Решаются следующие задачи:
- краевая задача для линейной системы M уравнений первого порядка
(11) Y ' = A(x) Y + f(x) , x ∈ [ xN, xK ]
с линейными краевыми условиями
B Y( xN ) = b ,
(12)
C Y( xK ) = c ,
где B и C - прямоугольные матрицы порядков
(M - k) × M и
k × M соответственно,
а b и c - векторы длиной
M - k и k;
A - квадратная матрица размера
M × M, f -
вектоp длиной M;
- двухточечная краевая задача для линейного уравнения втоpого порядка с непрерывными коэффициентам
(13) y'' + f(x) y' + g(x) y = r(x)
с линейными краевыми условиями
aN y'( xN ) + bN y( xN ) = CN a2N + b2N ≠ 0 ,
(14)
aK y'( xK ) + bK y( xK ) = CK a2K + b2K ≠ 0 ,
- двухточечная краевая задача для нелинейного уравнения второго порядка
(15) y'' + f ( x, y, y' ) y' + g ( x, y, y' ) y = r ( x, y, y' ) с линейными краевыми условиями (14);
- двухточечная линейная краевая задача для самосопряженного уравнения второго порядка
(16) ( k(x) y' )' - g(x) y = - r(x)
с разрывными коэффициентами k (x), g (x), r (x) ∈ Q2 [ xN, xK ], имеющими кусочно - непрерывные производные до второго порядка включительно, с граничными условиями
k y' - ( σ1 y - μ1 ) = 0 , x = xN ,
(17)
- k y' - ( σ2 y - μ2 ) = 0 , x = xK
и дополнительным условием непрерывности решения y и потока k Y ' в точках разрыва коэффициентов.
Для решения линейной задачи для уравнения второго порядка (13) имеются подпрограммы, реализующие итерационный метод конечных разностей, предложенный Фоксом [ 7 ], и метод прогонки А.А.Абрамова с заменой переменной, сводящийся к решению задачи Коши [ 12 ]. Эти методы являются устойчивыми в том случае, когда устойчива исходная краевая задача.
B случае, когда исходное уравнение нелинейное (15), используется метод линеаризации [ 7 ], а получающиеся линейные уравнения решаются методом Фокса, причем линеаризации нелинейного уравнения происходят последовательно. Поскольку вывод о сходимости итерационного процесса делается по близости последовательных итераций, разности между которыми не всегда можно свести к нулю из - за ошибок округления, то вводится константа, которая ограничивает число этих итераций. Эта константа задается пользователем для каждой задачи при обращении к подпрограмме.
Для решения линейной двухточечной краевой задачи для системы уравнений первого порядка (11), (12) используется метод ортогональной прогонки С.К.Годунова [ 1 ], сводящийся к решению задач Коши. Для обеспечения устойчивости прогонки периодически применяется ортогонализация вектоpов, являющихся решениями задач Коши для исходной системы и соответствующей однородной системы. Узлы, в которых требуется производить ортогонализацию этих векторов, задаются пользователем для каждой задачи при обращении к подпрограмме. При этом ортогонализация осуществляется разложением матрицы, составленной из компонент указанных вектоpов, в произведение ортогональной и треугольной матриц устойчивым методом отражений.
Линейную краевую задачу для уравнения 2 - го порядка можно также решать методом ортогональной прогонки С.К.Годунова, предварительно преобразовав уравнение второго порядка к системе уравнений первого порядка.
Для решения самосопряженного уравнения второго порядка с разрывными коэффициентами (16), (17), которым описываются, например, стационарные процессы теплопроводности и диффузии, используется однородная консервативная разностная схема второго порядка точности [ 13 ]. При использовании этой схемы точки разрывов коэффициентов уравнения должны совпадать с узлами сетки, на которой находится решение.
Kак и для задач Коши, все подпрограммы краевых задач имеют версии, выполняющие промежуточные вычисления с удвоенным числом значащих цифр, когда мантисса числа занимает не одно, а два машинных слова. Эти версии рекомендуется использовать в том случае, когда при счете по основным версиям вычислительная погрешность превышает допустимую предельную погрешность приближенного решения.