочленам Чебышёва // Вестник Московского университета. Серия 1. Математика. Механика. 2012. № 5. 24 - 30.

Арушанян О.Б., Залеткин С.Ф. Обоснование одного подхода к применению ортогональных разложений для приближенного интегрирования канонических систем обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка // Вестник Московского университета. Серия 1. Математика. Механика. 2018. № 3. 29 - 33.

Арушанян О.Б., Залеткин С.Ф. К теории вычисления ортогонального разложения решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка // Вычислительные методы и программирование. 2018. 19. 178 - 184.

Арушанян О.Б., Залеткин С.Ф. Приближенное интегрирование канонических систем обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка методом рядов Чебышёва с оценкой погрешности решения и его производной // Вестник Московского университета. Серия 1. Математика. Механика. 2022. № 4. 27 - 34.

Залеткин С.Ф. Приближенное интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений методом рядов Чебышёва с контролем точности // Математическое моделирование. 2022. 34. № 6. 53 - 74.

Использование

    procedure DE99E(F :Proc_F80E; var M :Integer; XN :Extended;
                var YN :Array of Extended; var DYN :Array of Extended;
                XK :Extended; var K :Integer; var INIAPR :Integer;
                IMAX :Integer; var IU :Array of Integer;
                var EPS :Array of Extended; var THRESH :Array of Extended;
                var MEXACT :Array of Integer;
                var NUMBES :Array of Integer; var MESTER :Integer;
                var H :Extended; var HMIN :Extended; var HMAX :Extended;
                K2 :Integer; var IMAX2 :Integer; var NATTEM :Integer;
                var Y :Array of Extended; var DY :Array of Extended;
                var RAB :Array of Extended; var IERR :Integer);

   Параметры

F -	имя подпрограммы вычисления значений правой части дифференциального уравнения. Первый оператор подпрограммы должен соответствовать процедурному типу:

 
       Procedure (X :Extended; var Y :Array of Extended; var DY :Array of Extended;
                         var Z :Array of Extended; M :Integer);

Здесь: X, Y, DY - значения независимой, зависимой переменных и производной решения соответственно. Вычисленное значение правой части должно быть помещено в Z. B случае системы уравнений, т.е. когда M ≠ 1 , параметры Y, DY, Z представляют одномерные массивы длины M (тип параметров X, Y, DY и Z: с расширенной (Extended) точностью);

M -	количество уравнений в системе (тип: целый);
XN, YN, DYN -	начальные значения аргумента, решения и его производной; в случае системы уравнений (т.е. когда M ≠ 1) YN и DYN представляют одномерные массивы длины M (тип: с двойной точностью);
XK -	значение аргумента, при котором требуется вычислить решение задачи Коши и его первую производную (конец интервала интегрирования); XK может быть больше, меньше или равно XN (тип: с двойной точностью);
K -	порядок частичной суммы смещенного ряда Чебышёва, с помощью которой аппроксимируется вторая производная первого приближенного решения задачи Коши на каждом элементарном сегменте разбиения интервала интегрирования; при этом само первое приближенное решение задачи Коши приближается на каждом элементарном сегменте частичной суммой (K + 2) - го порядка, а его производная - частичной суммой (K + 1) - го порядка; K≥2. Этот параметр относится только к первому приближенному решению, имеющему меньший порядок точности O(H^K + 3), и его производной (см. "Математическое описание" и "Замечания по использованию"; тип: целый);
INIAPR -	целый указатель способа выбора начального приближения коэффициентов Чебышёва для второй производной первого приближенного решения на каждом элементарном сегменте:

INIAPR=1 -

для первого способа, когда начальное приближение определяется только с использованием значения решения и его первой производной в начале каждого элементарного сегмента;

INIAPR=2 -

для второго способа, когда начальное приближение коэффициентов Чебышёва на текущем элементарном сегменте (начиная со второго) определяется через коэффициенты Чебышёва, вычисленные на предыдущем элементарном сегменте, т.е. путем экстраполяции коэффициентов с предыдущего сегмента на следующий (см. "Математическое описание");

