Подпрограмма:  mnk1r_c

Назначение

Решение задачи минимизации диффеpенциpуемой функции многих переменных при наличии двухстоpонних ограничений на переменные методом сопряженных градиентов.

Математическое описание

Для решения задачи:

         min  f(x) ,
        x∈Q
Q  =  { x:  x∈En ,  aj ≤ xj ≤ bj ,  aj > -∞,  bj < ∞ ,  j = 1, ..., n } , 

Используется метод Флетчера - Ривса и метод сопряженных градиентов.

Некоторая вычисленная точка  x^k ∈ Q считается точкой минимума  f (x) на  Q, если выполнено хотя бы одно из следующих условий:

Для одномерной минимизации функции  f (x) вдоль направления спуска используются методы линейной и квадратичной аппроксимации производной по направлению.

Д.Химмельблау, Прикладное нелинейное программирование. Изд - во "Мир", M., 1975, 107 - 109.

Ф.П.Васильев, Лекции по методам решения экстремальных задач, Изд - во МГУ, M., 1974, 101 - 107.

Использование

    int mnk1r_c (real *x, real *epsx, integer *i0, real *a, real *b,
            integer *n, S_fp func, real *f, real *epsf, real *grad, real *g,
            real *epsg, real *up, real *rm, integer *irm, integer *ierr)

   Параметры 

   Версии:  нет 

   Вызываемые подпрограммы:  нет 

   Замечания по использованию  

           int func(float *x, float *f, float *fe)

       Параметры
       x   - вещественный вектор длины задающий точку      
               пространства, в которой вычисляется значение функции;
       f   - вещественная переменная, содержащая
               вычисленное значение функции в точке  x;
       fe - вещественная переменная, содержащая на входе
               заданную точность вычисления значения
               функции в точке  x, а на выходе - достигнутую точность. 

           int grad(float *x, float *g, float *ge, int *i0)

       Параметры
       x    - вещественный вектор длины  n, задающий точку
                пространства, в которой вычисляется градиент;
       g    - вещественный вектоp длины  n, содержащий
                градиент функции в точке  x;
       ge - вещественный вектоp длины  n, содержащий на
               входе заданную покомпонентную точность
               вычисления градиента функции, на выходе -
               достигнутую точность вычисления градиента
               по всем компонентам;
       i0  - целый вектоp фиксированных компонент,
               упpавляющий вычислением компонент градиента:
              если  i0(j) = 0, то полагается  g(j) = 0
              (тип: целый). 

Пример использования

            min  f(x) ,
x ∈ Q  =  { x:  x ∈ E4 ,  -5 ≤ xj ≤ 5 ,  j = 1, 2, 3, 4 }
f(x)  =  (x1 + 10x2)2 + 5(x3 - x4)2 + (x2 - 2x3)4 + 10(x1 - x4)4 . 

Точка условного минимума является внутpенней точкой множества  Q, а именно  x^* = (0., 0., 0., 0.),  f (x^*) = 0.0

int main(void)
{
    /* Initialized data */
    static float up[9] = { 200.f,200.f,-1.f,1.f,0.f,.01f,.125f,.1f,6.f };

    /* System generated locals */
    int i__1;

    /* Local variables */
    static int ierr;
    extern int mnk1r_c(float *, float *, int *, float *, float *, int *,
                       U_fp, float *, float *, U_fp, float *, float *,
                       float *, float *, int *, int *);
    static float a[4], b[4], f, g[4];
    static int i__, n;
    extern int grdd01_c(), fund01_c();
    static int i0[4], i1;
    static float fe, ge[4], xe[4], xf[4], rm[40];
    static int irm[7];

    n = 4;
    for (i1 = 1; i1 <= 2; ++i1) {
        up[3] = (float) i1;
        i__1 = n;
        for (i__ = 1; i__ <= i__1; ++i__) {
            a[i__ - 1] = -5.f;
            b[i__ - 1] = 5.f;
            i0[i__ - 1] = 1;
            xe[i__ - 1] = 1e-4f;
            ge[i__ - 1] = 1e-10f;
/* l1: */
        }
        fe = 1e-8f;
        xf[0] = -3.f;
        xf[1] = -1.f;
        xf[2] = 0.f;
        xf[3] = 1.f;
        mnk1r_c(xf, xe, i0, a, b, &n, (U_fp)fund01_c, &f, &fe,
                (U_fp)grdd01_c, g, ge, up, rm, irm, &ierr);

/* l2: */
    }
    return 0;
} /* main */

int fund01_c(float *x, float *f, float *fe)
{
    /* System generated locals */
    float r__1, r__2, r__3, r__4;

    /* Parameter adjustments */
    --x;

    /* Function Body */
/* Computing 2nd power */
    r__1 = x[1] + x[2] * 10;
/* Computing 2nd power */
    r__2 = x[3] - x[4];
/* Computing 4th power */
    r__3 = x[2] - x[3] * 2, r__3 *= r__3;
/* Computing 4th power */
    r__4 = x[1] - x[4], r__4 *= r__4;
    *f = r__1 * r__1 + r__2 * r__2 * 5 + r__3 * r__3 + r__4 * r__4 * 10;
    return 0;
} /* fund01_c */

int grdd01_c(float *x, float *g, float *ge, int *i0)
{
    /* System generated locals */
    float r__1;

    /* Parameter adjustments */
    --i0;
    --ge;
    --g;
    --x;

    /* Function Body */
/* Computing 3rd power */
    r__1 = x[1] - x[4];
    g[1] = (x[1] + x[2] * 10) * 2 + r__1 * (r__1 * r__1) * 40;
/* Computing 3rd power */
    r__1 = x[2] - x[3] * 2;
    g[2] = (x[1] + x[2] * 10) * 20 + r__1 * (r__1 * r__1) * 4;
/* Computing 3rd power */
    r__1 = x[2] - x[3] * 2;
    g[3] = (x[3] - x[4]) * 10 - r__1 * (r__1 * r__1) * 8;
/* Computing 3rd power */
    r__1 = x[1] - x[4];
    g[4] = (x[4] - x[3]) * 10 - r__1 * (r__1 * r__1) * 40;
    return 0;
} /* grdd01_c */


Результаты:

   для метода сопряженных градиентов:

         аргумент(x)           градиент(g)
        -0.7851-02                     -0.1815-05
         0.7850-03                      0.6659-06
        -0.7985-02                     -0.8042-05
        -2.7988-02                     -0.2959-04

   значение функции - функционал   =  0.789-07 , 
   количество итераций  28 ,
   вычислений функционала  29 ,
   вычислений градиента  134 ;