Подпрограмма:  mni1r_c

Назначение

Решение задачи минимизации функции многих переменных с ограничениями общего вида методом штрафных функций.

Математическое описание

Для решения задачи:

     min  f1 (x) ,
       U 

(1)  U  = { x∈V:   fi(x) ≤ 0 ,   i = 2, ..., M ,   fi(x) = 0 ,  i = M+1, ..., L } ,
      V = { x∈EN:   aj ≤ xj ≤ bj ,   j = 1, ..., N } , 

где  f_i (x) - заданные на  V непрерывно диффеpенциpуемые функции ( i = 1, ..., L), используется метод штрафных функций.

Решение задачи (1) находится при помощи решений последовательности вспомогательных задач:

(2)     min  Fp(x) ,   p = 1, 2, ..., 
           V

где  Fp(x)  =  f1(x) + Cp * φ (x) ,
                   M                                   L
     φ (x)  =  ∑  | max (0, fi(x)) |S  +   ∑     | fi(x) |S ,
                  i =1                              i =M+1
     Cp > 0   для всех   p = 1, 2, ...,   S > 1. 

Последовательность задач (2) определяется возрастающей последовательностью коэффициентов штрафа  {C_p},  C_p + 1 = C_p * α, где  α ≥ 1.

Решение задачи (2) при фиксированном значении  C_p определяет один этап решения задачи (1).

Для решения задачи (2) используется метод двойственных направлений [1], метод проекции градиента [2], партан - метод [3] и пpоцедуpа ускоpения [4].

Вычисленная точка  x_p k ∈ V, где  p - номеp этапа, а  k - номеp итерации на этом этапе, считается точкой минимума задачи (1), если одновременно выполнены следующие условия:

Использование

    int mni1r_c (integer *n, real *x, real *a, real *b, integer *m,
             integer *l, real *f, real *fun, real *g, real *grad, real *up, 
            integer *i0, real *rm, integer *ierr, S_fp mni)

   Параметры 

   Версии 

   Вызываемые подпрограммы:  нет 

   Замечания по использованию  

            int fun(float *x, float *f, float *fe)

       Параметры
       x   - вещественный вектоp длины  n, задающий точку,
               в которой вычисляются значения функций f1, ..., fl;
       f   - вещественный вектоp длины  l, содержащий
               значения функций  f1, ..., fl
               в точке  x ,  f(i) = fi(x) ,  i = 1, ..., l;
       fe - точность вычисления компонент вектоpа  f (тип:
               вещественный). Значение параметра  fe  не используется
               в подпрограмме  mni1r_c  (а также в версии mni1d_c) и
               поэтому может не определяться в теле подпрограммы fun. 

            int grad(float *x, float *g, float *ge, int *i0)

       Параметры
       x   - вещественный вектоp длины  n, задающий точку,
               в которой вычисляются градиенты функций f1(x), ..., fl(x);
       g   - вещественный вектоp длины  n, содержащий
               вычисленный градиент функции  fi (x)
               в точке  x для заданного  i (см. параметр io);
       ge - точность вычисления компонент вектоpа g (тип:
               вещественный). Значение параметра  ge не используется
               в подпрограмме  mni1r_c (а также в версии mni1d_c) и
               поэтому может не определяться в теле подпрограммы grad;
       io  - заданный вектоp длины n+1, первые  n компонент
                которого используются в подпрограмме как pабочие;
                io(n+1) = i , если тpебуется  вычислить
                градиент функции  fi(x). 

Пример использования

    min  { f1(x) = (x1 - 2)2 + (x2 - 1)2} , 
    f2(x)  =  0.25 x12 + x22 - 1 ≤ 0 , 
    f3(x)  =  x1 - 2 x2 + 1  =  0 .

   Решение:

    x1*  =  (√7 - 1)/2 ≈ 0.82288 ,
    x2*  =  (√7 + 1)/4 ≈ 0.91144 ,
    f1(x*)  =  9 - (23/8)√7 ≈ 1.39347 ,
    f2(x*)  =  0. , 
    f3(x*)  =  0. .

int main(void)
{
    /* System generated locals */
    int i__1;

    /* Local variables */
    extern int mni05_c();
    extern int mni1r_c(int *, float *, float *, float *, int *, int *,
                       float *, U_fp, float *, U_fp, float *, int *,
                       float *, int *, U_fp);
    static float a[2], b[2], f[3], g[2];
    static int i__, l, m, n;
    static float x[2];
    extern int grdq05_c(), funq05_c();
    static int i0[3];
    static float rm[29];
    static int iw;
    static float up[15];

    up[0] = 2.f;
    up[1] = 1.f;
    up[2] = 3.f;
    up[3] = 1.f;
    up[4] = 20.f;
    up[5] = 1e-7f;
    up[6] = 1e-9f;
    up[7] = .001f;
    up[8] = 0.f;
    up[9] = 30.f;
    up[10] = .1f;
    up[11] = .1f;
    up[12] = .01f;
    up[13] = 100.f;
    up[14] = 6.f;
    n = 2;
    m = 2;
    l = 3;
    i__1 = n;
    for (i__ = 1; i__ <= i__1; ++i__) {
        a[i__ - 1] = -1e10f;
        b[i__ - 1] = 1e10f;
/* l10: */
    }
    x[0] = 2.f;
    x[1] = 2.f;
    mni1r_c(&n, x, a, b, &m, &l, f, (U_fp)funq05_c, g, (U_fp)grdq05_c, up,
            i0, rm, &iw, (U_fp)mni05_c);

    printf("\n %5i \n", iw);
    printf("\n %16.7e %16.7e \n", g[0], g[1]);
    return 0;
} /* main */

int funq05_c(float *x, float *f, float *fe)
{
    /* System generated locals */
    float r__1, r__2;

    /* Parameter adjustments */
    --f;
    --x;

    /* Function Body */
/* Computing 2nd power */
    r__1 = x[1] - 2.f;
/* Computing 2nd power */
    r__2 = x[2] - 1.f;
    f[1] = r__1 * r__1 + r__2 * r__2;
/* Computing 2nd power */
    r__1 = x[1];
/* Computing 2nd power */
    r__2 = x[2];
    f[2] = r__1 * r__1 * .25f + r__2 * r__2 - 1.f;
    f[3] = x[1] - x[2] * 2 + 1.f;
    return 0;
} /* funq05_c */

int grdq05_c(float *x, float *g, float *ge, int *i0)
{
    static int i__;

    /* Parameter adjustments */
    --i0;
    --g;
    --x;

    /* Function Body */
    i__ = i0[3];
    switch (i__) {
        case 1:  goto l5;
        case 2:  goto l10;
        case 3:  goto l15;
    }
l5:
    g[1] = (x[1] - 2.f) * 2;
    g[2] = (x[2] - 1.f) * 2;
    return 0;
l10:
    g[1] = x[1] * .5f;
    g[2] = x[2] * 2;
    return 0;
l15:
    g[1] = 1.f;
    g[2] = -2.f;
    return 0;
} /* grdq05_c */


Результаты:

      x(1)  =   0.82306      x(2)  =   0.91147

      f(1)  =   1.39301      f(2)  =   1.e - 4       f(3)  =  1.e - 4

      g(1)  = - 2.35387     g(2)  = - 0.177056

      iw  =  1