IMAX -

целая переменная, задающая количество итераций, которое предполагается выполнить в итерационном процессе вычисления коэффициентов Чебышёва для второй производной первого приближенного решения задачи Коши на каждом элементарном сегменте, исходя из некоторого начального приближения, способ определения которого задается параметром INIAPR; IMAX ≥ 1. Для получения максимального порядка точности первого приближенного решения необходимо выполнить не менее K итераций. Этот параметр относится только к первому приближенному решению, имеющему меньший порядок точности O(H^K + 3), и его производной. Если правая часть дифференциального уравнения не зависит от переменных Y и Y', т.е. дифференциальное уравнение имеет вид Y'' = F(X), то число итераций при вычислении первого приближенного решения можно положить равным 1. В этом случае параметр IMAX = 1 (см. "Математическое описание" и "Замечания по использованию");

IU -

целый указатель типа погрешности численного решения и его производной; задается одномерным массивом длины 2. Переменная с индексом IU(1) задает тип погрешности производной решения, а переменная с индексом IU(2) задает тип погрешности решения:

IU(1)=1 -	компоненты производной решения проверяются на точность по абсолютной погрешности;
IU(1)=2 -	компоненты производной решения проверяются на точность по относительной погрешности;
IU(1)=3 -	компоненты производной решения проверяются на точность по мере погрешности;
IU(2)=1 -	компоненты решения проверяются на точность по абсолютной погрешности;
IU(2)=2 -	компоненты решения проверяются на точность по относительной погрешности;
IU(2)=3 -	компоненты решения проверяются на точность по мере погрешности.

	Контроль точности по мере погрешности заключается в следующем. Если некоторая компонента приближенного решения по абсолютной величине не меньше определенной наперед заданной положительной константы THRESH (называемой границей перехода), то контроль точности для этой компоненты ведется по относительной погрешности, иначе - по абсолютной. Таким образом, контроль точности по мере погрешности состоит в том, что на тех участках интервала интегрирования, где абсолютная величина компоненты решения меньше значения THRESH, контроль точности ведется для нее по абсолютной погрешности, а там, где абсолютная величина этой компоненты решения равна значению THRESH или превосходит значение THRESH, контроль точности для нее ведется по относительной погрешности; аналогично выполняется контроль точности по мере погрешности и для производной решения (см. "Замечания по использованию");
EPS -	допустимая погрешность, с которой требуется вычислить проверяемые на точность компоненты решения и его производной; тип погрешности специфицируется с помощью параметра IU; задается одномерным массивом длины 2. Переменная с индексом EPS(1) задает точность для производной решения, а переменная с индексом EPS(2) задает точность для решения (см. "Замечания по использованию"; тип: с двойной точностью);
THRESH -	граница перехода, используемая при оценке меры погрешности решения и его производной; задается одномерным массивом длины 2. Переменная с индексом THRESH(1) задает границу перехода для производной решения, а переменная THRESH(2) задает границу перехода для решения (см. "Замечания по использованию"; тип: с двойной точностью);
MEXACT -	количество компонент численного решения и его производной, проверяемых на точность; задается одномерным массивом длины 2. Переменная с индексом MEXACT(1) показывает, сколько компонент производной надо проверять на точность; переменная с индексом MEXACT(2) показывает, сколько компонент решения надо проверять на точность. Нулевое значение переменной с индексом MEXACT(1) или MEXACT(2) сообщает о том, что соответственно производная или решение на точность не проверяется. Например, элементы массива MEXACT/O, M/ сообщают о том, что производная на точность вообще не проверяется, а проверяются на точность все компоненты решения (здесь M - количество уравнений в системе). Элементы массива MEXACT/M, O/ указывают, что на точность надо проверять все компоненты производной, а решение на точность проверять не надо. Элементы массива MEXACT/M, M/ сообщают, что все компоненты производной и все компоненты решения надо проверять на точность. Элементы массива MEXACT/1, 1/ уведомляют, что на точность проверяется какая-то одна компонента производной и какая-то одна компонента решения (тип: целый);
NUMBES -	одномерный массив, содержащий номера проверяемых на точность компонент производной и номера проверяемых на точность компонент решения. Первые MEXACT(1) элементов массива NUMBES содержат номера проверяемых на точность компонент производной, а следующие MEXACT(2) элементов этого массива NUMBES содержат номера проверяемых на точность компонент решения. Следовательно, NUMBES представляет одномерный массив длины MEXACT(1) + MEXACT(2). Если MEXACT(1) = 0, то массив NUMBES содержит только номера проверяемых на точность компонент решения; если MEXACT(2) = 0, то массив NUMBES содержит только номера проверяемых на точность компонент производной. В том случае, если все компоненты производной и все компоненты решения проверяются на точность (этому случаю соответствуют значения MEXACT(1) = MEXACT(2) = M), этот массив в подпрограмме не используется. Таким образом, массив NUMBES используется в подпрограмме только в том случае, когда число проверяемых на точность компонент производной или число проверяемых на точность компонент решения меньше числа уравнений M (тип: целый);
MESTER -	целый указатель способа оценки абсолютной погрешности компоненты приближенного решения и его производной:

MESTER=1 -	для оценки абсолютной погрешности используется первая формула (асимптотическая);
MESTER=2 -	для оценки абсолютной погрешности используется вторая формула (завышенная оценка).

