Текст подпрограммы и версий ( Фортран )
zf14r.zip  zf14d.zip  		Тексты тестовых примеров ( Фортран )
tzf14r.zip  tzf14d.zip 
Текст подпрограммы и версий ( Си )
zf14r_c.zip  zf14d_c.zip  		Тексты тестовых примеров ( Си )
tzf14r_c.zip  tzf14d_c.zip 
Текст подпрограммы и версий ( Паскаль )
zf14r_p.zip  zf14e_p.zip  		Тексты тестовых примеров ( Паскаль )
tzf14r_p.zip  tzf14e_p.zip 

Подпрограмма:  ZF14R

Назначение

Вычисление нулей вещественной функции методом Ньютона, когда начальное приближение нулей хорошее.

Математическое описание

ZF14R вычисляет  N вещественных нулей вещественной функции Y = F (Х), когда начальное приближение нулей ROOT (1), ROOT (2), ..., ROOT (N) хорошее, используя метод Ньютона.

Алгоритм, реализованный в подпрограмме, предполагает, что у функции  F (X) существует  N различных вещественных нулей, при этом ни один изолированный нуль не может быть получен из двух различных элементов вектоpа ROOT, содержащего начальные приближения.

Для достижения этой цели, а также для того, чтобы избежать нахождения кратных нулей, после вычисления очередного  I - го нуля производится проверка, не слишком ли он близок к уже вычисленным нулям: 

(1)       | ROOT( I ) - ROOT( J ) | < | EPS1 |  ,       J = 1, 2,..., I - 1  ,

где EPS1 задается перед обращением к подпрограмме. Если условие (1) выполнено для какого - нибудь  J, вычисление  I - го нуля возобновляется с начальным приближением ROOT ( I ) + EPS2, где ЕРS2 также задается перед обращением к подпрограмме. Таким образом, EPS1 и EPS2 определяют критерий отделения кратных нулей.

Алгоритм предполагает достаточную близость начальных приближений к искомым нулям для обеспечения сходимости метода Ньютона.

И.С.Березин, Н.П.Жидков, Методы вычислений, т.1, "Hаука", M., 1966.

Использование 

    SUBROUTINE  ZF14R (F, N, EPS, NDIG, EPS1, EPS2,
                                            ROOT, ITMAX, IERR) 
   Параметры
F - имя вещественной подпрограммы - функции вычисления  F (X);
N - заданное число искомых нулей функции (тип: целый);
EPS - первый критерий сходимости: заданная абсолютная погрешность вычисления нулей функции (тип: вещественный);
NDIG - второй критерий сходимости: заданное число значащих цифр, с которыми предполагается вычислить нули функции (тип: целый);
      EPS1 -
      EPS2   		определяют критерий отделения кратных корней (тип: вещественный);
ROOT - вещественный вектоp длины  N, в который в pезультате работы подпрограммы помещаются вычисленные нули функции; перед началом работы подпрограммы вектоp ROOT содержит начальные приближения к искомым нулям;
ITMAX - целая переменная, значение которой перед началом работы подпрограммы должно быть положено равным максимальному числу итераций, ориентировочно требуемых для обеспечения сходимости; в pезультате работы подпрограммы ее значение полагается равным числу итераций, проводившихся при нахождении последнего нуля;
IERR - целая переменная, служащая для сообщения об ошибках, обнаруженных в ходе работы подпрограммы: при этом:
IERR= 1 - когда хотя бы один нуль не может быть посчитан в пределах заданного числа итераций; соответствующая компонента вектоpа ROOT полагается равной 3.4E38;
IERR= 2 - когда производная функции при нахождении хотя бы одного нуля становится слишком малой; соответствующая компонента вектоpа ROOT полагается равной 3.4E38;
IERR= 3 - когда несколько описанных выше ошибочных ситуаций имело место; соответствующие компоненты вектоpа ROOT полагаются равными либо 3.4E38, либо - 3.4E38. 
   Версии
ZF14D - вычисление нулей вещественной функции методом Ньютона с повышенной точностью, когда начальное приближение нулей хорошее. При этом EPS, EPS1, EPS2, а также вектоp ROOT должны иметь тип DOUBLE PRECISION. 
   Вызываемые подпрограммы
UTZF10 - подпрограмма выдачи диагностических сообщений при работе подпрограммы ZF14R.
UTZF11 - подпрограмма выдачи диагностических сообщений при работе подпрограммы ZF14D. 
   Замечания по использованию
 

При обращении к подпрограмме может быть задан только первый критерий сходимости (тогда NDIG задается равным 0), либо только второй критерий (тогда EPS задается равным 0), либо оба критерия одновременно.

Пусть  Xi - 1 и  Xi являются двумя последовательными приближениями к  j - му нулю функции, то  Xi принимается за искомый нуль, если выполнен один из двух критериев сходимости 

       | F(Xi) | ≤ | EPS |   или   | Xi-1 - Xi | < | Xi | * 10 (- NDIG ) .
B ZF14D при IERR ≠ 0 соответствующие компоненты вектоpа ROOT полагаются равными 1.7D308 или - 1.7D308.

Пример использования 

       FUNCTION  F(X)
       F = - 4.*X**3 + 3.*X
       RETURN
       END

       EXTERNAL  F
       DIMENSION  ROOT(3)
       N = 3
       ITMAX = 100
       EPS = 0.00001
       NDIG = 5
       EPS1 = 0.00001
       EPS2 = 0.01
       ROOT(1) = - 0.72
       ROOT(2) = 0.723
       ROOT(3) = 0.
       CALL  ZF14R (F, N, EPS, NDIG, EPS1, EPS2, ROOT, ITMAX, IERR)

Результаты:  

       ROOT(1)  =  - 0.866025 ,  ROOT(2)  =  0.866025 ,  ROOT(3)  =  0.0 ,
       ITMAX  =  1 ,   IERR  =  0