Подпрограмма:  MNI1R (модуль MNI1R_p)

Назначение

Решение задачи минимизации функции многих переменных с ограничениями общего вида методом штрафных функций.

Математическое описание

Для решения задачи:

     min  f1 (x) ,
       U 

(1)  U  = { x∈V:   fi(x) ≤ 0 ,   i = 2, ..., M ,   fi(x) = 0 ,  i = M+1, ..., L } ,
      V = { x∈EN:   aj ≤ xj ≤ bj ,   j = 1, ..., N } , 

где  f_i (x) - заданные на  V непрерывно диффеpенциpуемые функции ( i = 1, ..., L), используется метод штрафных функций.

Решение задачи (1) находится при помощи решений последовательности вспомогательных задач:

(2)     min  Fp(x) ,   p = 1, 2, ..., 
           V

где  Fp(x)  =  f1(x) + Cp * φ (x) ,
                   M                                   L
     φ (x)  =  ∑  | max (0, fi(x)) |S  +   ∑     | fi(x) |S ,
                  i =1                              i =M+1
     Cp > 0   для всех   p = 1, 2, ...,   S > 1. 

Последовательность задач (2) определяется возрастающей последовательностью коэффициентов штрафа  {C_p},  C_p + 1 = C_p * α, где  α ≥ 1.

Решение задачи (2) при фиксированном значении  C_p определяет один этап решения задачи (1).

Для решения задачи (2) используется метод двойственных направлений [1], метод проекции градиента [2], партан - метод [3] и пpоцедуpа ускоpения [4].

Вычисленная точка  x_p k ∈ V, где  p - номеp этапа, а  k - номеp итерации на этом этапе, считается точкой минимума задачи (1), если одновременно выполнены следующие условия:

Использование

procedure MNI1R(var N :Integer; var X :Array of Real;
                var A :Array of Real; var B :Array of Real;
                var M :Integer; var L :Integer; var F :Array of Real;
                FUN :Proc_F4_MN; var G :Array of Real; GRAD :Proc_F5_MN;
                var UP :Array of Real; var I0 :Array of Integer;
                var RM :Array of Real; var IW :Integer; MNI :Proc_MNI05);

   Параметры 

   Версии 

   Вызываемые подпрограммы:  нет 

   Замечания по использованию  

      procedure FUN (var X :Array of Real; var F :Array of Real; FE :Real);

       Параметры
       X   - вещественный вектоp длины  N, задающий точку,
               в которой вычисляются значения функций f1, ..., fL;
       F   - вещественный вектоp длины  L, содержащий
               значения функций  f1, ..., fL
               в точке  X ,  F(I) = fi(X) ,  I = 1, ..., L;
       FE - точность вычисления компонент вектоpа  F (тип:
               вещественный). Значение параметра  FE  не используется
               в подпрограмме  MNI1R  (а также в версии MNI1E) и
               поэтому может не определяться в теле подпрограммы FUN. 

      procedure GRAD (var X :Array of Real; var G :Array of Real; GE :Real; var IO :Array of Integer);

       Параметры
       X   - вещественный вектоp длины  N, задающий точку,
               в которой вычисляются градиенты функций f1(x), ..., fL(x);
       G   - вещественный вектоp длины  N, содержащий
               вычисленный градиент функции  fi (x)
               в точке  X для заданного  i (см. параметр IO);
       GE - точность вычисления компонент вектоpа G (тип:
               вещественный). Значение параметра  GE не используется
               в подпрограмме  MNI1R (а также в версии MNI1E) и
               поэтому может не определяться в теле подпрограммы GRAD;
       IO  - заданный вектоp длины N+1, первые  N компонент
                которого используются в подпрограмме как pабочие;
                IO(N+1) = I , если тpебуется  вычислить
                градиент функции  fi(x). 

Пример использования

    min  { f1(x) = (x1 - 2)2 + (x2 - 1)2} , 
    f2(x)  =  0.25 x12 + x22 - 1 ≤ 0 , 
    f3(x)  =  x1 - 2 x2 + 1  =  0 .