	(См. "Математическое описание");
H -	переменная с двойной точностью, содержащая начальное значение длины первого элементарного сегмента (аналог шага интегрирования для разностных методов). Может задаваться с учетом направления интегрирования, т.е. положительным, если XK > XN, отрицательным, если XK < XN , или без такого учета в виде абсолютной величины;
HMIN, HMAX -	соответственно минимальное и максимальное значение длины элементарного сегмента, которое разрешается использовать при разбиении интервала интегрирования на элементарные (частичные) сегменты (тип: с двойной точностью);
K2 -	порядок частичной суммы смещенного ряда Чебышёва второй производной решения, с помощью которой вычисляется частичная сумма порядка (K2+2) для оценивающего решения более высокого порядка точности на каждом элементарном сегменте разбиения области интегрирования. Этот параметр относится только ко второму приближенному решению более высокого порядка точности O(H^K2 + 3) , K2 > K (т.е. к оценивающему решению) и его второй производной (см. "Математическое описание" и "Замечания по пользованию"; тип: целый);
IMAX2 -	целая переменная, задающая количество итераций, которое предполагается выполнить в дополнительном итерационном процессе для вычисления второго, оценивающего, решения более высокого порядка точности. Если правая часть дифференциального уравнения не зависит от переменных Y и Y', т.е. дифференциальное уравнение имеет вид Y'' = F(X), то число итераций при вычислении второго приближенного решения можно положить равным 1. В этом случае параметр IMAX2 = 1 (см. "Математическое описание" и "Замечания по использованию");
NATTEM -	целая переменная, значение которой ограничивает число последовательных сокращений длины элементарного сегмента, совершаемых в одной точке, если приближенное решение (или его производная) на этом элементарном сегменте не достигает требуемой точности;
Y, DY -	искомое решение задачи Коши и его первая производная, вычисленные подпрограммой при значении аргумента XK; в качестве такого решения принимается значение второго, оценивающего, приближенного решения, поскольку оно имеет более высокий порядок точности по сравнению с первым приближенным решением. По такой же причине в качестве первой производной решения принимается первая производная оценивающего решения. Для системы уравнений (когда M ≠ 1) задаются массивами длины M. В случае совпадения значений параметров XN и XK значения Y и DY полагаются равными начальным значениям YN и DYN (тип: с двойной точностью);
RAB -	одномерный рабочий массив длины 2 * K² + 5 * K + 7 * M * K + K2 * K2 + 8 * K2 + 6 * K2 * M + 24 * M + 5 (тип: с удвоенной точностью);
IERR -	целая переменная, служащая для сообщения об ошибках, обнаруженных в процессе работы подпрограммы; при этом:

IERR=65 -
IEER=66

когда какая-нибудь компонента решения или производной не может быть вычислена с требуемой точностью EPS; при этом IERR=65 указывает, что требуемая точность не может быть достигнута при минимальной длине частичного сегмента, равной HMIN, а IERR=66 показывает, что требуемая точность не может быть достигнута, т.к. исчерпано заданное число сокращений NATTEM длины элементарного сегмента в одной и той же точке интервала интегрирования.

   Версии:  нет

   Вызываемые подпрограммы

DE98E -

выполнение одного шага приближенного интегрирования системы обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка методом рядов Чебышёва с контролем точности

Кроме того, используются рабочие подпрограммы DE70EH, DE80EH, DE80EI, DE70EF, DE70EQ, DE71EE, DE70EP, DE71ET, DE71EP, DE71EI, DE71EF, DE71ES, DE70EA, DE70EC, DE75EK, DE75EE, DE75EN, DE98EK, DE98E1, DE98E0.

UTDE75 - подпрограмма выдачи диагностических сообщений.

   Замечания по использованию

В ообщем случае заданная точность не гарантируется.

