Текст подпрограммы и версий ec02c_p.zip |
Тексты тестовых примеров tec02c_p.zip |
Решение двумерного интегрального уравнения I рода на плоскости с разностным ядром методом регуляризации с применением агоритма быстрого преобразования Фурье и (или) вычисление значений критериальных функций.
Приближенное решение двумерного интегрального уравнения I рода типа свертки
+∞ +∞ (1) Af ≡ ∫ ∫ k(x - ξ, y - η) f(ξ, η) dξ dη = g(x, y) , -∞ -∞ -∞ < x, y < +∞
с гладким ядром k осуществляется методом однопараметрической регуляризации А.Н.Тихонова [1] путем сведения задачи к минимизации по f сглаживающего функционала
(2) M α [f, g] = || Af - g ||2 + α Ω [f] , где +∞ +∞ || Af - g ||2 = 1/(2π)2 ∫ ∫ | K(λ, ω) F(λ, ω) - G(λ, ω) |2 dλ dω - -∞ -∞ квадрат невязки, α > 0 - параметр регуляризации, +∞ +∞ Ω[f] = 1/(2π)2 ∫ ∫ [ 1 + (λ2 + ω2)P ] | F(λ, ω) |2 dλ dω - -∞ -∞ стабилизирующий функционал порядка P ≥ 0 (P не предполагается целым);
K(λ, ω), F(λ, ω), G(λ, ω) - преобразование Фурье ядра k, решения f и приближенной правой части g.
Функционал (2) минимизирует функция +∞ +∞ (3) f α(ξ, η) = 1/(2π)2 ∫ ∫ [ K*(λ, ω) G(λ, ω) / -∞ -∞ / | K(λ, ω) |2 + α[1 + (λ2 + ω2)P ] ] e i (λξ + ωη) dλ dω -∞ < ξ, η < +∞ ,
где * - знак комплексного сопряжения, i = √-1.
Считается, что k (x, y)→0, f (x, y)→0, g (x, y)→0 при x→±∞, y→±∞ и функции k (x, y), g (x, y) заданы на конечном прямоугольнике:
x ∈ [- T1/2, T1/2 ), y ∈ [- T2/2, T2/2 ) в узлах одной и той же равномерной сетки по x, y:
xs1 = s1 d1 , s1 = -N1/2, -N1/2 + 1,...,-1,0,1,..., N1/2 - 1, ys2 = s2 d2 , s2 = -N2/2, -N2/2 + 1,...,-1,0,1,..., N2/2 - 1, где N1 - четное число узлов, d1 = T1/N1 - шаг сетки по x, N2 - четное число узлов, d2 = T2/N2 - шаг сетки по y.
Численный алгоритм для решения комплексного уравнения типа свертки (1) с дискретным ядром и правой частью методом регуляризации основан на применении двумерного дискретного преобразования Фурье [2].
B связи с этим выполняются преобразования, заключающиеся в вычислении ДПФ функций ks1, s2 = k (xs1, ys2) и gs1, s2 = g (xs1, ys2), приводящие исходную задачу к "каноническому" виду ( n1 = N1/2, n2 = N2/2 ):
n1-1 n2-1 Km1,m2 = ∑ ∑ ks1,s2 exp( -i (λ m1 xs1 + ωm2 ys2) ) = s1= -n1 s2= -n2 n1-1 n2-1 = ∑ ∑ ks1,s2 exp( -2π i (s1 m1 / N1 + s2 m2 / N2) ) , s1= -n1 s2= -n2 n1-1 n2-1 Gm1,m2 = ∑ ∑ gs1,s2 exp( -i (λ m1 xs1 + ωm2 ys2) ) = s1= -n1 s2= -n2 n1-1 n2-1 = ∑ ∑ gs1,s2 exp( -2π i (s1 m1 / N1 + s2 m2 / N2) ) , s1= -n1 s2= -n2 где λm1 = m1 Δλ , m1 = -N1/2, -N1/2 + 1,...,-1,0,1,..., N1/2 - 1, Δλ = 2π / N1d1 , ωm2 = m2 Δω , m2 = -N2/2, -N2/2 + 1,...,-1,0,1,..., N2/2 - 1, Δω = 2π / N2d2 .
Аналогично определяются Fm1, m2, F αm1, m2 - ДПФ матриц с элементами fs1, s2 = f (xs1, ys2) и f αs1, s2 = f α (xs1, ys2).
Далее, аппроксимируя интегралы в pавенствах (2), (3) и в преобразованиях Фурье по формуле прямоугольников, получаем дискретные аналоги сглаживающего функционала и минимизирующего его регуляризованного решения
n1-1 n2-1 (4) f αs1, s2 = 1 / N1N2d1d2 ∑ ∑ m1= -n1 m2= -n2 { K*m1,m2 Gm1,m2 exp( 2π i (s1 m1 /N1 + s2 m2 /N2) ) / / [ | Km1,m2 |2 + α [ 1 + (λm12 + ωm22)P ] / d12d22 ] }
B формуле (4) предполагается, что при P = 0, m1 = 0, m2 = 0 (λ2m1 + ω2m2) P = 1.
