Текст подпрограммы и версий
fta1c_p.zip , fta1z_p.zip 		Тексты тестовых примеров
tfta1c_p.zip , tfta1z_p.zip

Подпрограмма:  FTA1C (модуль FTA1C_p)

Назначение

Выполнение прямого и обратного быстрых дискретных преобразований Фурье одномерного массива комплексных чисел длины  N, равной целой степени двух.

Математическое описание

Пусть известны значения  hk = h (tk) комплексно - значной функции  h (t) на равномерной сетке  tk = k Δt,  k = 0, 1, 2, ..., N - 1 (где  Δt - шаг сетки, а  N равняется целой степени двух), заданные в виде одномерного массива комплексных чисел ARRAY  длины  N.

Подпрограмма FTA1C имеет два режима работы, задаваемых при обращении к ней значением параметра IREG. В первом режиме (IREG = 1) выполняется прямое быстрое дискретное преобразование Фурье заданного массива ARRAY, состоящее в получении N комплексных чисел  Hn (n = 0, 1, 2, ..., N - 1) из  N комплексных чисел  hk (k = 0, 1, 2, ..., N - 1), являющихся элементами этого массива, по формуле: 

                                      N-1
                           Hn  =   ∑    hk e 2π i k n / N 
                                      k =0

Вычисленные значения  Hn располагаются в том же массиве ARRAY. Во втором режиме (IREG = - 1) выполняется обратное быстрое дискретное преобразование Фурье, состоящее в восстановлении из значений  Hn (n = 0, 1, 2, ..., N - 1), заданных в виде одномерного массива комплексных чисел ARRAY длины  N, значений  hk (k = 0, 1, 2, ..., N - 1) по формуле: 

                                              N-1
                           hk  =  1/N    ∑    Hn e -2π i k n / N
                                              n =0

Вычисленные значения  hk располагаются в том же массиве ARRAY.

Н.С.Бахвалов, Н.П.Жидков, Г.М.Кобельков. Численные методы. Изд - во "Наука", 1987.

Использование 

procedure FTA1C(var ARRAY_ :Array of Real; N :Integer; IREG :Integer);


   Параметры
ARRAY_ - вещественный одномерный массив, имитирующий комплексный одномерный массив длины  N, содержащий на входе значения  hk (IREG = 1) или  Hn (IREG = - 1), а на выходе значения  Hn (IREG = 1) или  hk (IREG = - 1);
N - длина комплексного одномерного массива равная целой степени двух (тип: целый), где 2N - длина массива ARRAY_;
IREG - задает режим работы подпрограммы (тип: целый); при этом:
IREG=  1 - когда выполняется прямое преобразование;
IREG= -1 - когда выполняется обратное преобразование. 
   Версии
FTA1Z - выполнение прямого и обратного быстрых преобразований Фурье одномерного массива, имитирующего массив комплексных чисел длины  N, равной целой степени двух, в режиме расширенной (Extended) точности; при этом параметр ARRAY_ должен иметь тип Extended и иметь длину, равную 2N (см.также "Замечания по использованию"). 
   Вызываемые подпрограммы:  нет 
   Замечания по использованию
  1. 

В подпрограммах FTA1C и FTA1Z проверка того, что значение  N должно быть целой степенью двух, не производится.

  2. 

При обращении к подпрограмме FTA1C массив ARRAY_ всегда является вещественным. В этом случае его длина должна равняться 2N, а его элементы должны формироваться по следующему правилу: 

       ARRAY_( I )   =   Re (h i) ,   если  IREG=  1
       ARRAY_( I )   =   Re (H i) ,  если  IREG= - 1

       ARRAY_(I+1)  =   Im (h i) ,   если  IREG=  1
       ARRAY_(I+1)  =   Im (H i) ,  если  IREG= - 1

Здесь Re означает вещественную часть комплексного числа,  Im - мнимую часть,  I = 1, 2, ..., 2N - 1;  i = 0, 1, ..., N - 1.

  3. 

При обращении к подпрограмме FTA1Z массив ARRAY_ должен быть вещественным расширенной (Extended) точности длины 2N. Правила задания его содержимого такие же, как и в замечании 2. Если это допускает входной язык компилятора, массив ARRAY_ может быть описан как Complex длины N.

  4.  Для того чтобы избежать вычислений с использованием комплексной арифметики, подпрограммы FTA1C и FTA1Z рассматривают массив ARRAY_ всегда не как комплексный, а как вещественный длины 2N одинарной или расширенной (Extended) точности соответственно.

Пример использования 

Unit tfta1c_p;
interface
uses
SysUtils, Math, { Delphi }
Lstruct, Lfunc, UtRes_p, FTA1C_p;

function tfta1c: String;

implementation

function tfta1c: String;
var
_i :Integer;
A :Array [0..3] of Complex;
_rar :Array of Real;   //рабочий динамический массив
begin
Result := '';  { результат функции }
A[0] := Cmplx(1.0,0.0);
A[1] := Cmplx(4.0,0.0);
A[2] := Cmplx(7.0,0.0);
A[3] := Cmplx(10.0,0.0);
SetLength(_rar,2*(High(A)+1));  //установка длины рабочего динамического массива
for _i:=0 to High(A) do
 begin
 _rar[2*_i] := A[_i].re;        //заполнение рабочего динамического массива
 _rar[2*_i + 1] := A[_i].im;    //по значениям действительной и мнимой частей массива A
 end;

FTA1C(_rar,4,1);

for _i:=0 to High(A) do
 begin
 A[_i].re := _rar[2*_i];        //заполнение действительной и мнимой частей исходного массива A
 A[_i].im := _rar[2*_i + 1];    //по значениям рабочего динамического массива
 end;
Result := Result + #$0D#$0A;
for _i:=0 to 3 do
 begin
  Result := Result + Format('%20.16f %20.16f ',[A[_i].re,A[_i].im]);
  if ( ((_i+1) mod 2)=0 )
   then Result := Result + #$0D#$0A;
 end;
Result := Result + #$0D#$0A;
UtRes('tfta1c',Result);  { вывод результатов в файл tfta1c.res }
exit;
end;

end.

Результаты:

         A(1) = ( 22.0, 0.0),   A(2) = (- 6.0, - 6.0), 
         A(3) = (- 6.0, 0.0),    A(4) = (- 6.0,   6.0)