Разбиение промежутка интегрирования на элементарные сегменты выполняется для того, чтобы на каждом таком сегменте ряды Чебышёва для решения и его первой и второй производных были быстросходящимися рядами; другими словами, чтобы убывание коэффициентов этих рядов Чебышёва на элементарном сегменте происходило достаточно быстро, вследствие чего можно было бы считать частичные суммы этих рядов близкими к многочленам наилучшего равномерного приближения на элементарном сегменте для решения и его производных.

Если при вычислении первого приближенного решения начальное приближение для коэффициентов Чебышёва правой части системы (т.е. функции Φ(α)) определяется первым способом (т.е. при INIAPR = 1), то для получения максимального порядка точности первого приближенного решения в конце элементарного сегмента необходимо выполнить в итерационном процессе не менее K итераций; тогда IMAX ≥ K. Если начальное приближение коэффициентов Чебышёва функции Φ(α) определяется вторым способом (т.е. при INIAPR = 2), то для получения максимального порядка точности первого приближенного решения необходимо выполнить в итерационном процессе не менее K + 1 итераций; в этом случае IMAX ≥ K + 1. Однако в некоторых случаях при втором способе определения начального приближения итерационный процесс может сойтись за значительно меньшее число итераций.

Если длина сегмента оказалась достаточно малой (или, вернее сказать, сегмент выбран довольно удачно), то хорошая точность первого приближенного решения может быть получена и с существенно меньшим числом итераций при любом способе выбора начального приближения.

Для получения максимального порядка точности второго приближенного (оценивающего) решения необходимо выполнить в дополнительном итерационном процессе не менее (K2 - K) итераций. Указанное в данном разделе число итераций IMAX и IMAX2 носит асимптотический характер (когда все наши оценки справедливы при H --> 0). На практике же количество итераций в каждом из двух итерационных процессов зависит от длины сегмента, от заданной точности, от используемых порядков частичных сумм и от конкретной системы дифференциальных уравнений. Поэтому числа итераций в обоих итерационных процессах, т.е. значения параметров IMAX и IMAX2, могут быть как меньше, так и больше рекомендуемых здесь значений.

При работе подпрограммы значения параметров M, XN, YN, DYN, XK, K, INIAPR, IMAX, IU, EPS, THRESH, MEXACT, NUMBES, MESTER, HMIN, HMAX, K2, IMAX2, NATTEM сохраняются. Если после работы подпрограммы нет необходимости иметь начальные значения решения и производной, то параметры YN и Y, а в случае производной параметры DYN и DY при обращении к ней можно совместить.

Так как при интегрировании системы уравнений с помощью подпрограммы DE99E используются глобальные записи (структуры данных) с именами _COM70D, _COM75D, _COM80D и _COM98D для хранения промежуточных значений, пользователь не должен портить элементы этих структур. Структуры определены в модуле Lstruct.

Ддля сбора полезной статистической информации. Целая переменная NACCEP после выхода из подпрограммы содержит число элементарных сегментов, на которые автоматически разбивался весь промежуток интегрирования [XN, XK], а целая переменная NREJEC содержит число отклоненных элементарных сегментов, а именно тех сегментов, на которых вычисленная оценка погрешности превышает заданное значение EPS, т.е. число таких сегментов, на которых не достигается заданная точность и длины которых подвергались сокращению. Когда приближенное решение задачи Коши не может быть вычислено в конце интервала интегрирования XK и работа подпрограммы DE99E прерывается в некоторой точке интервала интегрирования при значении параметра IERR = 65 или IERR = 66, то значение переменной NACCEP содержит число элементарных сегментов, считая от начала промежутка интегрирования XN до этой точки прерывания, на которых приближенное решение вычислено с требуемой точностью. Значение переменной NREJEC содержит в этом случае число отклоненных сегментов, считая от начала промежутка интегрирования и включая число отклоненных сегментов с началом в этой точке прерывания. Эти переменные определены в глобальной записи _STAT76 и являются объектами типа:

type                                        
 STAT76 = record                                 
  elm1: Integer;   // NACCEP                     
  elm2: Integer;   // NREJEC                     
 end;                                          
var 
_STAT76 : STAT76;

Примеры использования

Данные примеры не только иллюстрируют правила использования подпрогрвммы DE99E, но и показывают способность реализованного в подпрограмме метода рядов Чебышёва вычислять приближенное решение задачи Коши со стабильно высокой точностью. Вычисления во всех четырех примерах на Фортране проводились с 15-16 значащими цифрами.

 1)         y''  =  qy',   y(0)  =  e^q,   y'(0)  =  qe^q,   q = 4,   0 ≤ x ≤ 7.