Программа реализует изложенный алгоритм решения уравнения (1) и вычисляет значения четырех критериальных функций, которые могут быть использованы для выбора параметра регуляризации α. Именно, вычисляются следующие числовые характеристики решения f α при заданном значении:
1) невязка ρ(α) = || Af α - g || , 2) Ω - ноpма решения γ(α) = Ω1/2 [f α] , 3) значение регуляризирующего функционала φ(α) = [ ρ2(α) + α γ2(α)]1/2 , 4) функция "чувствительности" τ(α) = α Ω1/2 [ df α /dα ] (для отыскания "квазиоптимальных" значений параметра регуляризации).
Вычисление всех критериальных функций происходит в частотной области (через компоненты ДПФ). Это требует порядка N1 N2 операций и значительно облегчает задачу выбора параметра регуляризации. Выполнение обратного ДПФ в формуле (4) целесообразно производить лишь для выбранных значений α.
Подпрограмма предусматривает работу в четырех режимах (в зависимости от значения параметра L).
1. | L = 1. Задача полностью приводится к "каноническому" виду, т.е. производится вычисление ДПФ каждой из двух исходных матриц с элементами ks1, s2, gs1, s2. |
2. | L = 2. Решается интегральное уравнение и вычисляются значения критериальных функций ρ (α), γ (α), φ (α), τ (α) для заданного значения α - при условии, что задача приведена к "каноническому" виду. |
3. | L = 3. Вычисляются только значения критериальных функций ρ (α), γ (α), φ (α), τ (α) для заданного значения без построения решения (4) - при условии, что задача приведена к "каноническому" виду. |
4. | L = 4. Задача приводится к "каноническому" виду в предположении, что ДПФ ядра Km1, m2 уже вычислено. |
Эти режимы целесообразно использовать, например, при повторном решении того же интегрального уравнения (L = 1, L = 2) или при выборе значения параметра регуляризации α (L = 1, L = 3), а также при многократном решении уравнения с тем же ядром, но с другой правой частью (L = 4, L = 2) или в случае, когда аналитически известно преобразование Фурье ядра K (λ, ω) (L = 4, L = 2).
Для эффективного вычисления прямого и обратного ДПФ применяется двумерное быстрое преобразование Фурье [2]. При этом время вычислений пропорционально N1 N2 (log2 N1 + log2 N2), а объем памяти пропорционален N1 N2.
Аналогичный алгоритм для решения одномерного интегрального уравнения типа свертки описан в [3].
1. | А.Н.Тихонов. O регуляризации некоppектно поставленных задач, ДАН CCCP, 1963, т.153, N 1, 49 - 52. |
2. | В.А.Морозов, Н.Н.Кирсанова, А.Ф.Сысоев. Комплекс алгоритмов быстрого преобразования Фурье дискретных рядов, сб. "Численный анализ на ФОРТРАНе", вып.15, Изд - во МГУ, M., 1976. |
3. | M.B. Арефьева. Быстрый регуляризирующий алгоритм решения интегральных уравнений Фредгольма I рода типа свертки, сб. "Численный анализ на ФОРТРАНе. Методы и алгоритмы", Изд - во МГУ, M., 1978. |
procedure EC02C(var AR :Array of Real; var AI :Array of Real; var GR :Array of Real; var GI :Array of Real; N1 :Integer; N2 :Integer; D1 :Real; D2 :Real; ALP :Real; P :Real; L :Integer; var H :Array of Real; var FR :Array of Real; var FI :Array of Real);
Параметры
AR, AI - |
двумерные вещественные массивы
размера N1 * N2,
содержащие соответственно вещественные и
мнимые части элементов заданной матрицы ядра на сетке:
AR(I, J) = Re k I-N1/2-1, J-N2/2-1, AI(I, J) = Im k I-N1/2-1, J-N2/2-1, I = 1, 2, ..., N1, J = 1, 2, ..., N2; |
GR, GI - |
двумерные вещественные массивы размера
N1 * N2,
содержащие соответственно вещественные и
мнимые части элементов заданной матрицы правой части на сетке:
