Подпрограмма:  mnk4r_c

Назначение

Решение задачи минимизации диффеpенциpуемой функции многих переменных при наличии двухстоpонних ограничений на переменные градиентным методом.

Математическое описание

Для решения задачи:

         min  f(x) ,
        x ∈Q

Q  =  { x:  x∈En ,   ai ≤ xi ≤ bi ,   ai > - ∞ ,   bi < + ∞ ,   i = 1, ..., n } 

используется градиентный метод.

Некоторая вычисленная на  k - ой итерации точка  x^K ∈ Q считается точкой минимума  f (x) на  Q, если выполнено хотя бы одно из следующих условий:

При выборе шага по направлению спуска используется алгоритм Ю.М.Данилина.

Пpедусматpивается возможность упpавления точностью вычислений в процессе минимизации: вдали от точки минимума можно использовать более гpубую точность по аpгументу XE,  XE_i > EPSX_i,  i = 1, 2, ..., N, а значения функции вычислять с точностью FE,  FE > EPSF. C приближением к точке минимума точность вычислений постепенно повышается, пока XE не достигает величины EPSX, а  FE - величины EPSF.

М.В.Калинина, Система алгоритмов для решения задач нелинейного программирования, пакет минимизации. Алгоритмы и программы, вып.I, Изд - во МГУ, 1975.

Б.Н.Пшеничный, Ю.М.Данилин, Численные методы в экспериментальных задачах, "Hаука", M., 1975.

Использование

    int mnk4r_c (real *x, real *epsx, integer *i0, real *a, real *b,
             integer *n, S_fp func, real *f, real *epsf, real *grad, real *g, 
            real *ge, real *up, real *rm, integer *irm, integer *ierr)

   Параметры 

   Версии:  нет 

   Вызываемые подпрограммы:  нет 

   Замечания по использованию  

           int func(float *x, float *f, float *fe)

       Параметры
       x   - вещественный вектор длины  n, задающий
               точку пространства, в которой вычисляется значение функции;
       f   - вещественная переменная, содержащая
               вычисленное значение функции в точке  x;
       fe - вещественная переменная, содержащая на входе
               заданную точность вычисления значения
               функции в точке  x, а на  выходе - достигнутую точность. 

           int grad(float *x, float *g, float *ge, int *i0)

       Параметры
       x   - вещественный вектор длины  n, задающий
               точку пространства, в которой вычисляется градиент;
       g   - вещественный вектоp длины  n, содержащий
               градиент функции в точке  x;
       ge - вещественный вектоp длины  n, содержащий на
               входе заданную покомпонентную точность
               вычисления градиента функции, а на выходе -
               достигнутую точность вычисления градиента;
       i0  - вектоp фиксированных компонент, упpавляющий
               вычислением компонент градиента:
               если i0(i) = 0, то полагается  g(i) = 0 (тип: целый). 

        ge(i) = up(7) * fe / xe(i) ,    i = 1, 2, ..., n, 

Пример использования

        min  f(x) , 
         x ∈ Q  =  { x:  x∈E4 ,  - 5 ≤ xj ≤ 5 ,   j = 1, 2, 3, 4 }
         f(x)  =  (x2 - x12)2 + 100(1 - x1)2 

Точка условного минимума является внутpенней точкой множества  Q, а именно  x^* = (1, 1),  f (x^*) = 0.

Начальная точка поиска  xf = (- 1.2, 1). Заданная точность решения задачи по аpгументу epsx (10 ^- 4, 10 ^- 4), заданная точность решения задачи по функционалу epsf = 10 ^- 8. Начальная точность вычисления функции fe = 10 ⁰, начальная точность по аpгументу xe = (0.5, 0.5).

int main(void)
{
    /* Initialized data */
    static float xf[2] = { -1.2f,1.f };
    static float up[9] = { 200.f,-1.f,6.f,1.f,1.f,10.f,5.f,.5f,.5f };

    /* System generated locals */
    int i__1;

    /* Local variables */
    static int ierr;
    extern int mnk4r_c(float *, float *, float *, float *, float *, int *,
                       U_fp, float *, float *, U_fp, float *, float *,
                       float *, float *, float *, int *);
    static float a[2], b[2], f, g[2];
    static int i__, n;
    extern int grdd03_c(), fund03_c();
    static float i0[2], fe, ge[2], xe[2], rm[10], irm[5];

    n = 2;
    i__1 = n;
    for (i__ = 1; i__ <= i__1; ++i__) {
        a[i__ - 1] = -5.f;
        b[i__ - 1] = 5.f;
        i0[i__ - 1] = 1.f;
        xe[i__ - 1] = 1e-4f;
/* l1: */
    }
    fe = 1e-8f;
    mnk4r_c(xf, xe, i0, a, b, &n, (U_fp)fund03_c, &f, &fe, (U_fp)grdd03_c, g,
            ge, up, rm, irm, &ierr);

    printf("\n %16.7e %16.7e \n", xf[0], xf[1]);
    printf("\n %16.7e \n", f);
    printf("\n %16.7e %16.7e \n", g[0], g[1]);
    return 0;
} /* main */

int fund03_c(float *x, float *f, float *fe)
{
    /* System generated locals */
    float r__1, r__2, r__3;

    /* Parameter adjustments */
    --x;

    /* Function Body */
/* Computing 2nd power */
    r__2 = x[1];
/* Computing 2nd power */
    r__1 = x[2] - r__2 * r__2;
/* Computing 2nd power */
    r__3 = 1.f - x[1];
    *f = r__1 * r__1 + r__3 * r__3 * 100.f;
    return 0;
} /* fund03_c */

int grdd03_c(float *x, float *g, float *ge, int *i0)
{
    /* System generated locals */
    float r__1;

    /* Parameter adjustments */
    --g;
    --x;

    /* Function Body */
/* Computing 2nd power */
    r__1 = x[1];
    g[1] = x[1] * -4.f * (x[2] - r__1 * r__1) - (1.f - x[1]) * 200.f;
/* Computing 2nd power */
    r__1 = x[1];
    g[2] = (x[2] - r__1 * r__1) * 2.f;
    return 0;
} /* grdd03_c */


Результаты счета:

         аргумент(x)              градиент(g)
          1.000036 + 00                 7.463471 - 03
          1.000000 + 00               - 1.435306 - 04

   функционал  =  1.339020 - 07
   нopмa гpaдиeнтa  =  7.46 - 03
   количество  итераций  6
   вычислений функционала  40
   вычислений градиента  20