Точное решение задачи Коши y(x) = e^q(1+x). Решение вычисляется в точке XK = 7. Приводятся вызывающая программа, подпрограмма вычисления значений правой части, а также результаты счета, включая точное значение решения YT, абсолютную YT - Y и относительную (YT - Y) / Y погрешности приближенного решения, точное значение производной DYT решения, абсолютную DYT - DY и относительную (DYT - DY) / DY погрешности производной, значения переменных NACCEP и NREJEC из глобальной структуры и число обращений к правой части N. Вычисления во всех примерах проводились на Паскале с 19-20 значащими цифрами.

Unit ftde99e1_p;
interface
uses
SysUtils, Math, { Delphi }
Lstruct, Lfunc;
procedure ftde99e1(X :Extended; var Y :Array of Extended; var DY :Array of Extended; var Z :Array of Extended;
                M :Integer);
implementation
procedure ftde99e1(X :Extended; var Y :Array of Extended; var DY :Array of Extended; var Z :Array of Extended;
                M :Integer);
begin
Z[0] := _BLOCK.elm2*DY[0];
_BLOCK.elm1 := _BLOCK.elm1+1;
end;
end.

function tde99e1: String;
var
M,K0,INIAPR,IMAX,MESTER,K20,IMAX2,NATTEM,IERR :Integer;
XN,YN,DYN,XK,H,HMIN,HMAX,Y,DY,YT,DYT :Extended;
RAB :Array [0..1867] of Extended;
IU :Array [0..1] of Integer;
EPS :Array [0..1] of Extended;
THRESH :Array [0..1] of Extended;
MEXACT :Array [0..1] of Integer;
NUMBES :Array [0..1] of Integer;
const
K :Integer = 18;
K2 :Integer = 25;
begin
Result := '';  { результат функции }
IU[0] := 2;
IU[1] := 2;
EPS[0] := 0.5e-11;
Eps[1] := 0.5e-11;
THRESH[0] := 1.e0;
THRESH[1] := 1.e0;
MEXACT[0] := 1;
MEXACT[1] := 1;
NUMBES[0] := 1;
NUMBES[1] := 1;
{      PROGRAM AVTOM }
M := 1;
_BLOCK.elm2 := 4.0e0;
XN := 0.0;
YN := Exp(_BLOCK.elm2);
DYN := _BLOCK.elm2*YN;
XK := 7.e0;
YT := Exp(_BLOCK.elm2*(XK+1.e0));
DYT := _BLOCK.elm2*YT;
K0 := K;
INIAPR := 1;
IMAX := 28;
MESTER := 1;
H := 1.e0;
HMIN := 1.e-3;
HMAX := XK;
K20 := K2;
IMAX2 := 3;
NATTEM := 3;
_BLOCK.elm1 := 0;
DE99E(ftde99e1,M,XN,YN,DYN,XK,K0,INIAPR,IMAX,IU,EPS,THRESH,MEXACT,
     NUMBES,MESTER,H,HMIN,HMAX,K20,IMAX2,NATTEM,Y,DY,RAB,
     IERR);
// Операторы вывода на печать: IERR, N,  NACCEP, NREJEC, Y, YT, DY, DYT 
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
end;

Результаты:
----------------------------------------------------------
 IERR= 0 
 N=    3995 
 NACCEP=  5      NREJEC=  1 

 DY =         3,15851840730722934E+014   Y =        7,89629601826807583E+013 
 DYT=         3,15851840730722781E+014   YT=        7,89629601826806952E+013

 DYT-DY=     -1,52740478515625000E-001   YT-Y=     -6,30645751953125000E-002 

 (DYT-DY)/DY=     -4,83582676492434073E-016     (YT-Y)/Y=     -7,98660220556735022E-016

2) Решается задача Коши из примера 1 со значением параметра EPS/0.5E-13, 05E-13/. Приводятся результаты счета, включая те же данные, что и в примере 1.

 IERR= 0 
 N=    3996 
 NACCEP=  6      NREJEC=  0 

 DY =         3,15851840730722802E+014   Y =        7,89629601826807004E+013 
 DYT=         3,15851840730722781E+014   YT=        7,89629601826806952E+013

 DYT-DY=     -2,08129882812500000E-002   YT-Y=     -5,20324707031250000E-003 

 (DYT-DY)/DY=     -6,58947822912767583E-017     (YT-Y)/Y=     -6,58947822912767583E-017

Видно, что уменьшение параметра EPS приводит к увеличению числа элементарных сегментов и повышению точности приближенного решения и его производной.