GR(I, J) = Re g I-N1/2-1, J-N2/2-1, GI(I, J) = Im g I-N1/2-1, J-N2/2-1, I = 1, 2, ..., N1, J = 1, 2, ..., N2; |
N1 - | заданное число стpок матриц ядра ks1, s2 и правой части gs1, s2, N1 ≥ 4 - целая степень числа два (тип: целый); |
N2 - | заданное число столбцов матриц ядра ks1, s2 и правой части gs1, s2, N1 ≥ 4 - целая степень числа два (тип: целый); |
D1 - | заданный шаг сетки по переменным x, ξ, D1 > 0 (тип: вещественный); |
D2 - | заданный шаг сетки по переменным y, η, D2 > 0 (тип: вещественный); |
ALP - | заданное значение параметра регуляризации α, ALP ≥ 0 (тип: вещественный); |
P - | заданное значение порядка регуляризации P, P ≥ 0 (тип: вещественный); |
L - | параметр, определяющий режим использования подпрограммы (тип: целый): |
L = 1 - | полное приведение задачи к "каноническому" виду; |
L = 2 - | построение решения и вычисление значений критериальных функций в предположении, что вещественные и мнимые части элементов ДПФ ядра и правой части содержатся соответственно в массивах AR, AI, GR, GI; |
L = 3 - | вычисление только значений критериальных функций в том же предложении, что при L = 2; |
L = 4 - | приведение задачи к "каноническому" виду в предположении, что вещественные и мнимые части элементов ДПФ ядра содержатся соответственно в массивах AR, AI; |
H - | вещественный вектоp длины 4, содержащий вычисленные значения критериальных функций при заданном значении ALP: H (1) = ρ (α), H (2) = γ (α), H (3) = φ (α), H (4) = τ (α); |
FR, FI - |
двумерные вещественные массивы размера N1 * N2,
содержащие соответственно вещественные и
мнимые части элементов вычисленного
регуляризованного решения на сетке:
FR(I, J) = Re f αI-N1/2-1, J-N2/2-1, FI(I, J) = Im f αI-N1/2-1, J-N2/2-1, I = 1, 2, ..., N1, J = 1, 2, ..., N2. |
Версии: нет
Вызываемые подпрограммы
FTFTC - | вычисление двумерного дискретного или обратного дискретного преобразования Фурье комплексной матрицы размера N1 * N2, N1 =2 J1, N2 = 2 J2 методом быстрого преобразования Фурье. |
Замечания по использованию
1. |
B результате работы подпрограммы при L = 1 в массивах AR, GR содержатся вещественные части, а в массивах AI, GI мнимые части соответственно элементов ДПФ ядpа Km1, m2 и правой части Gm1, m2. | |
2. |
При первом обращении к подпрограмме (L = 1) необходимо задать значения параметров: AR, AI, GR, GI, N1, N2, D1, D2, определяющих уравнение. B дальнейшем, например, при повторном решении того же интегрального уравнения можно менять только параметры ALP, P, а при решении уравнения с тем же ядpом, но с другой правой частью - только параметры GR, GI, ALP, P, сохраняя значения всех остальных паpаметpов. | |
3. |
Массивы AR, AI, GR, GI используются при всех значениях L, а массивы FR, FI - только при L = 2, 3. | |
4. | Если каждый раз при обращении к подпрограмме ДПФ правой части Gm1, m2 вычислять заново, то общее число массивов, используемых для решения задачи, можно сократить, допуская совпадение параметров GR, FR и GI, FI. |
Рассматривается решение интегрального уравнения типа свертки (1) с ядром, определяемым функцией
k(x, y) = exp [-(x2 + y2)] , и правой частью g(x, y) = π/2 exp [-1/2 (x2 + y2)]. Точное решение имеет вид F(ξ, η) = exp [- (ξ2 + η2)].
Ниже приводится фрагмент программы, вычисляющей решение и соответствующие значения критериальных функций при фиксированном параметре регуляризации α = 3 * 10- 2 с использованием регуляризатора порядка P = 1 и равномерной на квадрате [- 1, 1) * [- 1, 1) сетки из N1 * N2 точек, где N1 = 8, N2 = 8.
