Подпрограмма:  EC21R

Назначение

Решение одномерного интегрального уравнения Винера - Хопфа первого рода с симметричным неотрицательно определенным ядром методом регуляризации первого порядка без выбора параметра регуляризации.

Математическое описание

Приближенное решение интегрального уравнения Винера - Хопфа первого рода

                    ∞   
(1)    Au  ≡   ∫    K(x - z) u(t) dt  =  f(x)  ,
                    0
          x ∈ [0, +∞) ,    K(x - t)  =  K(t - x)  , 

с гладким неотрицательно определенным ядром K осуществляется методом упрощенной однопараметрической регуляризации А.Н.Тихонова [1] путем сведения задачи к минимизации по  u  сглаживающего функционала

             ∞   ∞
(2)        ∫     ∫   K(x - t) u(x) u(t) dx dt  -
           0     0
                           ∞                             ∞
                    -  2  ∫   f(x) u(x) dx  +  α ∫   u ' 2(x) dx  ,
                          0                              0
   где  α > 0  -  параметр регуляризации ,
      ∞
      ∫   u ' 2(x) dx  -  стабилизирующий функционал. 
     0 

Считается, что  K (t)→0,  u (t)→0,  f (t)→0 (достаточно быстро) при  t→∞, так что функции  K (t),  f (t) можно считать заданными на конечном отрезке [0, T].

Тогда вместо (2) будем иметь:

             T    T
(3)        ∫     ∫   K(x - t) u(x) u(t) dx dt  -
           0     0
                            T                             T
                    -  2  ∫   f(x) u(x) dx  +  α ∫   u ' 2(x) dx  ,
                          0                              0 

Для дискретизации первого и второго слагаемого (3) используется квадратурная формула трапеций на равномерной сетке  0 = x₁ < x₂ < ... < x_N = T ,  x_i + 1 - x_i = Δx , а при аппроксимации третьего слагаемого - разностные отношения:

     du/dx (xi)  =  ( u(xi+1) - u(xi) ) / Δx ,        i = 1, 2, ..., N-1 . 

B предположении  du/dx (x_N) = 0 дискретный аналог (3) имеет вид:

(4)    (D K D u, u - 2(D f, u) + α (C u, u).

   Здесь: 

D = diag {d₁₁, d₂₂, ..., d_NN},  причем  d₁₁ = d_NN = Δx /2 ,  d_i i = Δx ,  i = 2, 3, ..., N-1 ;

K - симметричная теплицева матрица, определенная элементами первой строки  K_1 i = K (x_i) ;

u = (u₁, u₂, ..., u_N) ,  u_i = u (x_i) ,

f = (f₁, f₂, ..., f_N) ,  f_i = f (x_i) ,  i = 1, 2, ..., N ,

C - трехдиагональная матрица, аппроксимирующая стабилизирующий оператор.

Задача минимизации (4) по  u эквивалентна решению системы линейных алгебраических уравнений:

(5)     D K D u + α C u  =  D f . 

При ее решении используется схема, предложенная в [2], в основе которой лежит существенное использование теплицевости матрицы  K и "квазитеплицевости" матрицы  C.

Алгоритм, описанный в [3], был адаптирован для решения систем уравнений с симметричной теплицевой матрицей. Эта адаптация дает почти двойной выигрыш по времени.

Использование

    SUBROUTINE  EC21R (A, X, BA, B, C, N, T, J1, ALFA) 

   Параметры 

   Версии:  нет 

   Вызываемые подпрограммы:  нет 

   Замечания по использованию  

Пример использования

Рассматривается решение интегрального уравнения (1) с ядром

    K(t) = exp( -| t | )
    и правой частью  f(t) = 2/5 exp(-t) ( cos(t) + 2 sin(t) )
    ( точное решение  u(t) = exp(-t) cos(t) ). 

Ниже приводится фрагмент программы, вычисляющей регуляризованные решения:

       DIMENSION  A(200), X(200), BA(200), B(200), C(200)
       T = 10.
       N = 200
       H = T / (N - 1)
       J1 = 0
       ALFA = 1.E-10
       DO 1  I = 1, N
       A(I) = EXP( (1.-I)*H )
       BA(I) = 2./5. * EXP( (1.-I)*H ) * ( COS( (I-1.)*H ) +
      *            2. * SIN( (I-1.)*H ) )
    1 CONTINUE
       CALL  EC21R (A, X, BA, B, C, N, T, J1, ALFA)

Результаты:

       X(1)      =   0.9830 ,
       X(10)    =   0.5722 ,
       X(40)    =  -0.0534 ,
       X(70)    =  -0.0296 ,
       X(100)  =   0.0018 ,
       X(130)  =   0.0015 ,
       X(160)  =  -0.0000 ,
       X(190)  =  -0.0001 .