Текст подпрограммы и версий ia20r_p.zip |
Тексты тестовых примеров tia20r_p.zip |
Наилучшая среднеквадратичная аппроксимация одномерной функции на множестве кусочно - выпуклых функций с ограниченной первой производной.
Для функции f (x), a ≤ x ≤ b, строится среднеквадратичное приближение u (x) в классе кусочно - выпуклых функций с ограничениями на первую производную: v1 (x) ≤ u' (x) ≤ v2 (x). Эта задача сводится к минимизации функционала
b min ∫ p(x)*( u(x) - f(x) )2 dx , v,u(a) a x u(x) = u(a) + ∫ v(t) dt a
Hа множестве кусочно - монотонных функций v (x) = u' (x), v1 (x) ≤ v (x) ≤ v2 (x), a ≤ x ≤ b. Здесь p (x) > 0, v1 (x), v2 (x) - заданные функции. Значение u (a) может быть как известным, так и подлежащим определению.
Дискретным аналогом рассматриваемой вариационной задачи является задача квадратичного программирования
N
(1) min ∑ pi di ( ui - fi )2
v,ui i=1
при условии, что вектоp v = (v1, v2, ..., vN - 1) удовлетворяет ограничениям
(2) ui = u1 + ( h1*v1 + h2*v2 + ... + hi-1*vi-1 ) , i = 2, ..., N (3) v1 i ≤ vi ≤ v2 i , i = 1, ..., N-1 (4) mi ( vi+1 - vi ) ≥ 0 , i = 1, ..., N-2
где di > 0 - коэффициенты квадратурной формулы трапеций на сетке
w = { xi : a = x1 <...< xi <...< xN = b } , fi = f( xi ) , pi = p( xi ) , v1 i = vi( xi ) , v2 i = v2( xi ) ,
hi = xi + 1 - xi - шаг сетки w, параметры mi определяются условиями кусочной монотонности функции v = u' и принимают значения 1, 0 или -1.
Численное решение задачи (1) - (4) основано на методе проекции сопряженных градиентов, который позволяет проводить итерационный процесс минимизации в конечномерном пространстве W1 2, ρ с нормой
N-1
|| v || = [ ∑ pi di vi2 +
i=1
N-1
+ ∑ ρi ( vi - vi-1 )2 ]1/2 ,
i=2
ρi ≥ 0 - заданные числа. В случае достаточной гладкости функции v (x) задание параметров ρi > 0 позволяет увеличить точность и улучшить качество приближения для производной. Итерационный процесс считается оконченным после выполнения заданного числа итераций или после достижения заданной точности.
1. В.А.Моpозов, Н.Л.Гольдман, М.К.Самарин. Метод дескриптивной регуляризации и качество приближенных решений, ИФЖ, T.33, N6, 1977. 2. Н.Л.Гольдман. Приближенное решение интегрального уравнения Фредгольма I рода в классе кусочно - выпуклых функций с ограниченной первой производной. Сб. "Численный анализ на ФОРТРАНе, Методы и алгоритмы." Изд-во МГУ, 1978. 3. Ф.П.Васильев. Лекции по методам решения экстремальных задач. Изд-во МГУ, 1974.
procedure IA20R(N :Integer; var F :Array of Real; NG :Integer; var V1 :Array of Real; var V2 :Array of Real; var MU :Array of Integer; var H :Array of Real; var P :Array of Real; var R :Array of Real; E :Real; ISP :Integer; LU :Integer; var U :Array of Real; var FU :Real; var KN :Integer; var B :Array of Real);
Параметры
N - | заданное число значений приближаемой функции f (тип: целый); |
F - | заданный вещественный вектоp длины N с компонентами f ( xi ) ; |
NG - | заданный признак наличия ограничений на производную (тип: целый): |
NG = 0 - | если ограничения отсутствуют, |
NG = 1 - | если выполнены ограничения (3) , |
NG = 2 - | если выполнены ограничения (4) , |
NG = 3 - | если выполнены ограничения (3) и (4) ; |
V1 - | вещественный вектоp длины N, первые N - 1 компонент которого содержат нижние ограничения v1 i ; |
V2 - | вещественный вектоp длины N, первые N - 1 компонент которого содержат верхние ограничения v2 i ; |
MU - | целый вектоp длины N, первые N - 2 компонент которого содержат параметры mi ; |
H - | вещественный вектоp длины N, первые N - 1 компонент которого содержат шаги hi ; |
P - | вещественный вектоp длины N, содержащий весовые коэффициенты pi > 0 ; |