Unit TEC02C_p; interface uses SysUtils, Math, { Delphi } Lstruct, Lfunc, UtRes_p, EC02C_p; function TEC02C: String; implementation function TEC02C: String; var I,J,L,_i :Integer; T1,T2,T :Real; AR :Array [0..63] of Real; AI :Array [0..63] of Real; GR :Array [0..63] of Real; GI :Array [0..63] of Real; H :Array [0..3] of Real; FR :Array [0..63] of Real; FI :Array [0..63] of Real; XR :Array [0..63] of Real; XI :Array [0..63] of Real; const N1 :Integer = 8; N2 :Integer = 8; D1 :Real = 0.25; D2 :Real = 0.25; ALP :Real = 3.0E-02; P :Real = 1.0; label _1; begin Result := ''; { результат функции } for I:=1 to N1 do begin for J:=1 to N2 do begin T1 := D1*(-N1/2+I-1); T2 := D2*(-N2/2+J-1); T := T1*T1+T2*T2; AR[(I-1)+(J-1)*8] := Exp(-T); AI[(I-1)+(J-1)*8] := 0.0; GR[(I-1)+(J-1)*8] := 1.57079632679*Exp(-T/2.0); GI[(I-1)+(J-1)*8] := 0.0; XR[(I-1)+(J-1)*8] := Exp(-T); _1: XI[(I-1)+(J-1)*8] := 0.0; end; end; Result := Result + #$0D#$0A; Result := Result + Format('%s',[' ЯДPO' + #$0D#$0A]); for I:=1 to 8 do begin for J:=1 to 8 do begin Result := Result + Format('%16.7f ',[AR[(I-1)+(J-1)*8]]) + #$0D#$0A; end; end; Result := Result + #$0D#$0A; Result := Result + #$0D#$0A; for I:=1 to 8 do begin for J:=1 to 8 do begin Result := Result + Format('%16.7f ',[AI[(I-1)+(J-1)*8]]) + #$0D#$0A; end; end; Result := Result + #$0D#$0A; Result := Result + #$0D#$0A; Result := Result + Format('%s',[' ПРАВАЯ ЧACTЬ' + #$0D#$0A]); for I:=1 to 8 do begin for J:=1 to 8 do begin Result := Result + Format('%16.7f ',[GR[(I-1)+(J-1)*8]]) + #$0D#$0A; end; end; Result := Result + #$0D#$0A; Result := Result + #$0D#$0A; for I:=1 to 8 do begin for J:=1 to 8 do begin Result := Result + Format('%16.7f ',[GI[(I-1)+(J-1)*8]]) + #$0D#$0A; end; end; Result := Result + #$0D#$0A; Result := Result + #$0D#$0A; Result := Result + Format('%s',[' ТОЧНОЕ PEШEHИE' + #$0D#$0A]); for I:=1 to 8 do begin for J:=1 to 8 do begin Result := Result + Format('%16.7f ',[XR[(I-1)+(J-1)*8]]) + #$0D#$0A; end; end; Result := Result + #$0D#$0A; Result := Result + #$0D#$0A; for I:=1 to 8 do begin for J:=1 to 8 do begin Result := Result + Format('%16.7f ',[XI[(I-1)+(J-1)*8]]) + #$0D#$0A; end; end; Result := Result + #$0D#$0A; L := 1; EC02C(AR,AI,GR,GI,N1,N2,D1,D2,ALP,P,L,H,FR,FI); L := 2; EC02C(AR,AI,GR,GI,N1,N2,D1,D2,ALP,P,L,H,FR,FI); Result := Result + Format('%s',[' КРИТЕРИАЛЬНЫЕ ФYHKЦИИ' + #$0D#$0A]); Result := Result + #$0D#$0A; for _i:=0 to 3 do begin Result := Result + Format('%16.7f ',[H[_i]]); if ( ((_i+1) mod 4)=0 ) then Result := Result + #$0D#$0A; end; Result := Result + #$0D#$0A; Result := Result + #$0D#$0A; Result := Result + Format('%s',[' PEГYЛЯРИЗОВАННОЕ PEШEHИE' + #$0D#$0A]); for I:=1 to 8 do begin for J:=1 to 8 do begin Result := Result + Format('%16.7f ',[FR[(I-1)+(J-1)*8]]) + #$0D#$0A; end; end; Result := Result + #$0D#$0A; Result := Result + #$0D#$0A; for I:=1 to 8 do begin for J:=1 to 8 do begin Result := Result + Format('%16.7f ',[FI[(I-1)+(J-1)*8]]) + #$0D#$0A; end; end; Result := Result + #$0D#$0A; UtRes('TEC02C',Result); { вывод результатов в файл TEC02C.res } exit; end; end. Результаты: H = ( 0.328307, 1.652517, 0.435557, 0.828122 ) , | 0.133, 0.186, 0.317, 0.454, 0.514, 0.454, 0.317, 0.186 | | 0.186, 0.240, 0.372, 0.510, 0.571, 0.510, 0.372, 0.240 | | 0.317, 0.372, 0.508, 0.649, 0.710, 0.649, 0.508, 0.372 | FR = | 0.454, 0.510, 0.649, 0.793, 0.856, 0.793, 0.649, 0.510 | | 0.514, 0.571, 0.710, 0.856, 0.920, 0.856, 0.710, 0.571 | | 0.454, 0.510, 0.649, 0.793, 0.856, 0.793, 0.649, 0.510 | | 0.317, 0.372, 0.508, 0.649, 0.710, 0.649, 0.508, 0.372 | | 0.186, 0.240, 0.372, 0.510, 0.571, 0.510, 0.372, 0.240 | FI - все значения имеют порядки 10-12 - 10-17.