3) Решается задача Коши из примера 1 со значением параметра MESTER = 2. Приводятся результаты счета, включая те же данные, что и в примере 1.

 IERR= 0 
 N=    4661 
 NACCEP=  6      NREJEC=  1 

 DY =         3,15851840730722792E+014   Y =        7,89629601826806980E+013 
 DYT=         3,15851840730722781E+014   YT=        7,89629601826806952E+013

 DYT-DY=     -1,09863281250000000E-002   YT-Y=     -2,82287597656250000E-003 

 (DYT-DY)/DY=     -3,47831695379173515E-017     (YT-Y)/Y=     -3,57493686917483890E-017

Видно, что использование завышенной оценки погрешности приводит к увеличению числа сегментов (по сравнению с первым примером) и повышению точности приближенного решения и его производной (по сравнению с первым и вторым примерами).

4) Решается задача Коши из примера 1 со значением параметра INIAPR = 2 и со значением параметра IMAX2 = 5. Приводятся вызывающая программа и результаты счета, включая те же данные, что и в примере 1.

Unit ftde99e4_p;
interface
uses
SysUtils, Math, { Delphi }
Lstruct, Lfunc;
procedure ftde99e4(X :Extended; var Y :Array of Extended; var DY :Array of Extended; var Z :Array of Extended;
                M :Integer);
implementation
procedure ftde99e4(X :Extended; var Y :Array of Extended; var DY :Array of Extended; var Z :Array of Extended;
                M :Integer);
begin
Z[0]:= _BLOCK.elm2*DY[0];
_BLOCK.elm1 := _BLOCK.elm1+1;
end;
end.

function tde99e4: String;
var
M,K0,INIAPR,IMAX,MESTER,K20,IMAX2,NATTEM,IERR :Integer;
XN,YN,DYN,XK,H,HMIN,HMAX,Y,DY,YT,DYT :Extended;
RAB :Array [0..1867] of Extended;
IU :Array [0..1] of Integer;
EPS :Array [0..1] of Extended;
THRESH :Array [0..1] of Extended;
MEXACT :Array [0..1] of Integer;
NUMBES :Array [0..1] of Integer;
const
K :Integer = 18;
K2 :Integer = 25;
begin
Result := '';  { результат функции }
IU[0] := 2;
IU[1] := 2;
EPS[0] := 0.5e-11;
Eps[1] := 0.5e-11;
THRESH[0] := 1.e0;
THRESH[1] := 1.e0;
MEXACT[0] := 1;
MEXACT[1] := 1;
NUMBES[0] := 1;
NUMBES[1] := 1;
{      PROGRAM AVTOM }
M := 1;
_BLOCK.elm2 := 4.0e0;
XN := 0.0;
YN := Exp(_BLOCK.elm2);
DYN := _BLOCK.elm2*YN;
XK := 7.e0;
YT := Exp(_BLOCK.elm2*(XK+1.e0));
DYT := _BLOCK.elm2*YT;
K0 := K;
INIAPR := 2;
IMAX := 28;
MESTER := 1;
H := 1.e0;
HMIN := 1.e-3;
HMAX := XK;
K20 := K2;
IMAX2 := 5;
NATTEM := 3;
_BLOCK.elm1 := 0;
DE99E(ftde99e4,M,XN,YN,DYN,XK,K0,INIAPR,IMAX,IU,EPS,THRESH,MEXACT,
     NUMBES,MESTER,H,HMIN,HMAX,K20,IMAX2,NATTEM,Y,DY,RAB,
     IERR);
// Операторы вывода на печать: IERR, N,  NACCEP, NREJEC, Y, YT, DY, DYT 
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
end;

Результаты:
----------------------------------------------------------
 IERR= 0 
 N=    3508 
 NACCEP=  5      NREJEC=  0 

 DY =         3,15851840731892173E+014   Y =        7,89629601829610165E+013 
 DYT=         3,15851840730722781E+014   YT=        7,89629601826806952E+013

 DYT-DY=     -1,16939190673828125E+003   YT-Y=     -2,80321311950683594E+002 

 (DYT-DY)/DY=     -3,70234317466241533E-012     (YT-Y)/Y=     -3,55003550147012586E-012

Видно, что приближенное решение задачи Коши и его производная по-прежнему вычисляются со стабильно высокой точностью, как и в предыдущих трех примерах.