Текст подпрограммы и версий ( Фортран )
qs21r.zip  qs21d.zip  		Тексты тестовых примеров ( Фортран )
tqs21r.zip  tqs21d.zip 
Текст подпрограммы и версий ( Си )
qs21r_c.zip  qs21d_c.zip  		Тексты тестовых примеров ( Си )
tqs21r_c.zip  tqs21d_c.zip 
Текст подпрограммы и версий ( Паскаль )
qs21r_p.zip  qs21e_p.zip  		Тексты тестовых примеров ( Паскаль )
tqs21r_p.zip  tqs21e_p.zip 

Подпрограмма:  QS21R

Назначение

Вычисление серии интегралов Фурье с помощью алгоритма быстрого преобразования Фурье (БПФ) от комплекснозначной функции вещественного аргумента по квадратурной формуле Симпсона.

Математическое описание

Пусть  f (x) = f1 (x) + i f2 (x) - комплекснозначная функция вещественного аргумента, определенная на конечном отрезке [a, b]. Вычисляется серия из  N интегралов по формуле Симпсона по  N узлам: 

  b
 ∫ f (x) exp(-iwmx) dx  =
a
                                              1
                               =  (b-a)   ∫  f [ a+(b-a) y ] * exp { - iwm[ a+(b-a) y ]} dy  ≈
                                             0
                   N-1
 ≈ (b-a)/N    ∑   Ck f [ a+(b-a) k/N] * exp { - i wm[ a+(b-a) k/N ] }  =  ImN ,
                  k =0

 где  ImN  =  UmN + i VmN ,
        Ck - веса формулы Симпсона для отрезка [0,1] ,    i = √-1 ,
        wm = 2πm /(b-a) ,   m = 0, 1, 2, ..., N/2, N/2+1, N/2+2, ..., - 2, - 1

В.А.Морозов,Н.Н.Кирсанова,А.Ф.Сысоев. Комплекс алгоритмов быстрого преобразования Фурье дискретных рядов. Сб."Численный анализ на ФОРТРАНе", вып.15, Изд - во МГУ, 1976.

Использование 

    SUBROUTINE  QS21R (U, V, A, B, F, N, IERR) 
   Параметры
U - вещественный вектор длины  N для вычисленных значений  UmN;
V - вещественный вектор длины  N для вычисленных значений  VmN;
A, B - заданные нижний и верхний пределы интегрирования (тип: вещественный);
F - имя подпрограммы, вычисляющей подинтегральную функцию  f (x);
N - число узлов интегрирования (тип: вещественный);
IERR - целая переменная для диагностических сообщений:
IERR=65 - когда заданное  N превосходит максимально допустимое число узлов. 
   Версии
QS21D - вычисление серии интегралов Фурье с помощью алгоритма быстрого преобразования Фурье (БПФ) от комплекснозначной функции вещественного аргумента по квадратурной формуле Симпсона в режиме удвоенной точности. 
   Вызываемые подпрограммы
UTQS10 - подпрограмма выдачи диагностических сообщений при работе подпрограммы QS21R.
UTQS11 - подпрограмма выдачи диагностических сообщений при работе подпрограммы QS21D.
FTF1C - подпрограмма вычисления дискретного или обратного дискретного преобразования Фурье комплексного ряда длины L = 2M (M - целое) методом быстрого преобразования Фурье при работе подпрограммы QS21R.
FTF1P - подпрограмма вычисления дискретного или обратного дискретного преобразования Фурье комплексного ряда длины L = 2M (M - целое) методом быстрого преобразования Фурье при работе подпрограммы QS21D. 
   Замечания по использованию
  1. 

N должно быть степенью числа два.

  2. 

Максимальное значение  N не должно превосходить 220, т.е.  N ≤ 1048576 .

  3. 

Первый оператор подпрограммы  F должен иметь вид: 

             SUBROUTINE  F (X, F1, F2)
       Здесь:
       X  - аргумент функции  f(x) (тип: вещественный);
       F1 - вещественная переменная,  F1 = Re f(x);
       F2 - вещественная переменная,  F2 = Im f(x)
  4. 

Для подпрограммы QS21D параметры U, V, A, B, а также параметры X, F1 и F2 из подпрограммы  F имеют тип DOUBLE PRECISION.

  5.  Подпрограмма QS21R вычисляет серию интегралов при заданном значении  N. Если требуется вычислить интегралы с оценкой погрешности, то следует провести просчеты при нескольких значениях  N и сравнить их.

Пример использования 

       SUBROUTINE  F(X, F1, F2) 
       REAL  X, F1, F2 
       F1 = EXP(X) 
       F2 = 0. 
       RETURN 
       END 

       EXTERNAL  F 
       DIMENSION  U(512), V(512) 
       CALL QS21R (U, V, 0., 1., F, 512, IERR) 

Результаты:   

   Приводятся значения интегралов  UmN  и  VmN
   для  w0 = 0  и  w1 = 2π  при  N = 512:

      U(1) = 1.718281828         V(1) = 0.000000000 
      U(2) = 0.042449333         V(2) = 0.266717025