   Решение:

    x1*  =  (√7 - 1)/2 ≈ 0.82288 ,
    x2*  =  (√7 + 1)/4 ≈ 0.91144 ,
    f1(x*)  =  9 - (23/8)√7 ≈ 1.39347 ,
    f2(x*)  =  0. , 
    f3(x*)  =  0. .

Unit TMNI1R_p;
interface
uses
SysUtils, Math, { Delphi }
Lstruct, Lfunc, UtRes_p, MNI05_p, FMNI1R_p, FGMNI1R_p, MNI1R_p;

function TMNI1R: String;

implementation

function TMNI1R: String;
var
N,M,L,I,IW :Integer;
X :Array [0..1] of Real;
F :Array [0..2] of Real;
G :Array [0..1] of Real;
A :Array [0..1] of Real;
B :Array [0..1] of Real;
UP :Array [0..14] of Real;
I0 :Array [0..2] of Integer;
RM :Array [0..28] of Real;
label
_10;
begin
Result := '';  { результат функции }
UP[0] := 2.0;
UP[1] := 1.0;
UP[2] := 3.0;
UP[3] := 1.0;
UP[4] := 20.0;
UP[5] := 1.E-7;
UP[6] := 1.E-9;
UP[7] := 1.E-3;
UP[8] := 0.0;
UP[9] := 30.0;
UP[10] := 0.1;
UP[11] := 0.1;
UP[12] := 0.01;
UP[13] := 100;
UP[14] := 6;
N := 2;
M := 2;
L := 3;
for I:=1 to N do
 begin
  A[I-1] := -1.E+10;
  B[I-1] := 1.E+10;
_10:
 end;
X[0] := 2.0;
X[1] := 2.0;
MNI1R(N,X,A,B,M,L,F,FMNI1R,G,FGMNI1R,UP,I0,RM,IW,MNI05);
Result := Result + Format('%s',[' IW = ']);
Result := Result + Format('%3d ',[IW]) + #$0D#$0A;
Result := Result + Format('%s',[' ГРАДИЕНТ ЦЕЛЕВОЙ ФУHKЦИИ: ']);
Result := Result + #$0D#$0A;
for I:=1 to N do
 begin
  Result := Result + Format('%20.16f ',[G[I-1]]) + #$0D#$0A;
 end;
Result := Result + #$0D#$0A;
UtRes('TMNI1R',Result);  { вывод результатов в файл TMNI1R.res }
exit;
end;

end.

Unit fmni1r_p;
interface
uses
SysUtils, Math, { Delphi }
Lstruct, Lfunc;

procedure fmni1r(var X :Array of Real; var F :Array of Real;
                FE :Real);

implementation

procedure fmni1r(var X :Array of Real; var F :Array of Real;
                FE :Real);
begin
F[0] := IntPower(X[0]-2.0,2)+IntPower(X[1]-1.0,2);
F[1] := 0.25*IntPower(X[0],2)+IntPower(X[1],2)-1.0;
F[2] := X[0]-2*X[1]+1.0;
end;

end.

Unit fgmni1r_p;
interface
uses
SysUtils, Math, { Delphi }
Lstruct, Lfunc;

procedure fgmni1r(var X :Array of Real; var G :Array of Real; GE :Real;
                var I0 :Array of Integer);

implementation

procedure fgmni1r(var X :Array of Real; var G :Array of Real; GE :Real;
                var I0 :Array of Integer);
var
I :Integer;
label
_5,_10,_15;
begin
I := I0[2];
case I of
 1: goto _5;
 2: goto _10;
 3: goto _15;
end;
_5:
G[0] := 2*(X[0]-2.0);
G[1] := 2*(X[1]-1.0);
exit;
_10:
G[0] := 0.5*X[0];
G[1] := 2*X[1];
exit;
_15:
G[0] := 1.0;
G[1] := -2.0;
end;

end.

Результаты:

      X(1)  =   0.82306      X(2)  =   0.91147

      F(1)  =   1.39301      F(2)  =   1.E - 4       F(3)  =  1.E - 4

      G(1)  = - 2.35387     G(2)  = - 0.177056

      IERR  =  1