R - | вещественный вектоp длины N + 1 значений параметров ρi таких, что R (1) = 0., R (J) = ρj ≥ 0, j = 2, ..., N - 1, R (N) = 0., R (N + 1) = 0.; |
E - | заданная точность вычислений по градиенту (тип: вещественный); |
ISP - | заданное максимально допустимое число итераций (тип: целый); |
LU - | параметр, задаваемый из условия (тип: целый); |
LU = 1 - | если значение u (a) известно , |
LU = 0 - | если значение u (a) неизвестно ; |
U - | вещественный вектоp длины N, задающий произвольное начальное приближение; U (1) = U (a) в случае заданного значения u (a); в результате работы подпрограммы U содержит искомое приближение u = (u1, ..., un); |
FU - | вещественная переменная, содержащая вычисленное значение минимизируемого функционала ; |
KN - | целая переменная, указывающая причину выхода из подпрограммы: |
KN = 0 - | если выполнено заданное число итераций , |
KN = 1 - | если достигнута точность по градиенту , |
KN = 2 - | если достигнута точность по функционалу , |
KN = 3 - | если достигнута точность по аргументу ; |
B - | вещественный рабочий вектоp длины 8N + 2 . |
Версии: нет
Вызываемые подпрограммы
IA01R - | наилучшая среднеквадратичная аппроксимация одномерной дискретной функции на множестве кусочно - монотонных функций. |
Замечания по использованию
1. |
Kpоме искомого приближения функции f (x) подпрограмма позволяет получить приближение для ее производной : компоненты вектоpа v = (v1, ..., vN - 1) pасположены в B (1), ...,B (N - 1). | |
2. |
B случае NG = 0 или NG = 2 массивы V1 и V2 в вычислениях не используются и для них не следует резирвировать память. Соответствующими фактическими параметрами могут быть произвольные идентификаторы. Это замечание относится и к массиву MU в случае NG = 0 или NG = 1. | |
3. | Величины, определяющие точность вычисления по аргументу и по функционалу, заданы в самой подпрограмме согласованно с величиной E. |
Unit TIA20R_p; interface uses SysUtils, Math, { Delphi } Lstruct, Lfunc, UtRes_p, IA20R_p; function TIA20R: String; implementation function TIA20R: String; var N,NG,LU,ISP,J,_i,KN :Integer; E,SF,Y,S,FU :Real; F :Array [0..10] of Real; B :Array [0..99] of Real; const V1 :Array [0..10] of Real = ( 0.0,0.0,0.0,0.0,0.0,0.0,0.0,0.0,0.0,0.0,0.0 ); V2 :Array [0..10] of Real = ( 1.1,1.1,1.1,1.1,1.1,1.1,1.1,1.1,1.1,1.1,0.0 ); MU :Array [0..10] of Integer = ( 1,1,1,1,1,-1,-1,-1,-1,0,0 ); H :Array [0..10] of Real = ( 0.1,0.1,0.1,0.1,0.1,0.1,0.1,0.1,0.1,0.1,0.0 ); P :Array [0..10] of Real = ( 1.0,1.0,1.0,1.0,1.0,1.0,1.0,1.0,1.0,1.0,1.0 ); R :Array [0..11] of Real = ( 0.0,0.0,0.0,0.0,0.0,0.0,0.0,0.0,0.0,0.0,0.0,0.0 ); U :Array [0..10] of Real = ( 0.0,0.0,0.0,0.0,0.0,0.0,0.0,0.0,0.0,0.0,0.0 ); label _1; begin Result := ''; { результат функции } N := 11; NG := 3; LU := 1; E := 1.E-5; ISP := 20; U[0] := -11.0/24.0; SF := 0.025; Y := -0.5; for J:=1 to N do begin S := SF*(2.0*Sin(123.456*J+789.0)); F[J-1] := Y-(IntPower(Y,3))/3.0+S; _1: Y := Y+H[J-1]; end; IA20R(N,F,NG,V1,V2,MU,H,P,R,E,ISP,LU,U,FU,KN,B); Result := Result + Format('%s',[' ФYHKЦИOHAЛ=']); Result := Result + Format('%20.16f ',[FU]) + #$0D#$0A; Result := Result + Format('%s',[' РЕШЕНИЕ U=' + #$0D#$0A]); Result := Result + #$0D#$0A; for _i:=0 to 10 do begin Result := Result + Format('%20.16f ',[U[_i]]); if ( ((_i+1) mod 3)=0 ) then Result := Result + #$0D#$0A; end; Result := Result + #$0D#$0A; UtRes('TIA20R',Result); { вывод результатов в файл TIA20R.res } exit; end; end. Результат: U = (-4.58E-1, -3.97E-1, -3.00E-1, -2.04E-1, -1.07E-1, 4.87E-4, 1.08E-1, 2.02E-1, 2.96E-1, 3.91E-1, 4.13E-1)